文摘

我们研究延迟爵士流行模型和得到的阈值决定了全球动力学和疾病的结果。首先,对于任何,我们表明,无病平衡点全局渐近稳定;当,这种疾病会死。直接之后,我们证明了地方病平衡点是局部渐近稳定的;当,疾病将会持续下去。然而,对于任何,霍普夫分岔的地方病平衡点的存在条件。此外,我们比较延迟爵士流行模型与非线性发生率与双线性发生率。最后,数值模拟进行说明和验证结论。

1。介绍

许多学者一直在研究事物的变化规律,分析动态行为的相应的系统1- - - - - -28]。最近,人们建立了一些流行病模型根据许多现实因素如延迟因素,隔离,和人口变化。人们阻止许多流行病传播通过建立合理的数学模型。事实上,许多疾病有不同的延迟传播时,如免疫期延迟(2- - - - - -4),感染期延迟(5),和潜伏期延迟3,6- - - - - -13,16- - - - - -18,25]。时间延迟可能传染病动力学的影响。所以它是必要的和有用的讨论推迟流行病模型。

许多学者讨论了延迟影响传染病的传播。和一些延误没有影响流行病的传播(2- - - - - -12]。先生延迟模型的全局属性暂时免疫和讨论了非线性发病率Kyrychko和Blyuss [2];他们认为时间延迟代表临时免疫期和显示地方病平衡点是全局渐近稳定,这表明,延迟对系统没有影响非线性发生率。先生和迈克劳斯基研究了全球稳定的流行病模型的延迟和非线性发生率(7];他表明,地方病平衡点是全局渐近稳定通过李雅普诺夫函数。和全球稳定的延迟的SIRS流行病模型讨论了非单调发病率Muroya et al。8),证明了地方病平衡点是全局渐近稳定的。这说明延迟可能不会影响系统的动态与非发病率。与此同时,徐和马研究延迟的SIRS流行病模型的稳定性与非线性发生率(10];地方病平衡点的全局渐近稳定的系统被证明。此外,吉田和Hara讨论全球稳定延迟先生流行病模型的密度依赖的出生率和死亡率(11]。他们调查了地方病平衡点的稳定性,这是显示全局渐近稳定的。以上研究表明延迟没有影响流行在特定条件下的传播。

然而,一些延误影响的动态系统,导致霍普夫分岔发生(13- - - - - -20.,24,27]。和Akkocaoğlu等人讨论了霍普夫分岔分析的一般非线性时滞微分方程(13]。他们得到必要条件的线性稳定性和霍普夫分岔。还有其他学者分析霍普夫分岔系统的存在。霍普夫分岔分析模型的遗传监管体系与延迟了广域网和邹(14]。他们分析了分岔的方向和分岔周期解的稳定性。同时,密度霍普夫分岔两先生们依赖的流行病模型研究了格林哈尔希et al。15),他发现霍普夫分岔是理论上可行,但似乎没有发生实际的参数值。同时,歌曲等人研究了属性的稳定和霍普夫分岔艾滋病毒感染模型与时间延迟(18),表明霍普夫分岔在一定条件下会发生。然而,一些教授研究人口变化如何影响系统的动态行为21- - - - - -25,28]。费拉拉Ak索洛模型研究具有负的人口增长速度(21),分析了负的人口增长率假设标准Ak索洛模型的动态影响。同时,关于正义与发展党Solow-Swan模型与有限的人口增长率是他研究的(22];他检查的影响假设负面下界Solow-Swan内的人口增长率与Ak模型技术和有界Guerrini人口增长率。此外,他研究法律正义与发展党索洛模型与物流技术(23)和分析物流法律技术如何假设标准Ak索洛模型的动态影响。稳定和霍普夫分岔的离散和分布时滞监管物流发展模式研究了方舟子和江24];他们证明了系统局部渐近稳定在一个范围的延迟和霍普夫分岔发生突破一个重要价值。Enatsu等人分析了延迟先生流行病模型的稳定性和一类非线性发病率在25]。本文的基础上(23- - - - - -25,27),我们考虑发生率并建立以下模型与物流发展,获取霍普夫分岔的条件。与此同时,由于疾病和死亡率的自然死亡率相同,,被认为是。

