文摘

本地化运营商在离散信号设置用于获取信息f从知识的支持短时傅里叶变换。特别是极值函数不确定性原理的离散短时傅里叶变换的特点及其与函数生成一个时频研究基础。

1。介绍

一个众所周知的事实是,一个重要的功能和它的傅里叶变换不能本地化,同时和许多变体的含糊不清的语句收集下不确定性原理。我们指的是(1)和不同版本的引用在其中。函数的定义在有限阿贝尔群、本地化通常用的基数的支持功能。例如,Donoho和斯塔克(2证明以下:给定一个有限序列与离散傅里叶变换让和是红衣主教的支持 Meshulam [3)获得的其它组织的泛化。此外,这些哪一个有平等的特点(见[2,4,5])。当是一个质数的结果是提高了道6),显示的非零项数之和有限序列和非零元素的数量是严格大于其傅里叶变换。给出了一个扩展有限阿贝尔群秩序(7]。

结果这种类型的联合时频表示在连续情况下得到在8- - - - - -13)等,对于函数定义在有限阿贝尔群(14),证明了基数的支持任何短时傅里叶变换的一个重要的函数定义在有限阿贝尔群是有下界的组的顺序。Ghobber和果酱了(15)的不确定性原理表示一个向量在两个基地,允许在特定得到上述结果的定量版本Krahmer et al。14]。在定理1我们提出一个不同的量化结果的证明(15)改善那里的常数。

我们的目标是获得一个信号的信息从知识的支持短时傅里叶变换。为此我们引入离散的本地化运营商设置,提供过滤版本的原始信号。本地化的重要性运营商在这种情况下是由于这一事实,对于一个给定的子集的定位算子的不动点吗与窗口每当支持。在定理3我们描述这些有限序列和这样的红衣主教的支持是最低的;我们描述的极值函数不确定性原理的离散短时傅里叶变换。

其他相关信息的函数可以由支持短时傅里叶变换。例如,很容易看到,当和是周期性的,短时傅里叶变换支持在一个特定的子群。我们将会看到在命题4一种交谈也成立。这里本地化运营商使用的证据。在最近的一篇论文,吉尔伯特和Rzeszotnik [16)的标准傅里叶变换的计算空间的有限阿贝尔群空间双组和他们研究的分规范。与这个问题他们认为函数组,这样的集合所有的翻译一致(一些常量)的调节和产生一个标准正交基。循环的团体,这些函数很容易的特点(常量)的支持(命题6)。特别是,组'订单这些本质上是极值的函数不确定性原理的离散短时傅里叶变换。

2。结果

让表示循环组执行加法模。如果是在复值函数吗,我们定义傅里叶变换由公式 从现在起,我们识别与我们赋予它欧几里得范数。转换操作符是酉算子给出的。同样,调制算子定义的酉算子 我们有。短时傅里叶变换的窗口是由([17- - - - - -19])

也就是说, 众所周知, 这身份意味着是一个严格的框架每当。

如果我们是一组表示的吗红衣主教。为我们代表的红衣主教。很明显,不是一个标准。

第一个结果我们提出了在15)作为一个定量的结果Krahmer et al。14)即对于每一个。其证据是一种适应性的方法最初是在开发11,12)在连续设置。我们给不同的证明改进估计。

定理1 (Ghobber和果酱15])。让与红衣主教的一个子集。然后

证明。从我们得到的定义 因此 的结论。

我们的下一个目标是调查在哪些条件下的支持有最小的红衣主教。接下来的结果证明是基于离散定位的分析操作符。这些运营商引入Daubechies [20.在连续情况下为了定位信号的时间和频率。

