文摘
我们调查一个捕食模型与分散捕食者和猎物之间n补丁;我们的主要目的是扩展全球稳定标准由李和帅(2010)在对猎物的捕食模型与分散n补丁。通过构造李雅普诺夫函数的方法基于图形理论方法对耦合系统,我们获得足够的条件的积极共存平衡这个模型是独一无二的,如果它存在全局渐近稳定。
1。介绍
捕食者-猎物种群系统的文献中,连续反应扩散系统和离散的模型被用来研究空间异质性(1,2];片状模型通常被用来描述定向运动的人口中利基或迁移的栖息地。这是自然有趣的问题考虑捕食者和猎物的扩散或迁移如何影响全球动力学相互作用的生态系统;因此支离破碎的食物链模型收到了大量的关注1,3- - - - - -6]。
由于离散的模型通常涉及高维系统,而是数学具有挑战性的研究的独特性和稳定性的积极平衡捕食的模型,和全球动力学可用标准的文献主要集中在特殊情况two-patch [3)或永久和周期解的存在性4- - - - - -6]。
最近,李和帅7)考虑以下对猎物的捕食模型与分散补丁: 在这里,,表示对应的猎物和捕食者密度的补丁,分别。的参数,和,在模型中都是非负的常数。更重要的是,这些参数和在模型中是积极的常数。常数从补丁的传播速度是猎物吗修补和常量可以选择代表不同的边界条件在连续扩散情况。
在[7),作者研究了全球稳定的共存平衡系统(1),通过考虑(1)作为耦合捕食者-猎物的子网络。使用图论的结果和一个开发的系统方法,允许一个构建全球大规模耦合系统的李雅普诺夫函数从单个顶点系统的构建块,李和帅7)获得以下锋利的结果(1)。
命题1(见[7定理6.1])。假设是不可约的。如果存在这样或那么,当一个积极的平衡存在于(1),它是独一无二的,全局渐近稳定的正锥。
虽然明显提升的结果出现在上面的工作分散捕食模型,这些模型还没有深入研究,模型(1)对捕食者不承担任何传播,这在很多情况下是不现实的(1,3]。因此,有趣的是我们考虑全球捕食模型正平衡态的稳定性与分散捕食者和猎物。
出于上述工作(7),在本文中,我们概括模型(1)到下面的捕食模型与分散两种捕食者和猎物: 这里的参数,,,,,定义的相同(1)。非负常数,,的传播速度是捕食者从补丁吗修补,代表了不同边界条件下在连续扩散情况。显然,当对所有,模型(2)直接降低(1);因此,我们的模型(2)直接扩展模型在[7]。
本文的主要目的是获取全球稳定的共存平衡(2)。我们将进行技术基于图论的构造李雅普诺夫函数由李等人在发达7- - - - - -9];我们指的是(10- - - - - -12最近的应用程序)。我们的研究似乎是第一次尝试在应用的网络方法耦合网络系统微分方程解决捕食系统分散捕食者和猎物之间的补丁。网络方法在几个领域进行了广泛的调查。例如,多重代理系统可以看作是复杂的网络系统。很多研究者把他们的兴趣植绒和共识的可替换主体系统13- - - - - -17]。更重要的是,神经网络系统可以看作是复杂的网络系统。在过去的几十年里,各种神经网络模型都进行了广泛的调查(18- - - - - -20.]。
网络是一个有向图的数学描述顶点和定向弧连接组成的。每个顶点的局部动态给出系统的微分方程称为顶点系统。导演弧表示顶点之间的联系和交互系统。
一个有向图与顶点的系统(2可以构造)如下。每个顶点代表一个补丁当且仅当。每个顶点的,顶点动力学描述的捕食系统。这些捕食系统之间的耦合是由分散的捕食者和猎物之间的补丁。
本文组织如下。在下一节中,我们将介绍图论预赛结果基于耦合网络模型。节3,我们获得的主要结果系统(2)。这是紧随其后的是一个简短的结论部分。
2。预赛
在本节中,我们将列出一些定义和定理,我们将使用在以后的部分。
一个有向图和有向图包含一组的顶点和一组的弧主要从最初的顶点终端顶点。的子图的据说是跨越如果和有相同的顶点集。一个有向图吗是加权如果每个弧分配一个积极的重量。当且仅当存在顶点的弧到顶点在。
重量的子图权重的产品在所有的弧线。一个有向路径在与截然不同的子图顶点吗这样的弧线。如果,我们叫一个有向循环。
一个连通子图是一棵树如果它不包含周期,直接的或间接的。
一个树扎根在顶点,称为根,如果不是一个终端顶点的弧和剩余的每个顶点是一个终端的顶点恰好一个弧。的子图是单循环的如果是一个不相交的联盟根树的根形成一个周期。
给定一个加权有向图与顶点,定义权重矩阵的条目=弧的重量如果它存在,否则和0。对于我们的目的,我们表示加权有向图。一个有向图是强连通如果对于任何一对截然不同的顶点,存在一个定向路径从一个到另一个。加权有向图是强连通的当且仅当权重矩阵是不可约的。
拉普拉斯算子矩阵的用。让表示的代数余子式th对角元素的。以下结果如下(7]。
命题2(见[7])。假设。然后 在哪里是所有生成树的集合的这是深植在顶点,的重量是。特别是,如果是强连通,那么为。
