文摘
我们在本文的研究中问对称和条件问布西涅斯克方程的对称性。我们获得的解决方案,在这种情况下,与容易收敛的幂级数形式的可计算的组件。
1。介绍
布西涅斯克方程,这属于KdV方程和描述运动的家庭下的长波浪浅水重力在两个方向传播,是由 在哪里通常是足够的可微函数。
投入了大量的研究工作近年来布西涅斯克方程的研究。许多有效的方法获取提出了布西涅斯克方程的精确解,如变分迭代法(1),行波解(2),潜在的方法(3],散射法[4),展开法(5),最优和对称性降低(6),和射影黎卡提微分方程方法(7]。
本文的目的是计算和列表问对称和条件问布西涅斯克方程的对称性。今天我们可以说,许多数学家,机械及物理学家,如欧拉、达朗贝尔、庞加莱,沃尔泰拉,惠塔克,贝特曼,隐式地使用条件建设的对称线性波动方程的精确解。
重要的条件对称的PDE(偏微分方程)让我们获得这样的显式形式无法找到解决方案,通过使用对称给定PDE的一整套的解决方案(8]。此外,有条件的对称性使pde的类减少系统的常微分方程(常微分方程)。作为一个规则,减少方程获得条件对称和问对称明显比那些简单通过减少使用对称的全套解决方案。这使我们能够构建减少方程的精确解。
2。有条件的问对称
经典的对称性可以扩展如果一个研究(1)一起的不变的表面对称发电机作为偏微分方程的超定的系统(9]。也就是说,一个研究谎言系统的对称性 (在哪里3)是不变的表面对应对称群发生器 不变性条件条件问对称(2)是由 在哪里 在这里表示第二延长,即 在哪里
一台发电机满足条件(5)的一个条件问对称发生器,由不变的表面(3)。的和表示th和分别th拖长某个。和表示总导数和对,分别。
我们现在确定方程推导出一般条件问对称发电机(2)。我们设置,,。不变性条件(5)会导致以下表达式: 这将导致 特别是,从遵循
确定方程的条件问对称发电机现在相当于零的系数得到的独立坐标。通过求解这个线性偏微分方程组无穷小,,,我们获得 在哪里,,任意常数。
条件问对称是由 的通解不变的表面状况有关, 是 在哪里是任意的函数和 用(15)(2),我们最后获得下列非线性常微分方程采取的形式 在哪里,,。
解决一个常微分方程(17),我们有三个解决方案。
案例1。考虑 在哪里是一个任意常数。
例2。考虑
例3。考虑
通过使用(18)- (20.)(15布西涅斯克方程(),我们有解决方案1以以下形式)。
家庭。考虑 在哪里和任意常数。
家庭。考虑 在哪里和是一个任意常数。
家庭。考虑 在哪里和是一个任意常数。
3所示。问对称发电机
在我们考虑条件的对称性(1),让我们简要描述经典谎言方法并介绍我们的符号(10]。我们关心的是一个偏微分方程与独立变量和一个字段变量,也就是说,一个方程的形式 在哪里,。一个谎言变换群叶(24)不变的是由一个谎言对称生成器,定义为 是相关的垂直形式的(25),定义为 在哪里。在这里是一个微分1变型,称为接触形式,定义的是哪一个 方程(24长时间躺下)不变的对称发电机如果 表示躺导数,,发现以延长垂直发电机吗;也就是说, 在哪里 和是全导数算子。我们给的定义条件不变(24)如下。
定义1。方程(24)问有条件不变,如果 条件下
被称为问对称发电机和被称为长期垂直问对称生成器。现在让我们研究(1由上述定义的使用。)从谎言导数的定义它遵循(31日),方程 条件下 必须研究。让我们考虑一下问对称发电机形式 通过应用谎言导数(31日)和条件(32),我们得到 在哪里
决定性的方程问对称发电机现在相当于零的系数得到的独立坐标。通过求解这个线性偏微分方程组无穷小,,,我们获得
所有的相似性变量与谎言对称性(38)可以通过求解特征方程如下: 因此 我们得到以下相似变量: 和相似的解决方案形式 在哪里是任意的函数。用(42)(1),我们最后获得非线性常微分方程采取的形式 在哪里,和;。
解决系统的常微分方程(43),我们有两个解决方案。
案例1。考虑 在哪里是一个任意常数。
例2。考虑
Substitut (44)- (45)(42布西涅斯克方程()来获得解决方案1以以下形式)。
家庭。考虑 在哪里和是一个任意常数。
家庭。考虑 在哪里和和任意常数。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这个项目是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达,在批准号109/130/1433。因此,作者承认,由于安全域的技术和财政支持。