文摘
本文提出一种计算方法求解一类非线性沃尔泰拉积分微分方程基于伯努利的分数阶多项式近似。我们的方法包括减少的主要问题解决代数方程系统通过扩大所需的近似解的线性组合伯努利多项式。给出几个例子和数值结果验证了该方法的效率。
1。介绍
在现实世界中,建模和分析一个巨大规模的问题我们需要分数微积分。分数微积分发现在科学和工程的许多领域中的应用,包括流体、电子网络、分形理论、控制理论、电磁理论,概率,统计、光学、潜在的理论、生物学、化学、扩散和粘弹性1- - - - - -4]。
近年来,分数微分方程(fd)和部分积分微分方程(信用)已经成为许多研究人员感兴趣的焦点不同学科的科学和技术,因为实际建模的物理现象有依赖不仅时间即时还在前面的时间历史,可以成功地通过使用分数微积分。然而,除了建模,解决技术和可靠性是最重要的是抓住关键点,突然发散,收敛,或分岔的开始。因此,高精度的解决方案总是必要的。为此提出了若干技术解决分数阶微分方程(或积分微分方程)。最常用的想法Adomian分解方法(ADM) (5),变分迭代法(VIM) [6(FDTM)[],分数微分变换方法7),分数差分法(FDM) [8),和幂级数方法(9]。
另一方面,自1994年初以来,拉盖尔,勒让德,泰勒,傅里叶,埃尔米特和贝塞尔(矩阵和搭配)方法已用于工程(10- - - - - -15)来解决线性微分、积分和integro-differential-difference方程及其系统。另外,伯努利(矩阵和搭配)方法被用来找到微分和积分微分方程的近似解16- - - - - -18]。我们所知这些多项式求解信用没有结果。此外,根据讨论(18),伯努利多项式有一些鼓励我们使用特定的属性,他们解决任何应用数学问题。这些主题激励我们提出一个新的数值方案解决信用。
本文利用伯努利多项式如下的测试功能和配置足够的初始和边界条件(主题)的勒让德高斯搭配点也近似高斯求积的现有的积分规则,我们发现以下的数值解:
本文的其余部分组织如下。一些关于分数微积分的预赛和伯努利多项式与高斯求积在下一节中提供了规则。部分3包含了论文的基本思路。节4,给出几个数值例子显示的可靠性提出了想法。所提供的数值例子显示的效率提出的想法对一些文献中的方法。在最后一节中,我们提供的结论。
2。预赛
在本节中,我们处理的一些基本定义和性质也分数微积分理论和一些有用的信息关于伯努利方程的多项式的勒让德高斯求积以后进一步使用的规则。
定义1。一个真正的函数,,据说是在空间,,如果存在一个实数,,这样,在那里据说,它在空间当且仅当,。
很明显,是一个向量空间和空间的设置吗命令通过包含根据吗
定义2。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序一个函数的,在那里,被定义为
定义3。的分数阶导数卡普托意义上被定义为 为,,和。
应该提到,卡普托微分算子伴随着古典整数阶微分算子。卡普托分数阶导数的一些属性,需要在这里,如下: 在天花板上的函数表示大于或等于最小的整数和地板功能表示小于或等于最大的整数。
类似于整数阶微分,卡普托一个线性分数阶微分算子操作;换句话说 在哪里和是常数。
定义4。伯努利方程的多项式数学在不同领域发挥重要作用,包括数论和有限的理论分歧。经典的伯努利多项式通常是通过定义以下关系: 伯努利方程的多项式形式可以表示
定义5。勒让德高斯求积规则可以定义如下11]: 在哪里为的根源吗th勒让德多项式和。
3所示。基本思想
在本节中,我们考虑的基本方程(1)和一些适当的初始和边界条件。我们的目标是近似的解决方案截断的伯努利系列。此外,我们还用勒让德高斯搭配节点和勒让德高斯近似正交规则现有的积分。然后,基本方程(1)将被转换为非线性代数方程组。这个代数系统的解决方案。因此,一个近似的解决方案(1)将获得在表单中。之前我们的主要思想,我们提供的打工分数导数表示在以下引理。
引理6。让由伯努利方程近似多项式同时也假设;然后 在哪里是由
证明。因为她部分的线性微分算子
根据(5)和伯努利多项式的结构,
也为和使用(5我们达成以下结果:
