文摘
我们从自相似组织表明,斯梅尔空间拓扑混合及其稳定的代数和稳定的小巷强烈盛田相当于Anantharaman-Delaroche广群代数的代数和Deaconu。我们表明,有关超临界的有限的双曲有理函数是一个在代数real-rank零与一个独特的跟踪状态。
1。介绍
Nekrashevych发展动力系统的理论代数的自相似组(1,2]。这些团体包括组织根源作用于树木和有限自动机和迭代单值组self-covering拓扑空间。从自相似组,Nekrashevych斯梅尔空间窄小的街道和普特南构造相应的稳定和不稳定的代数和小巷各种等价关系代数斯梅尔空间(3- - - - - -7]。
主要的方法代数结构(2)是基于Cuntz-Pimsner代数生成自相似组。然而斯梅尔空间及其对应的代数间有丰富的动态结构,可想而知,动力系统与自相似组可能会使另一种学习的方式代数的自相似组。我们的目的是阐明自相似组从动力系统的角度。
本文是关于广群及其广群代数稳定的等价关系的螺线管的极限自相似的组。而不是使用广群和斯梅尔空间普特南(3,4]和Nekrashevych [2),我们认为本质上主要广群和Anantharaman-Delaroche [8]和Deaconu [9在演讲的。而和不来说,广群,和是来说。和和上定义这样我们不需要承担的逆极限结构。因此和更易于管理和他们的结构代数。
在本文中,我们证明,对于一个自相似动力系统,它的限制拓扑混合,这样吗是一个不可约斯梅尔空间。我们表明,相当于和相当于在穆勒的感觉等。10]。因此,广群代数和盛田昭夫等同于稳定的代数强烈吗和稳定的小巷代数分别的。然后我们使用和研究结构代数的自相似。最后,我们表明,广群代数从超临界的双曲有限理性的功能代数的real-rank零。
论文的大纲如下。节2,我们审查的概念自相似组和广群和表明,诱导极限动力系统和自相似组极限电磁拓扑混合。节3我们观察到,相当于和相当于。节4,我们给出一个证明它的广群代数简单、纯粹的无限可分,稳定,和核和满足通用系数公式。为,我们表明,简单和核。当自相似组由超临界的有限的双曲有理函数定义和茱莉亚组,我们证明是一个代数。
2。自相似组
我们回顾自相似的属性组。至于一般引用的概念自相似组,我们指的是(1,2]。
假设是一个有限集合。我们表示一组单词的长度在与以及定义。一个自相似组 由一个和一群忠实的行动在这样,和,存在独特的和这样 上述平等是书面正式
我们观察到的任何和,存在一个独特的元素这样对于每一个。独特的元素被称为限制的在和用。为和,我们写
一群自相似被称为复发性如果对所有,有一个这样;也就是说,对于每一个。我们说是承包如果有一个有限的子集的满足如下:每一个,有这样对于每一个的长度。如果组织收缩,最小的设置满足这个条件被称为核的组。
站的假设。我们假定我们的自相似组是一个收缩、复发和常规组,组吗是有限生成。
道路空间。为一个自相似组,一组有一个自然的树结构:根是什么顶点的词语,边缘的形式来,在那里和。然后树的边界识别与空间right-infinite路径的形式,在那里。产品拓扑离散集给出了在。
我们说一个自相似组是常规的如果,每和每一个,要么或有邻居在附近,这样每一个点是固定的。
我们也考虑到空间left-infinite路径在与产品拓扑。两条路径和在据说渐近等价如果有一个有限的集合和一个序列这样 对于每一个。的商空间渐近等价关系叫做限制空间的和用。自转变下的渐近等价关系是不变的地图地图,诱发连续映射。我们所说的诱导动力系统的限制动力系统的(见[1,2]详情)。
备注1。复发性和有限生成条件暗示是一个紧凑,连接,本地连接,可度量空间2.8.5有限维的推论和定理3.6.4 [1]。意味着和常规条件是一个的命题6.1倍self-covering地图(2]。
一套缸为每一个定义如下: 然后收集所有这些缸套产品拓扑形式的基础。我们回想一下,一个动力系统被称为拓扑混合如果每一对非空的开集在,有一个这样对于每一个。
定理2。 是一个拓扑混合的系统。
证明。作为产品拓扑和吗从渐近等价关系商拓扑诱导,这足以表明,任意缸套吗和的,有无限的路径和这样渐近等价于。而且我们可以假设对于一些这和。
我们选择足够大,让这和的元素。然后通过周期性条件和1,推论2.8.5]和在,有一个这样。既然我们选择了大合同条件,是一种元素的原子核的。
我们提醒的细胞核是一个有限集合,等于什么
