文摘

利用动力系统的分岔理论,我们提出确切的表示和拓扑分类一致的物质波的“bose - einstein”冷凝物(bec),如孤波和调制振幅波(它们)。的存在性和多重性取决于所选择的参数区域。结果表明,相干物质波的特征可以由“角动量”吸引力bec而排斥bec;相干波的形式都是獠牙。以上的显式参数表征光波展出和数值模拟结果的支持。

1。介绍

粒子在稀释气体驻留在相同的量子(地面)在低温状态,形成“bose - einstein”冷凝物(BEC)。这种现象在1995年首次观察到的实验与铷蒸汽和钠(1]。此后BEC动力学得到了密集的兴趣在数学和物理,包括超流体和耗散动力学(2),布洛赫波(3),动态稳定性(4,5,混乱6,7),和暗和亮孤子8,9]。

只考虑双体交互,基于平均场理论,BEC Gross-Pitaevskii方程所描述的是(GPE),这是一个一维非线性薛定谔方程(10] 在哪里气体粒子的质量,和稀释气体参数,是双体横波散射长度,它是由原子物种在冷凝。原子之间的相互作用时排斥和有吸引力。

可实现的潜力特定的理论和实验的兴趣通常包括谐波陷阱(11),光学晶格和超晶格12),并与谐波叠加晶格或超晶格陷阱。但是,也在许多情况下,弱势或约常数通常使用潜力,如与。因此,人们可以使用Lindstedts方法和多尺度微扰理论(13,14)或平均的方法(15- - - - - -17]研究BEC动力学的高阶近似。为系统的解决方案1)和序结构可能平衡分,驻波,孤波,甚至是无限的。而小摄动参数例如,玻色-爱因斯坦凝聚原子被弱光晶格势,摄动的动力学特点这些解决方案可能保存(14,15)周期或准周期的调制振幅波。然而,在一些条件下的可调参数这样的字符可能被摧毁,和空间BEC的混乱发生6]。因此,重要的是要研究的动态镇定系统彻底和完全。我们可以参考一些相关论文(18,19]。

在本文中,我们将给出一个完整的拓扑分类系统的相干结构解决方案(1)与不同的可调参数,而限制外部势。分为六个区域的平面参数。无界解、调制波振幅和孤波决心在不同地区。此外,所有的解决方案表现出本文的显式表示。普遍性,连同我们的分析和推导,我们限制系统的复杂的解决方案1)和非常数的阶段,导致非线性方程的奇点。因此,解决方案将失去在相空间平滑。这种现象已经被一些作者在其他物理模型学习(见[20.,21])。

2。序结构

我们认为统一传播与拟设序结构 在哪里给出了振幅波函数的动力学,给出了动力学阶段,是粒子速度,是BEC的化学势。当(暂时周期性)相干结构(2)也是空间周期性的,它被称为周期性调制振幅波(它们)22];而连贯的结构(2)也是空间准周期的,它被称为准周期的调制振幅波(QMAWs) [15,16]。

用(2)入GP方程(1),并将真实的和想象的组件所需的方程,我们得到 下列哪收益率与规律的非线性杜芬方程: 的参数是由关系吗 这表明角动量守恒(23]。零角动量令人满意的解决方案驻波的系统(1),已详细描述(14]。在这里,我们限制参数是零。我们所知,我们还没有看到任何解决方案在这种情况下的整体分类。因此,(4)成为 在哪里和。因此,(6)相当于二维系统 与第一个积分

3所示。分岔的相图

振幅的空间动态bec的波函数是由非线性系统(7),这取决于参数变量,,。的参数化学势有关吗和外部潜在,有相同的散射长度的迹象。的参数来自于积分常数,玩“角动量”的角色。不失一般性,我们假设。

对于一个固定的正的常数,在相平面轨道的特点两个参数的影响吗。因此,在接下来我们将给出过多的分类的区域选择的轨道。阶段的分支,画像也将调查。

让。然后,除了直线系统(7)具有相同的拓扑阶段肖像如下系统: 现在,直线是一个积分不变量的直线(9)。表示,,那么我们就有。找到平衡的(9等幅波对应),我们必须解决代数方程如下: 注意,当,。因此,我们有,这意味着之间的关系和在参数平面确定均衡的存在性和多重性点。根的数量取决于一个例子的迹象- - - - - -如图1。