定理3(见[7])。假设。让得到的命题2。然后下面的身份是适用的: 在哪里,,是任意的函数,所有生成的单循环的图吗,的重量是,表示的定向循环。
给定一个网络由有向图表示与顶点,可以建立在耦合系统通过分配每个顶点的内部动态,然后基于有向弧这些顶点耦合动力学。假设每个顶点动力学微分方程组描述 在哪里和。让代表顶点的影响在顶点,让如果不存在弧来在。然后我们得到以下耦合系统图: 这里的功能,,初值问题有独特的解决方案。
我们假设每个顶点系统全局稳定平衡,拥有一个全球性的李雅普诺夫函数。
定理4(见[7])。假设满足以下假设。(1)存在功能,和常量这样
(2)在每个导演的周期的加权有向图,,
(3)常量给出的代数余子式th对角元素的。
然后函数满足为,;也就是说,是一个系统的李雅普诺夫函数(6)。
3所示。主要结果
在本节中,积极的稳定平衡的补丁捕食模型(2)被认为是。我们把(2)作为一个耦合系统网络。使用的李雅普诺夫函数补丁捕食模型与分散和定理4截面2,我们将建立一个积极的平衡补丁捕食模型(2传播是全局渐近稳定只要它存在。
首先,我们将给出一个引理系统(2)。
引理5。一组是系统(正不变集2)。
下一个定理给出了全局渐近稳定条件的积极平衡系统(2)。
定理6。假设一个积极的平衡存在系统(2)和以下假设。(1)散布矩阵,不可约;而且存在这样或。(2)存在非负常数这样为,,或为,。
然后,积极的平衡独特和全局渐近稳定在吗。
证明。让
在续集中,我们有
李雅普诺夫函数设置为
直接区分在系统(2),我们有
在哪里
集,,,。一个人
接下来,我们要考虑两种情况。
情况下我。
为,。
案例二世。
为,。
我从这一事实和,我们获得;因此。然后我们获得
让表示的代数余子式矩阵的对角元素。从的不可约特征矩阵,我们有。
此外,李雅普诺夫函数设置为
然后区分系统的解决方案(2),我们获得
让表示有向图的关联矩阵。然后有顶点用一个有向弧从来当且仅当。然后是所有导演弧的集合。由基尔霍夫矩阵狮定理(见命题2)我们知道可以表示为权重的总和所有直接生成子树吗的这是深植在顶点。因此,每一项是重量一个单循环的子图的从这样一个树通过添加一个有向弧从根到顶点。由于电弧是一个独特的周期的一部分的和同样的单循环的图可以当每个电弧形成的添加到相应的树,然后可以表示为一个双重求和所有单循环的子图包含顶点。因此,从后的不可约特征矩阵和定理2.37),我们得到
结合这一事实因此我们有
当我们考虑条件1,存在这样
这意味着或。
如果和可以与弧形的来在,那么我们就有和。此外,
因为和。我们推断出
从,或,我们获得和或和。
通过条件1和矩阵的定义,,我们得到是不可约的。强大的连接的,存在一个路径从任何来。然后,对任何,必须有
或任何,必须有
接下来,我们将证明最大的紧凑不变子集是单例。
我们只考虑的情况
的情况
类似于这种情况。所以我们忽略它。
如果,我们有对于任何,然后我们有
这与事实相矛盾了吗
如果和,我们有对于任何,然后我们有
也与这一事实吗
因此,我们获得的,这意味着
即,我们得到最大的紧凑的不变的子集是单例。因此,由拉萨尔不变原则([21]),全局渐近稳定在吗。
与我类似的参数,我们可以证明全局渐近稳定在吗案例二世。这就完成了证明。
注7。定理6适用于模型(1):考虑模型(2),,,让;因此定理6李直接降低命题1和帅7)(1)。
由定理6和类似的参数的话7后,我们直接有全球稳定定理对捕食者的捕食模型与离散传播补丁。
推论8。考虑到模型 假设矩阵是不可约的。如果存在这样或;然后,当一个积极的平衡存在于(32),它是独一无二的,全局渐近稳定的正锥。
4所示。讨论
在本文中,我们推广的模式补丁的捕食模型(7一般模型()2),猎物和捕食者中传播补丁。基于网络开发的方法对耦合系统的微分方程(7- - - - - -9),我们证明积极的平衡(2)是全局渐近稳定耦合(见定理给出了一些条件6)。我们的主要定理推广了定理6.1 (7),我们的研究结果也覆盖了其他的情况(2),只有补丁之间的捕食者分散。
生物,我们的定理的结果6意味着如果捕食系统分散在强连通块(相当于不可约性捕食者和猎物的散布矩阵),如果系统是永久性的(保证积极均衡的存在性),然后捕食者和猎物的数量在每个补丁最终将稳定在了相应的积极的价值观well-coupled散布(条件2的定理6)。
我们的话,我们的定理6需要额外的条件2耦合扩散系数和共存的平衡,全球动力学(22)没有条件的定理6仍不清楚。仍然是一个有趣的未来参差不齐的问题分散捕食模型。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
自然科学基金支持的第一作者是大庆师范大学(没有医生。12 zr09)。刘Shengqiang中国NNSF(不支持。10601042),基础研究基金为中央大学(没有。HIT.NSRIF.2010052),计划在哈尔滨工业大学的优秀团队。