所以一个元素的核是一个限制另一个元素的原子核。因此意味着存在一个字母和一个这样。然后,对于,我们有
所以用归纳法有一封信和一个对于每一个这样
让,让。然后它是微不足道的和。和渐近等价于。因此,限制动力系统拓扑混合。
让bi-infinite路径的空间在字母。的直接产品拓扑离散集给出了在。我们说两条路径和在是渐近等价如果有一个有限的集合和一个序列这样 对于每一个。的商渐近等价关系叫做限制电磁的和用。的情况下地图上的转变转移到一个同胚诱导,我们将表示。
定理3(见[1,2])。极限电磁同的逆极限空间吗 和是定义的同胚诱导 此外,电磁系统的极限是一个斯梅尔空间。
我们有下面的定理2。
推论4。 拓扑混合。
我们有一个自然的投影从地图上诱导 和的关系代表。然后很容易检查。的稳定的等价关系在是定义如下2,命题6.8):
定义5。一个说,这两个元素和在稳定等价和写吗如果有一个这样。
换句话说,当和由无限的路径和在,当且仅当相应的left-infinite路径和在渐近等价的一些吗。
广群上 和 假设是一个自相似组和吗其相应的极限电磁。我们回想一下3稳定的等价广群)在和它的半直积被定义的 然后和是广群与自然结构的地图。单位空间的和识别与通过地图和,分别。
给这些广群拓扑,我们考虑子群化。为每一个,设置 然后子群化的。注意,如果和在稳定是相同的对于一些负整数,然后 意味着。所以我们获得稳定的等价广群 每一个是考虑到相对拓扑,给出了归纳极限拓扑。在这种拓扑中,不难检查在当地是一个紧凑的豪斯多夫主要广群与自然结构的地图。为,我们将产品的拓扑来通过地图。顺从和哈雾系统和解释(2- - - - - -4]。我们表示广群代数的通过和通过并调用它稳定的小巷代数在。
对动力系统的极限自相似的组,我们构建广群和Anantharaman-Delaroche [8]和Deaconu [9]。让为和定义 与自然结构的地图。单位空间的和识别与通过和。
我们给相对拓扑在和归纳极限拓扑。然后是第二个可数,本地紧凑、分离,与哈雾系统来说,广群由计数措施。一个拓扑是由基础的形式 在哪里和是开放的集和这样和是同胚相同的范围。然后是第二个可数,本地紧凑、分离,来说,广群,计数测量是一个哈雾系统(9,11]。顺从的和在命题2.4[解释12]。我们表示广群代数的和通过和,分别。
3所示。广群等价
我们遵循Kumjian和帕斯克(13第五节]获得等价之间的广群和和之间的和分别的穆勒et al。10]。
我们重复Kumjian和帕斯克的观察13]。假设在当地是一个紧凑的豪斯多夫空间和在当地是一个紧凑的豪斯多夫广群。连续开满射我们设定一个拓扑空间 相对拓扑并在本地一个紧凑的豪斯多夫广群 与相对拓扑。
定理6(见[13引理5.1])。假设,,,,以前的。然后实现之间的等价性和在Muhly-Renault-Williams的感觉。
现在我们考虑定义为。自的成分是投影地图吗和身份映射来,是一个连续开满射。然后我们有 不难检查,在那里 而相对拓扑相当于归纳极限拓扑。
引理7。假设限制电磁系统诱导从自相似组这相关的稳定等价广群吗。然后定义为是一个广群同构。
证明。记住,和。从交换关系,我们观察
因此是一个定义良好的双射之间的映射和。
因为拓扑和是相对拓扑从,是一个同胚。然后是一个同胚的归纳极限给出拓扑和。这是例行检查是一个广群射。
之间的广群等价和遵循从定理6和引理7。强森田等价从[10,命题2.8]既广群哈雾系统。
定理8。假设是一个自相似组,相关的广群吗,这相关的稳定等价广群吗。然后和在Muhly-Renault-Williams的感觉是等价的。因此强森田相当于稳定的代数吗在极限电磁系统。
类似的断言保持和。为定义为,我们观察
引理9。假设稳定的等价广群吗这半直积是广群。然后定义为是一个广群同构。
证明。回想一下,。然后意味着对于一些。所以从引理的证明7,我们获得 因此是一个定义良好的双射的地图。作为产品拓扑中,我们注意到吗是同胚中定义的引理7这同胚到 是微不足道的是一个广群射。
定理10。假设是一个自相似。然后和在Muhly-Renault-Williams的感觉是等价的。因此强森田相当于代数稳定的小巷在。
备注11。在[11),陈和侯显示出类似的结果在一个额外的条件下,斯梅尔空间是不断扩大的逆极限满射在一个紧凑的度量空间。
4所示。广群代数
