文摘
最近的一项研究表明,corticocortical连接猫拥有集群的网络结构,网络中每个集群是无尺度,大多数连接中心。出于研究,我们稍微修改网络模型并推导出集群同步的充分条件修改网络基于李雅普诺夫函数方法。结果表明,集群同步可以诱导无标度网络的枢纽。在我们看来,hub-induced同步的概念提供了一个更好的理解在无标度网络集群同步。数值例子证明的有效性提供了理论结果。
1。介绍
为了更好地理解哺乳动物的大脑功能,如记忆、语言、和意识,许多研究已经进行了探索大脑皮层的组织和结构(1- - - - - -3]。这些研究表明,神经元在大脑皮质的表面通常分为功能单元(皮质)在传播信息的过程中(1]。从网络的角度来看,这些功能单元的节点形式,联系在一起的纤维,形成了网络连接。例如,有1139 corticocortical 65年猫大脑皮层功能单元之间的连接(2]。最近,网络模型提出了模仿猫的corticocortical连接性和明确的原则组织和大脑皮层的功能3]。基于统计分析,显示了网络模型展示集群结构,每个集群是无尺度,既不是完全正常,也不是完全随机的(4,5]。这些形式的集群由皮质组织玩常见的功能性角色。以前的证据表明,每个集群具有集群中心以下主要功能:每个集群拥有只有一个中心,每个中心拥有一个大型的连接密度,所有集线器连接彼此强烈的方式(3,6]。因此,网络模型被称为峰会集群网络。假设所有的中心都是所有耦合、结果表明,网络的无尺度结构大量有助于抑制破裂同步(3]。
并非巧合的是,它已经证明了许多实际的大规模网络显示无标度特性,如生物网络,全球资讯网,和银行同业支付网络。一般来说,真实网络的无标度特性被认为源于优惠附件增长(4,5]。在这次事件中,网络的度分布服从幂律形式:大量的节点连接稀疏,而少数的节点(中心)紧密相连。在过去的几十年中,同步耦合振荡器网络(引起了人们广泛的关注7,8]。显然,这些中心将发挥关键作用的过程中同步。已经表明,无标度网络的synchronizability脆弱到特定的切除中心和健壮的nonhub节点的删除(9]。最近在无标度网络,由Kuramoto振荡器、炸药同步研究了基于平均场近似(10,11]。研究的先决条件是,每个振子的固有频率应该等于其节点度,这意味着中心的固有频率应高于其他振荡器(10,11]。总而言之,无标度网络,有一个亲密关系之间的同步和耦合和动力学的中心。
对于一般的网络、集群结构意味着振荡器分为集群,每个集群内,连接密度,而不同簇之间的连接是稀疏的12- - - - - -14]。作为结果,集群同步通常发生在集群网络结构;即同步发生在每个集群但不一定发生在不同的集群中(15- - - - - -21]。为了研究集群同步,提出了两种控制方法。第一个是把控制策略(22- - - - - -24),已应用于实现预期集群同步模式与集群网络结构(15和与随机神经网络延迟16]。另一种方法是采取合适的约束耦合矩阵(17,18]。作为特殊情况,它也表明,集群同步可以通过构建重要的耦合矩阵(19- - - - - -21]。我们所知,很少有研究关注集群同步在无标度网络。然而,许多研究表明,无标度网络的一些具有集群结构(25,26]。因此,有必要探讨集群同步在无标度网络,特别是研究集群中心和集群同步的耦合关系。
在本文中,我们的目标是通过建立一个模型猫大脑皮层结构耦合振荡器网络具有无标度特性,研究集群同步在这样一个网络。与统计分析在以前的研究相比,本文进行了严格的理论研究集体动力学猫或其他哺乳动物的大脑皮层。首先,我们与集群结构,建立网络模型中,每个集群有一个大多数连接集群中心。获得网络模型的特点充分体现了猫的大脑皮层。其次,我们推导出误差系统及其集群每个节点之间的枢纽。基于误差系统的稳定性分析,我们得到的标准集群网络的同步。出于近期研究无标度网络中的同步(9- - - - - -11),我们专注于分析集群的关键作用中心集群同步的过程。获得标准表明,集群中心的耦合实现集群同步具有重要意义。换句话说,集群可以诱导同步集群中心。因此,我们称这种类型的同步hub-induced同步,它提供了一个更好的理解在无标度网络集群同步。
本文的其余部分组织如下。节2,模型的集群与集群中心介绍,无标度网络和一些介绍了预赛。节3主要结果hub-induced同步的网络模型。节4,数值例子表明理论结果的有效性。最后,本文结论部分简要讨论5。
2。预赛
2.1。无标度网络与集群中心
考虑以下与集群网络结构: 在哪里的坐标吗振荡器,是一个持续的地图,耦合强度,是一个非负矩阵,然后呢耦合矩阵满足吗,。不失一般性,假设,,。然后耦合矩阵分割成块: 在哪里,,。假设每个集群都有一个最连接节点,称为集群中心。也就是说,下面的假设成立。 )每个集群有一个聚类中心,拥有 在哪里如果,,,。
