文摘
我们扩展经典的SIRS传染病模型结合媒体报道从一个确定的框架,一个随机微分方程(SDE)和关注环境接触系数的波动如何影响疾病的灭绝。我们给独特的正解的存在条件和随机灭绝SDE的模型,并讨论了指数SDE的模型的稳定性和全局稳定性。的一个最有趣的发现是,如果噪声的强度很大,然后疾病容易灭绝,它可以为我们提供一些有用的疾病控制策略调节动态。
1。介绍
近年来,许多数学模型已经被制定来描述媒体报道对传染病动力学的影响(1- - - - - -10]。大众媒体(电视、广播、报纸、广告牌、和小册子)已作为一种提供预防性健康信息,因为它有可能影响人们的行为,防止他们冒险的行为或采取预防措施与疾病暴发(7,11,12]。因此,媒体报道有一个巨大的影响和控制传染病的传播(2,3,9]。
另一方面,对于人类疾病,流行的生长和传播的本质是内在的随机由于人际交往的不可预知性13),和人口的连续光谱干扰(14,15]。在流行病动力学、随机微分方程(SDE)模型可以更合适的建模方式流行在许多情况下,许多现实的随机流行病模型可以推导出基于确定性配方(16- - - - - -28]。
在[10),刘调查SIRS传染病模型结合媒体报道与随机扰动。他假定随机扰动的白噪声类型,直接与距离成正比易感、传染病,恢复从地方性平衡点的价值观,影响,,,分别。事实上,除了可能的均衡方法(10),可能有不同的方法引入随机效应的流行病模型受到环境白噪声从生物学意义和数学的角度来看28- - - - - -30.]。一些学者[17,28,30.,31日)表明,一个或多个系统参数(s)可以摄动随机白噪声项获得环境摄动系统。
在[10),作者证明了随机模型的地方病平衡点渐近稳定的。因此,人们很自然地问接触环境波动系数如何影响疾病的灭绝。
在本文中,我们将集中在环境波动的影响,通过研究疾病的灭绝众位的随机动力学模型结合媒体报道。本文的其余部分组织如下。节2根据崔的结果等。2]和[10),我们推导出随机微分SIRS模型结合媒体报道。节3,给出了唯一正解的存在条件和随机灭绝SDE的模型。节4,我们提供一些例子来支持我们的研究结果。在最后一节中,我们提供了一个简短的讨论和主要结果的总结。
2。模型推导过程和相关定义
2.1。模型推导
让是易感个体的数量,感染个体的数量个人在时间的数量,分别。根据崔等的工作。2]和[10),我们认为SIRS传染病模型结合媒体报道如下: 在哪里招聘率,代表了自然死亡率,是恒定的免疫力的损失,是疾病引起的恒定的死亡率,是恒定的回收率。通常是没有考虑到感染性个人和接触率最大接触率降低是由于受感染的个人的存在。没有人能避免与他人接触在任何情况下,假定。half-saturation常数反映了媒体报道的影响在接触传播。这个函数是一个连续有界函数,考虑疾病饱和或心理影响。
对模型(1),基本的繁殖数量 是流行的阈值系统的发生。模型(1)有一个无病平衡如果和特有的平衡。无病平衡点是全局渐近稳定和不稳定。地方病平衡点是全局渐近稳定。这些结果的模型(1)进行了研究[10]。
如果我们更换接触率在模型(1),在那里是一个白噪声(即是一个布朗运动),模型(1)成为如下:
在本文,我们是一个完整的概率空间过滤令人满意的(即通常的条件。,it is right continuous and increasing while包含所有空集)。定义一个有界集如下:
2.2。相关定义
考虑到一般维随机微分方程 在与初始值解决方案是用。假设和对所有,所以(5)解决方案,这叫做平凡解。
让我们首先回忆一些定义。
定义1(见[32])。简单的解决方案(5)说(我)稳定概率,如果, (2)渐近稳定概率条件下较为稳定,而且如果 (3)在概率和全局渐近稳定,如果是稳定而且如果 (iv)如果所有几乎必然指数稳定, (v)指数级的稳定的如果有一双正的常数和这样对所有,
3所示。SDE的动力学模型(3)
接下来,我们首先用李雅普诺夫函数的方法找到独特的模型(正解的存在条件3)。
3.1。独特的模型(正解的存在3)
在本节,我们将展示独特的存在积极的全球解决方案空间数据模型(3)。
定理2。考虑模型(3),对于任何给定的初始值;还有一个独特的解决方案在它将继续的概率。
证明。定理2的证明是几乎相同的33),但出于完整性的考虑我们这里重复一遍。让。总结三个方程(3),表示,我们有
然后,如果对所有几乎可以肯定(短暂的主导者——),我们得到的
因此,通过集成,我们检查
