文摘

考虑一个nonself-mapping,在那里是一对非空的子集的模块化的空间。最好的接近点是一个点满足条件:。在本文中,我们介绍了一类近端quasicontraction nonself-mappings与模块化的空间费托财产。对于这样的映射,我们提供充分条件保证最好的邻近点的存在性和唯一性。

1。介绍和预赛

通过本文,我们表示正整数的集合包括零。让是一个向量空间。我们表示零向量。根据Orlicz [1),功能据说是模块化的,如果任何一对吗满足以下条件:(我) 当且仅当;(2) ;(3) 每当和。

如果是一个模块化的,然后一组 叫一个模块化的空间,是一个向量空间。

模块化作为一个经典的例子,我们可以给Orlicz模块化定义为每一个可测量的实际功能通过 在哪里勒贝格测度在吗和是一个函数满足某些条件。模块化的空间由Orlicz模块化被称为Orlicz空间。更多的例子模块化的空间,我们参考读者2- - - - - -4]。

定义1。让是一个模块化的空间。(1)序列据说是收敛到如果,因为。(2)序列据说是柯西如果,因为。(3)一个子集的被称为关闭如果限制的收敛序列的总是属于。(4)一个子集的被称为推进如果任何柯西序列是收敛和其限制属于。

定义2。模块化的费托财产吗每当收敛到。

最近,最邻近点的存在性和唯一性的度量空间是由许多作者研究;参见[2,5- - - - - -14)和引用。在本文中,我们介绍的家人近端quasicontraction nonself-mappings在模块化的空间费托财产。我们的主要结果是一个最好的邻近点定理保证提供充分条件最好的邻近点的存在性和唯一性等映射。

让是一对非空的闭子集的模块化的空间。通过本文,我们将使用以下符号:

定义3。让是一个给定的nonself-mapping。我们说是一个最好的邻近点吗如果

显然,从条件(i),如果最好的接近点将是一个不动点的。

定义4。一个nonself-mapping据说是一个近端quasicontraction如果存在一个号码吗这样 在哪里。

引理5。让nonself-mapping。假设(我) ;(2) 。然后,对任何,存在一个序列这样

证明。让。(2),我们有。根据定义的集合,存在这样。再次,我们有,这意味着存在这样。继续这个过程,通过感应,我们获得一个序列令人满意的(6)。

定义6。假设以下引理5,任何序列令人满意的(6)被称为近端Picard序列相关。我们表示所有近端序列相关的集合。

定义7。假设以下引理5,我们说是近端-orbitally推进如果每个柯西序列对于一些 收敛的一个元素。

让和。对所有,我们表示 自,我们有

2。最好的接近点定理

下面的引理以后会有用的。

引理8。让是一个模块化的空间。假设一个nonself-mapping,在那里是一对的子集满足下列条件:(我) ;(2) ;(3) 近端quasi-contraction。然后,对任何,一个 对于任何和。

证明。让和。定义的,尽管,我们有 这意味着,自是一个近端quasi-contraction, 这意味着立即, 对所有。因此,对于任何,我们有 使用上面的不平等,和,我们有

引理9。让是一双模块化空间的子集。让是一个给定的nonself-mapping。假设(我) 是近端-orbitally的推进;(2) ;(3) 这样;(iv) 近端quasi-contraction;(v) 满足费托财产。然后,任何序列收敛一些这样 对所有。此外,存在这样

证明。让。从引理8,我们知道是柯西。自是近端-orbitally的推进,然后存在这样收敛到。再次,通过引理8,我们有 对于任何和。让在上面的不平等和使用的财产,我们获得 对所有。现在,因为的定义,存在一些这样。

现在,我们准备状态,证明我们的主要结果。

定理10。假设满足前一个引理的假设。假设和。然后,限制的是一个最好的邻近点吗。此外,如果是最好的邻近点吗这样,然后有。

证明。由引理9,我们有 另一方面,从的定义,我们有 自近端quasi-contraction,我们得到的 使用前题8和9,我们获得 再次,从的定义,我们有 自近端quasi-contraction,我们得到的 因此,我们证明了这一点 继续这个过程,通过感应,我们得到 对所有。因此,我们有 使用的财产,我们得到 这意味着,自,这;也就是说,。因此,从(19),我们得到 因此,是一个最好的邻近点吗。
现在假设是一个最好的邻近点吗这样。自近端quasi-contraction,我们获得了吗 自,我们有,这意味着。

考虑现在的情况。在这种情况下,最好的接近点将是一个定点self-mapping。

定义11。我们说是-orbitally推进如果是一个柯西每,那就是收敛的一个元素。

类似于Ćirić[15)定义,Khamsi [16]介绍的概念quasicontraction self-mappings在模块化的空间中。

定义12。的self-mapping据说是一个quasicontraction如果存在一个常数这样 对所有。

从定理10,我们可以推断出以下结果,也就是说,一个轻微的扩展的不动点定理建立了Khamsi (16]。

推论13。考虑一个self-mapping,在那里是一个非空的子集的。假设持有下列条件:(我) 是-orbitally的推进;(2) 这样;(3) 满足费托财产;(iv) quasi-contraction。然后,序列收敛一些。此外,如果和,然后是一个不动点的。如果是一个不动点的与,然后。

承认

这项工作是支持的研究中心,科学,沙特国王大学学院。