众所周知,可以恢复作为

定义2。让和有这样。然后,定位算子被定义为 是过滤的版本,因为只有这些值相应的条目被认为是。很明显每当支持。让我们表示的向量空间赋予的规范和规范基础。

下面的定理的证明的主要困难是,先天的,和是任意的有限序列的复数。也就是说,我们不能假设,正火后,和对于一些有价值的和。

定理3。让一个假设。然后当且仅当,还有这样,,

证明。对于每一个这个函数不同于零;因此有这样。因此,假设意味着的支持是一组 不失一般性,我们可以假设。我们现在考虑离散定位算子, 众所周知, 自然后最终我们获得 在哪里 这意味着有这样 根据cauchy - schwarz不等式,为每一个有这样和。也就是说, 这意味着 我们现在检查是恒定的。事实上,每一个, 以来的支持正值我们得出这样的结论:傅里叶变换消失在任何坐标。因此是常数,我们得出这样的结论 更换后,通过,在前面的身份得到 我们把,并得出结论, 不依赖于。也就是说,是常数(模),有这样 我们把并采取在(22)获得 为了简化我们正常功能这 我们把在(22)获得 也就是说, 然后给了 最后,我们考虑 然后 这意味着 自我们得出这样的结论 也就是说,。现在,使用, 证明了必要条件。为了显示充足,让我们考虑与和 然后 在哪里 因此, 也就是说,使用我们有,

根据先前的结果的支持是高度常规例如什么时候不会消失,。

接下来,我们证明的周期性和与短时傅里叶变换的事实吗支持在一个特定的子群。

命题4。让和被给予。然后,下列条件是等价的。(1)有 这样 和 (2)的支持 包含在 。

证明。(1)暗示(2)是显而易见的,我们只证明(2)意味着:(1)。不失一般性,我们可以假设。我们把并考虑定位算子定义为 条件(2);因此 也就是说, 另一方面,和 因此, 从(44)、cauchy - schwarz不等式和条件对一些人来说,我们最后得出结论,, 因此 特别是,由cauchy - schwarz不平等,有与这样 也就是说,对于每一个。从我们获得。自我们可以继续像以前一样,获得对于一些与。最后,从这一事实 一些不同于零吗我们得出这样的结论。也就是说,并证明的命题。

与标准实现傅里叶变换的点下面的定义给出了(16]。

定义5。我们说产生一个时频如果翻译的基础形成一个标准正交基,这等于基础对于一些常量。

如果生成一个时频基础必须biunimodular;也就是说,,但相反的不。Biunimodular特征向量和向量生成时频的基础上很容易的支持。

命题6。让被给予。然后(1) 是biunimodular当且仅当吗 ,(2)的倍数 生成一个时频基当且仅当 在哪里是一个排列。

证明。(1)遵循和。
(2)让我们先假设生成一个时频的基础。因此,有一个排列这样和 然后 这是零只对吗(mod)。
反过来影响我们首先注意到意味着。作为一个人 对于一些,在那里 对于一些。自然后。因此是恒定的。现在我们推导出 对于每一个。特别是,我们可以写 我们获得 进行递归我们终于获得 然后是显而易见的,对于一些常数。最后,正如为我们得到是一个正交的基础,这个基础上同时常数与所有调节的集合。

作为一个应用程序,我们恢复(16定理4.5)。

推论7。让被给予。然后的倍数生成一个时频基当且仅当存在和这样是一个原始的根的团结

证明。让我们假设生成一个时频和基础。根据定理3,存在和这样, 我们把。从相同的结果的证据当且仅当(模)。因此,命题6给的地图内射的,或者说,和没有共同的主要因子。也就是说,是一个原始的根的统一。

推论8。让是一个质数。然后当且仅当满足下列条件之一:(1) 。(2) 。(3)(多个)生成一个时频的基础。

证明。我们假设。如果我们可以应用定理2.5得出与。如果这是一个原始的根的统一,因此生成一个时频的基础。以防。
如果然后,通过(6),我们有;因此,之前生成一个时频的支持或基础是一个单例。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

研究c·费尔南德斯和a . Galbis MEC和菲德尔项目支持的部分。mtm2010 - 15200和GVA Prometeo没有。II / 2013/013。j·马丁内斯被MEC支持的研究项目。mtm2008 - 04594。