假设是一个自相似。我们使用其相应的和研究代数结构稳定的代数和代数稳定的小巷。
雷诺(后15),我们说一个拓扑广群以开放的地图范围本质上主要如果本地紧凑,每关不变子集单元的空间,是密集的。一个子集的被称为不变如果。和被称为最小的如果唯一不变的子集是空集和本身。我们参考15详情)。
命题12。广群的本质上是本金。
证明。让
然后我们观察。因此是密集的这意味着是密集的这本质上是本金。
表明是密集的,我们假设不密集的。然后我们可以找到一个开集这样作为是一个紧凑的豪斯多夫空间。自
在哪里,我们有
然后由贝利类别定理,存在一些整数和这样非空的内部。但是一个有限集合,因为是一个有限集合,是一个有限集合是一个倍覆盖地图,一个矛盾。因此是密集的,本质上是一个主要广群。
有优秀的标准广群代数从动力系统简单而纯粹的无限由雷诺(12]。
引理13(见[12])。对于一个拓扑空间和当地同胚,让的广群Anantharaman-Delaroche Deaconu。假设本质上是一个主要广群和是它的广群代数。(1)假设每一个非空的开集和每一个,存在这样。然后很简单。(2)假设每一个非空的开集,存在一个开放和这样中包含的是严格。然后纯粹是无限的。
作为本质上是一个主要广群,我们有另一个定理6.5的证明(2]。
定理14。代数简单、纯粹的无限可分,稳定,和核和满足通用系数Rosenberg-Schochet定理。
证明。假设是一个开放的设置。逆的形象在说,是开放的,有一个气缸套由一些定义这样。气缸套的定义,我们有,这意味着在商空间。因此,每,和很简单。
一个开放的组的,让是一个开放的子集这样的形象在等于气缸套吗,在那里对于一些。然后我们获得在前面的,是一个适当的子集对于每一个。因此纯粹是无限的。
自本地紧凑和第二可数,是-unital、nonunital和分离。所以张的二分法16定理1.2)暗示是稳定的。由命题2.4的12),顺从的核是一个简单的结果。因为在当地是一个紧凑的广群哈雾系统满足普遍定理引理3.5和命题10.7的系数(17]。
推论15。 是稳定的小巷代数同构。
证明。因为和从定理是稳定的,这是微不足道的吗10。
为,我们使用这一事实是一个主要广群代表AP等价关系(18]。
命题16。广群的是最小的,其广群代数吗很简单。
证明。在定理的证明14,我们发现每一个气缸套的,有一个这样。因为的逆象一个非空的开集在包含一个气缸套观察诱导在商空间。然后是一个由[最小广群19,命题2.1]。和简单的遵循从[15,命题II.4.6]是一个来说,主要广群。
命题17。 归纳极限吗。和每个盛田昭夫相当于强烈吗。
证明。请注意,是广群代表AP等价关系平稳序列。因此很容易检查推论2.2的18]意味着归纳极限结构。
很明显广群代表一个等价关系吗定义为当且仅当。和,在那里意味着是一个封闭的子集。因此我们有强壮的盛田等价的和由(20.,命题2.2]。
推论18。 是一个核代数。
证明。自核,也核(21定理15]。这类核是一个众所周知的事实代数是归纳极限下封闭。所以是核。
超临界的有限理性的地图。假设超临界的有限的双曲有理函数的程度超过一个,也就是说,一个有理函数的程度超过一个这样的每一个关键时刻的轨道最终属于周期包含一个临界点。然后扩大在附近的茱莉亚组吗,该集团承包,复发、常规和有限生成,和动力系统的极限是拓扑共轭的行动在茱莉亚组(见[2,部分2和6])。
我们借了以下定理的定理3.16和4.23的话(22]。
定理19。让是一个超临界的有限双曲有理函数的不止一个,让程度是广群在其限制动力系统部分2。然后是一个代数real-rank零与一个独特的跟踪状态。
证明。表明是一个代数,我们用锣的工作(23推论6.7]。由命题16和17,是一个简单的代数的一个归纳极限是什么当地光谱系统一致有界的维度。和Nekrashevych显示组的超临界的有限的双曲理性功能扭转免费(2定理6.6)。因此是一个代数。
作为是一个扩大当地同胚(见[2,6.4节)和具体的主张16和[19,命题2.1),有独特的跟踪状态,备注(3.619]。简单和一致有界的维度条件暗示大约是可分割的Blackadar et al。24)如图所示,艾略特et al。14]。因此real-rank零了定理1.4的24]。
推论20。 与超临界的有限双曲理性功能的程度超过一个属于类的代数由艾略特分类程序。
承认
作者想表达谢意的裁判建议。