然后,,所以,
因为模型的系数(3)满足局部李普希兹条件,都有一个独特的当地的解决方案,在那里是爆炸时间。因此,当地独特的解决方案模型(3)是积极的Ito的公式。现在,让我们表明,该解决方案是全球性的;也就是说,其子as。
让这样。为,定义的终止时间
然后
定义一个函数通过
由伊藤公式,,,我们获得
在哪里
由(14我们断言,对所有。因此
用这个不等式(18),我们看到
这意味着
上面的不平等导致的期望
另一方面,鉴于(14),我们有。然后,
在哪里的指标函数。注意,有一些组成部分等于;因此,。从而
结合(23)和(25),,
让;我们获得,。因此,。作为,然后a.s.完成定理的证明。
推论3。一组几乎肯定是积极的不变的模型(3);也就是说,如果,然后对所有。
3.2。随机模型(灭绝3)
在本节中,我们研究随机无病平衡点的稳定性在几乎确定指数和指数稳定使用合适的李雅普诺夫函数和随机分析的其他技术。
下面的定理给出了一个充分条件的几乎必然指数稳定性无病平衡的模型(3)。
定理4(几乎可以肯定指数稳定性)。如果,然后无病的模型(3)几乎肯定指数稳定。
证明。定义一个函数通过 我们利用Ito的公式, 在哪里。自 ,我们获得 因此, 在哪里鞅的定义吗。由于推论3的解决方案模型(3)仍在。然后, 在哪里是一个积极的依赖是常数,。强大数定律的鞅(16),我们有。最后遵循从(30.)除以在双方然后让那 这是所需的断言。
我们现在考虑指数的概念稳定。下面的引理给出了充分条件指数稳定的随机系统的李雅普诺夫函数(见[32])。
引理5(见[32])。假设存在一个函数满足如下不等式: 在哪里和是正的常数。的平衡模式(3)是指数稳定的。当据说,它通常是在均方指数稳定和平衡是全局渐近稳定的。
从上面的引理,我们获得以下定理。
定理6(指数稳定)。让。如果条件和,无病平衡的模型(3)是时刻指数稳定。
证明。让和;的必然结果3的解决方案模型(3)仍在。我们定义的李雅普诺夫函数如下:
在哪里和是真实的积极的常量,选择之后。很容易检查的不平等(33)是正确的。
此外,由伊藤公式,它遵循那
使用这一事实
我们得到了
在哪里
针对,我们有
。因此,我们选择足够小,,是积极的,。根据引理5完成证明。
推论7(全局渐近稳定)。如果条件和,无病平衡的模型(3)是全局渐近稳定的。
4所示。数值模拟和动态比较
在本节中,作为一个例子,我们给出一些数值模拟来展示不同的动态确定性模型的结果(1)和随机版本(3)与同一组参数值通过使用Milstein方法中提到海厄姆(34]。通过这种方式,模型(3)可以写成下面的离散化方程: 在哪里,是高斯随机变量。
(1)的流行动态确定性模型(1)。确定性模型(1),;因此,它承认一个唯一的地方病平衡点这是全球稳定初始值吗根据(10(看,图1)。
(2)的随机动态模型(3)。相应的随机模型(3),我们选择;然后,我们有。因此,从定理4,我们可以得出这样的结论:对于任何初始值,无病的模型(3)几乎肯定指数稳定(见图2(一个))。
| (一) |
| (b) |
看到的疾病动态模型(3),我们降低噪声强度是并保持其他参数不变。然后,我们有。因此,定理的条件4是不满意的。在这种情况下,我们的模拟表明,模型(3)是随机持久(见图2 (b))。
5。结束语
在本文中,我们提出一个SIRS传染病模型与媒体报道和环境波动来描述疾病传播。结果表明,环境波动的大小会有一个有效的对传染病的控制和传播的影响。简而言之,我们总结我们的主要研究结果,以及相关的生物意义如下。
定理4和[10)结合数值模拟(见图1和2)为我们提供了一个完整的图片的动态确定性模型(1)和随机模型(3)。在[10),作者表明,确定性模型(1)承认一个唯一的地方病平衡点这是全局渐近稳定,如果其基本复制号码吗(见图1)。如果噪声强度的大小大,也就是说,疾病的灭绝,随机模型(3)是否发生大于或小于1(见图2(一个))。而噪声强度的大小很小,我们的一个最有趣的发现是,疾病可能会持续如果(见图2 (b))。
不用说,都可能平衡方法和参数可能的方法本文可以发挥重要作用。很明显,我们的结果摘要可能是一个有用的补充(10]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究受到了美国国家科学基金会的中国(61373005,61373005,11201345)和浙江省自然科学基金(LY12A01014)。