在参数平面曲线和直线平面分割成六个区域。因此,我们必须采取6例,被考虑。(我)如果,,有两个平衡的(9): (2)如果,,有两个平衡的(9): (3)如果,,有两个平衡的(9): 在哪里 (iv)如果,,有两个平衡的(9): 在哪里 (v)如果,有四个平衡点(9): 在哪里满足 (vi)如果,没有平衡的(9)。

让线性化方程组的系数矩阵(9)在一个平衡点。然后,我们有 通过平面动力系统理论,我们知道,一个平面可积系统的平衡点,那么这个平衡点是一个鞍点;如果和,那么它就是一个中心点;如果和,那么它就是一个节点;如果和平衡点的指数,那么它就是一个尖端;否则,它是一个高阶平衡点。

定义的函数(8),我们表示

我们下一个使用上面的语句考虑分岔的阶段的画像(7)。可能的定性动力学(见图2和总结在表1。

4所示。确切的物质波的显式表示

在本节中,我们给所有的显式参数表征孤波解和周期波解(獠牙或QMAWs)。表示雅可比椭圆函数与模量和第三类的勒让德不完全椭圆积分(见[24])。分别将两种类型的bec。

4.1。有吸引力的bec ()

(一)假设(V);也就是说,,,。在这种情况下,我们的相图(7)如图2 (e)。

(1)注意与对应于定义的曲线,有一个同宿轨道连接平衡点或。拱曲线的代数方程

通过使用第一个方程(7),(6),我们得到光滑孤立波解的参数表示谷类型和光滑孤立波解的峰值类型如下: 在哪里。

因此,通过集成(5我们双方) 在哪里

因此,系统(1)有以下解决方案: 与

(2)召回与平衡,,函数被定义为(8)。为每一个,定义了两个家庭的周期轨道系统(7)封闭中心或躺在两边的直线。这些轨道确定无穷多(积极措施集)周期波解的系统(1)。使用多项式因式分解,拱曲线的代数方程 在哪里。从(7),我们获得的参数表示周期波的解决方案如下: 在哪里 最积极的时期的是由

同样,我们有 在哪里。

因此,系统(1)胃有以下解决方案: 与

(b)假设(2)或(VI)。在这种情况下,所有的解决方案(6)是无界的,除了两个平衡,如果属于该地区(II)的参数。

4.2。排斥bec

排斥bec的阶段的画像振幅方程(6)如图2(一个),2 (c),2 (d),分别。等效系统(7平衡)总是有两个中心。让。为每一个相应的,系统(6)有两个家庭的周期轨道封闭的两个中心,分别。所有这些周期轨道,填满整架飞机除了线无穷多个周期波解,确定(1)。相似的部分4.1系统(1)这些拱门的参数表示为(28)和(31日由连贯的形式()2)。在这种情况下,没有孤独的一波又一波的连贯的形式存在,而外部的潜力是恒定的。

5。数值模拟

为了更好地解释前面的结果,我们的解决方案进行数值模拟孤立波和獠牙。我们强调最好的复杂的情况;也就是说,(V),其他情况下可以同样处理。现在让我们修正参数,对应的bec的吸引作用。

而以“角动量”,我们有四个平衡系统(7)。例如,当积分常数,我们有(−6.71409,0),(−4.19004,0),:(4.19004,0),(6.71409,0),如图2 (e)同宿轨,有两个躺在十字路口稳定流形和不稳定流形的平衡和,分别。更准确地说,存在两种解决方案,这样

为每一个固定的“角动量”附近的相对应的同宿轨道是一个暗孤子,而附近相对应的同宿轨道是一个明亮的光孤子。孤波的高度,不同的价值和相也是单调增加的空间吗,如图3。

同时,为每一个固定的附近的平衡和有无穷多个周期轨道(7)如图4。

而常数超过或到达阈值,所有这些周期轨道或孤波被破坏,成为无限。这表明相干物质波的特征可以由“角动量”。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作是由中国国家自然科学基金(授予号。11301106,11226130,11226130,11261013)。