假设意味着,任何一对节点,属于不同的集群,耦合的总和来(集群中心)和耦合来(集群中心)应小于之间的耦合的总和和。也就是说,每个集群中心不应该影响更大的在其他集群节点。否则,应视为这些节点的集群中心。为了更清楚地理解的假设,我们可以参考图1节4。从图可以看出1每个集群中心与节点耦合的人口属于集群和耦合稀疏节点属于其他集群。因此,人们很自然地提出了假设。在一个特定的情况下,当每个集群中心只是加上属于它的集群节点,没有加上属于其他集群节点,假设是满意的,因为不平等的左手等于零。
2.2。集群同步廖
现在,我们介绍集群同步流形的概念和它的吸引力。
定义1。一组 被称为集群同步歧管对应分区。
定义2。集群同步廖是在全球范围内吸引系统(1),或集群同步对应分区时,如果 适用于任何初始条件,在那里表示向量的2-norm。
在流形学习的吸引力的充分必要条件,其不变性介绍如下。
引理3(见[17])。集群同步廖是一个系统的不变流形(1)当且仅当每个子矩阵的形式(2equal-row-sums,。
根据引理3,以下假设17,18在本文]应该持有。( )每个子矩阵的形式(2equal-row-sums,,。
在下一节中,我们将得到充分条件集群系统的同步(1)诱导的集群中心基于上面提到的预赛。
3所示。集群同步引起的集群中心
定义同步错误,,我们得到系统的错误 它遵循的假设那 在哪里。分解矩阵如下: 在哪里 是对称的,并且zero-row-sum矩阵,然后呢 是一个反对称矩阵,,在那里,。
注意到,我们介绍了矩阵 在哪里,。为方便以后使用,我们表示 在哪里,。然后基于李雅普诺夫函数方法,我们获得以下定理和相应的证明。
定理4。让是一个正定对角矩阵,让是一个对角矩阵为和函数满足 对于一些,所有,所有。然后在假设下和、集群同步发生在系统(1)如果 在哪里最大的特征值吗,,。
证明。考虑到李雅普诺夫函数, 我们有 分解(8),很明显, 首先,注意到矩阵的反对称性,我们有 其次,注意到的zero-row-sum矩阵,我们有 基于这样的假设,我们获得。因此, 众所周知,一个对称矩阵的分解,在那里是一个酉矩阵和是一个真正的对角矩阵。应用正交变换 (20.),我们最后得到的 因此,在定理的条件4是足够的,然后 这就完成了定理的证明4。
为了更好地理解条件(14),我们进行以下分析: 结合矩阵的定义在(11),我们可以得出结论,集群同步可以实现通过增加集群的联轴器中心。因此,这种类型的集群同步称为hub-induced同步。
4所示。数值模拟
考虑到系统(1)组成的神经网络: 在哪里,,,, 通过使用Matlab LMI工具箱的控制,可以获得满足条件(13)[27]。
4.1。模拟1
出于“峰会”集群网络(3),我们考虑一个网络模型具有无标度特性,集群结构,每个集群有一个大多数连接中心。例如,一个原理图的网络组成的节点图所示1。这些节点分成集群,每个集群显示一个无标度特性。
定义同步错误 时间的演进是绘制在图在哪里2。可以看到,系统(25)实现集群同步。很明显,系统的中心(25实现集群同步)中扮演关键的角色。
4.2。模拟2
值得注意的是,定理4也是有效的,甚至是一个通用的网络没有无标度特性。如果振荡器网络分为若干个集群,每个集群大多数连接集群中心集群同步可以通过控制实现集群中心。例如,考虑耦合矩阵: 不难验证矩阵和分区满足这些假设和。第三个节点是集群中心,第五个节点的集群中心。和相对应的矩阵(11) 然后我们可以从定理的结论4集群系统的同步的阈值(25)与耦合矩阵(28)是。
通过,,定义 同步错误的时间演化是绘制在图3。为了研究中心引发的同步,我们修复和增加参数从来逐渐。图4绘制显示的变化同步错误。可以看到,错误和时,往往为零,这意味着集群同步发生。因此,定理的有效性4是证实。
5。结论
为了模仿corticocortical连接网络的拓扑结构,本文提出了一个网络模型和无标度特性,集群结构,房地产集群,每个集群中心。然后我们将耦合矩阵分解成四个矩阵,推导系统的网络错误。通过详细的误差系统的稳定性分析,我们得到充分条件来实现集群同步。所得结果表明,集群同步可以保证通过增加集群的耦合强度中心。
先前的许多研究表明,破裂同步也可以抑制通过施加外部控制干预(3,6]。它可能是一个有趣的挑战,讨论集群同步修改“峰会”网络(1)与外部控制干预应用于集群中心。控制干预可能是一个时滞反馈信号,不断应用脉冲,或交替开关脉冲。进一步探索这个主题将帮助我们更好地理解之间的关系的耦合集群中心和集群同步。
利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突有关的出版。
确认
支持这个项目由中国NNSF(号。11162004、61203155、61203155),浙江的NSF(没有。LQ12A01003 LQ12A01002),广西的NSF(没有。2013 gxnsfaa019006)。