本文的组织如下。节2先生,流行病模型,其基本繁殖数量,平衡和存在。此外,系统的稳定性和霍普夫分岔的存在(2)和系统(6)进行了较为详细的试验研究。节3,我们现在的数值模拟来验证结论。节4,一个简短的讨论结束这项工作。

2。爵士流行模式,基本的繁殖数量,和平衡

我们建立延迟先生流行病模型。在这里,表示数量的个体易患疾病,也就是说,谁还没有感染。代表了传染病和被感染的个体数量能够传播疾病与易感个体通过联系时间。代表的数量恢复个人时间。

转移图如图5。

爵士流行模型与非线性发生率如下: 在系统(1),它假定人口增长在易感宿主个体是由物流承载能力的增长以及内在出生率常数,参数,,,,,这是积极的常量人口的自然死亡率;疾病传播系数;参数是衡量心理或抑制作用;死亡率是由于疾病;回收率和吗艾滋病的潜伏期。

为简单起见,定义,,。,,,,,,,。当下降系统(1)成为以下系统:

系统的初始条件(2),,。,,。 ,。和模型的可行域上面的初始条件 很容易证明正不变量对系统(1)。根据计算和流行病模型的实际意义,系统(2总是有一个无病平衡点。定义基本的繁殖数量如下: 让。如果基本的繁殖数量,存在一个唯一的地方病平衡点,,。

爵士流行模型与双线性发生率如下:当系统(1)成为 相同的转换后,系统(5)成为 系统(6总是有一个无病平衡点。定义基本的繁殖数量如下: 让。如果基本的繁殖数量,存在一个唯一的地方病平衡点。

首先,系统(2)进行了研究。我们证明无病平衡点是全局渐近稳定的。地方病平衡点是局部渐近稳定的时候和不稳定时。与此同时,系统(2)经历了霍普夫分岔当。并证明了相同的结论出现在系统(6)。

2.1。爵士流行模型与非线性发生率

在本节中,我们讨论无病平衡点的局部稳定性系统(2通过分析其相应的特征方程。通过定义一个合理的李雅普诺夫函数,我们解决全球动力学的不需要任何额外的条件。与此同时,我们学习的动力系统(2地方病平衡点)。和霍普夫分岔的条件。

定理1。如果,无病平衡的系统(2)是局部渐近稳定的。如果,它是不稳定的。

证明。当无病平衡点的特征方程的系统(2)的形式 很明显,系统(2)总是有两个负实际根源:和。所有其他的根是由方程的根 假设, 因为, 因此,无病平衡的系统(2)是局部渐近稳定的。
如果,让,因为,至少,有一个积极的真正根源。因此,无病平衡的系统(2)是不稳定的。
当,对我们来说很容易证明无病平衡的系统(2)是局部渐近稳定的。

定理2。如果,无病平衡的系统(2)是全局渐近稳定的。

证明。为,定义一个可微的李雅普诺夫函数 很明显, 导数的计算正解的系统(2),它遵循 因为,。当,, 而当且仅当,,,。对所有,很容易证明是最大的不变集的子集。因为拉萨尔的不变性原理,无病平衡的系统(2)是全局渐近稳定的。这就完成了证明。

定理3。如果,地方病平衡点是渐近稳定时;霍普夫分岔产生的当经过一系列的关键值在系统(2)。

证明。流行的特征方程平衡是 在这里,。
当,流行的特征方程平衡是 在这里让 因为,,、订单。一个人 根据赫维茨判据,特有的平衡的系统(2)是局部渐近稳定的。
当,让 流行的特征方程平衡的系统(2)的形式 假设是一个根(21)。在替换,我们得出, 将实部和虚部,接下去 调整和补充方程,然后 让,然后(24)成为 在这里。很容易证明。一个人 所以,当,。还有一个独特的积极令人满意的(25)。也就是说,只有一个纯虚根(21)。
从(23),我们得到相应的这样的特征方程(21)有一对纯虚根: 接下来我们表演 这将意味着,至少存在一个特征值与正实部。区分(21)对,我们将获得 因此 这里,我们将展示。让。
一个人 根据上面的公式中,如果,,也就是说,当
我们可以推出当。因此,横截条件持有和霍普夫分岔的条件感到满意在系统(2)。