的组合(12)和(14)会导致期望的结果。
在本部分中,我们将近似问题的解决方案(1)。为此,用近似和在(1)的收益率
通过配置上面的方程点我们有 在哪里为表示移位的勒让德多项式的根在这一期间。同时,为了使用的勒让德高斯求积近似上述涉及到积分,我们应该转移时间间隔成时间间隔通过以下变量:
为每个值上述方程可以重申如下:
因此,应用高斯积分公式的收益率 在所有的的是0的勒让德多项式和是相应的权重。在一起补充条件的方程,我们得到的非线性代数方程可以解出未知,,通过使用任何适当的迭代法。因此可能获得的。在下一节中,我们将介绍该方法的适用性通过检查几个数值例子。
4所示。数值例子
在本节中,给出了几个数值例子来说明该方法的准确性和有效性,和他们所有的人都在电脑上使用一些程序写在枫13。在这方面,我们已经报道在表精确解的值和多项式近似解在任何给定区间的选择点。应该注意的是,在第一个例子中,我们提供了一个有趣的例子,我们的方法达到多项式形式的精确解。此外,在第二个和第三个例子的方法达到相同的结果(19通过使用近似低价值)。也在最后一个数值的例子中,我们的结果是上级对CAS小波方法(20.]。之前我们的数值例子,我们应该记得,枫软件求解非线性代数方程组提出了命令。按我们的经验来解决这类非线性系统中,这个命令是非常有效的,容易处理。
示例1(见[19])。在第一个示例中,我们考虑下面的初值问题的:
为解决这个例子中,我们运用我们的方法。换句话说,
通过使用(19),我们有
初始条件收益率以下方程:
现在,通过求解系统包含(22)和(23我们达成以下解决方案:
因此,
这是确切的解决方案。
例2(见[19])。在第二个例子中,我们考虑以下部分积分微分方程: 用下面的边界条件:
的精确解的,当。为解决这个问题,我们运用我们的方法对不同的值。在表1,我们提供了数值结果,在那里(),我们提出的方法(PM)和数值结果,在那里为勒让德的搭配方法(LCM) (19]。很明显,我们的方法达到相同的结果(19近似度较低。此外,我们的方法具有更好的结果关于Adomian分解方法(ADM) (5)所示(19]。此外,数值结果与我们的方法有关,LCM,广义微分变换方法(讨论)7]和给出了在表2。如表2所示的19),ADM很弱近似讨论和中国大陆。因此,我们并不认为ADM在表2。从这个表中,我们可以发现,一个结果是LCM的相同,但讨论的结果是远离我们的提出的技术和LCM的结果。这些事实证实我们的想法的有效性。显示我们的方法的可靠性,我们提供图1。在这个图中,我们描述了数值解对不同种类的如3.25,3.50,3.75,4。
例3(见[19])。在第三个例子,我们考虑下面的非线性分数微分方程: 边界条件
这个问题的精确解,经典的边值问题,。与前面的示例相似,为解决这个例子中,我们运用我们的技术为不同的值。在表3,我们提供了数值结果,在那里(),我们提出的方法(PM)和数值结果,在那里为模块的情况的。从这个表中,很明显,我们的方法达到相同的结果(19近似度较低。此外,在这个表的数值结果,在那里(),我们提出的方法(PM)和数值结果,在那里为LCM的讨论的情况给出了。
示例4(见[20.])。在最后一个例子,让我们考虑以下非线性分数积分微分方程: 补充条件
这个问题的精确解。再一次,我们解决这个问题通过使用我们的基本想法3。做一个真正的新技术比较,中科院小波方法(CASWM) [20.),我们应该假设然后解决上述问题。因此,在表4,我们提供了数值结果,在那里(),我们提出的方法(PM)和数值结果,在那里为CASWM。从这个表方法的效率明显可以看到。
5。结论
摘要伯努利与勒让德多项式和勒让德高斯求积规则高斯搭配节点被用来减少非线性分数微分方程与适当的初始和边界条件非线性代数方程组的解。从计算的角度来看,该方法获得的解决方案是在良好的协议与以前的工作和获得的有效使用。未来的工作问题之一是开发一个类似的技术来解决一些有趣的非线性部分偏积分微分方程。此外,该方法也可以扩展到非线性分数微分方程的系统,但是一些修改是必需的。
利益冲突
作者宣称他们没有任何利益冲突在他们提交的论文。