2.2。用双线性发生率先生流行病模型

使用相同的方法在系统(2),我们可以证明无病平衡系统(6)是全局渐近稳定的。这里的证据将被忽略。我们只研究的动力系统(6地方病平衡点)。

定理4。如果,地方病平衡点是渐近稳定时;系统(6)经历了霍普夫分岔当。

证明。流行的特征方程平衡的系统(6)是 当,流行的特征方程平衡是 因为 特有的平衡的系统(6)是局部渐近稳定的。当,让 流行的特征方程平衡的系统(6)将成为 让;使用相同的方法在系统(2),我们可以得到方程,如下所示: 订单;(38)成为 我们知道。当,。也就是说,只有一个纯虚根(39)。与此同时,可以得到: 然后
让, ++。订单 很明显,。当,。与此同时,如果,和理论上是这样。此外,该结论也说明了图形显示功能的趋势。参见图1(一)和1 (b)。
总之,当,。因此,。即横截条件持有和霍普夫分岔的条件感到满意在系统(6)。在这里,我们可以发现霍普夫分岔条件成为系统(弱6比系统()2)。这意味着系统(6)经历了霍普夫分岔当很容易。

3所示。数值模拟

在本节中,我们研究系统(1)和系统(5)数值。根据不同的日期可以反映实际情况,我们得到了不同的仿真来证明我们的结论很明显。

3.1。的数值模拟系统(1)

无病平衡的系统(1)是全局渐近稳定的。

让,,,,,,,;在这里;参见图2(一个)。

当的动力系统(1通过以下所示模拟。

让,,,,,,;在这里。当,地方病平衡点是渐近稳定的;参见图2 (b)。

当,地方病平衡点也渐近稳定;参见图2 (c)和2 (d)。

当,地方病平衡点霍普夫分岔是不稳定,出现在哪里;参见图2 (e)- - - - - -2 (h)。

3.2。的数值模拟系统(5)

当,无病平衡的系统(5)是全局渐近稳定的。

让,,,,,;在这里;参见图3(一个)。

当的动力系统(5)是由以下模拟显示。

让,,,,,;在这里。

当,地方病平衡点是渐近稳定的;参见图3 (b)。

当,地方病平衡点也渐近稳定;参见图3 (c)和3 (d)。

当,地方病平衡点霍普夫分岔是不稳定,出现在哪里;参见图3 (e)- - - - - -3 (h)。

此外,当的增加,将会减少。让,,,,,,。我们可以得到的变化趋势作为改变系统(1)。很显然,存在这样。也就是说,如果,这种疾病会死。

与此同时,让,,,,,。我们可以得到的变化趋势作为改变系统(5)。很显然,存在这样。也就是说,如果,这种疾病会死。

参见图4(一)和4 (b)。

4所示。讨论

在本文中,我们调查流行爵士的动力学模型与物流易感个体的人口增长。的发病率被认为是在这里。此外,由于疾病和死亡率的自然死亡率相同,,被认为是两个系统。我们证明无病平衡点是全局渐近稳定时的基本繁殖数量小于团结对于任何延迟地方病平衡点是局部渐近稳定时的基本繁殖数量大于团结在系统(2)和系统(6),分别。与此同时,当,得到了霍普夫分岔的充分条件,并将发生在两个系统周期解。从生物学的角度来看,这里的延迟影响传染病的传播。也就是说,延迟是有害的。此外,霍普夫分岔的条件系统(2),不同于那些在系统(6)。霍普夫分岔的条件成为系统(弱6比系统()2)。因此,根据不同的情况下,人们应该采取不同的措施来控制疾病。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(10471040)和美国国家科学基金会的山西省(2009011005 - 1)。