上界和下界的矩阵表达式

文摘

我们考虑如何利用的问题这样的非线性矩阵表达式达到它的最大和最小可能的行列。

1。介绍

在这篇论文表示的集合矩阵的复杂的领域。表示顺序的单位矩阵和是矩阵的所有零条目(如果没有发生混乱,我们将把下标)。为一个矩阵,和表示共轭转置矩阵的秩,分别。代表一个行块矩阵组成的和。

让;一个广义逆的是一个矩阵满足以下四个彭罗斯的一些方程(1]:

的一个子集的设置的设置矩阵满足方程从(1)是用。一个矩阵被称为一个逆的和用。例如,一个矩阵的设置被称为逆的和用。独特的逆的用,这叫做Moore-Penrose逆的。为了方便起见,这些符号和代表两个正交的投影仪和。我们参考读者2- - - - - -4基本结果广义逆。

在矩阵理论和应用程序中,存在一个非线性矩阵表达式,包括变量条目: 在哪里是一个给定的复杂的矩阵和是一个变量矩阵。这些非线性矩阵表达式不同的选择。的一个基本问题(2)是确定可能的最大和最小的矩阵表达式当运行在。由于矩阵的秩之间的一个整数0和矩阵的行和列数字的最小(5),最大和最小的行列可以获得一些吗。

极值的矩阵表达式的调查有许多矩阵分析的直接动机。例如,一个矩阵表达式的订单是满秩的,如果且仅如果最大的关于是;两个一致矩阵方程和有一个共同的解决方案当且仅当最低等级的区别他们的解决方案是零;一个非线性矩阵方程当且仅当最小的是一致的吗关于是零。的定义矩阵的逆,我们知道解决方案的非线性矩阵方程是一个矩阵的逆;使用最小级别的,我们可以找到的一般表达式矩阵的逆,这是一个矩阵的非线性矩阵表达式达到其最小秩。一般来说,任何两个矩阵表达式和相同尺寸的和这样当且仅当

这些例子表明极值的矩阵表达式有密切联系的许多主题矩阵分析和应用程序。各种语句在最大和最小的矩阵表达式是非常容易理解的人知道线性代数。但现在的问题是如何给简单的极值排名或封闭形式的一个矩阵矩阵表达式的变体。最大和最小的矩阵表达式研究始于1980年代末。如果想知道更多关于这个问题的读者可以看到6- - - - - -18]。

本文的工作包括两个部分。首先,在节2,我们将考虑如何选择一个矩阵,这样最大可能的排名。其次,在节3,我们将确定的最低等级和现在的一般表达式矩阵的逆。

为了找到极值的非线性矩阵表达式,我们需要下面的引理,这将在本文中使用。

引理1(见[19])。让,在那里,,,,给出了矩阵。那么对于任何变量矩阵和,一个
在哪里

引理2(见[20.])。让是在复数域线性矩阵表达式,在那里,,给出了;矩阵是一个变体。然后最大的关于是 的一般表达式令人满意的(7)是 在哪里,,,,矩阵选择这样

引理3(见[21])。让和。然后 在哪里,,。

引理4(见[22])。让,,。然后 在哪里,,和。

2。最大的关于

让是一个给定的矩阵;在本节中,我们将介绍非线性的最大秩矩阵表达式关于变量的矩阵。相对的结果都包含在以下三个前题。

引理5。让,表示顺序的单位矩阵。然后

证明。由引理3与和,我们有 在哪里
结合(13),(14)和(15),我们有 第二个平等拥有

引理6。让,表示顺序的单位矩阵。然后
的一般表达式令人满意的(18)是 在哪里选择这样

证明。由引理2与,,,我们有
的前题2和5,我们的一般表达式令人满意的(21), 在哪里
结合(22),(23)和(24),我们有,和 在哪里选择这样

引理7。让。然后有一些矩阵,这样

证明。应用引理4,我们有
从(27)和(28),我们有 由引理1,我们有
结合(29日)和(30.),我们得到的结果(27)。

根据前题5,6,7,我们立即获得以下定理。

定理8。让是一个给定的矩阵,矩阵是一个变体。然后
结果是,(1)总是存在,这样非奇异的;(2)的矩阵令人满意的(31日)是由和是一样的(27)。

证明。首先描述一个特殊的同余块矩阵变换,这减少了计算的最大等级:
由引理1,我们有 结合(32)和(33),我们有
另一方面,从另一个特别全等变换为一个块矩阵
结合公式(35)与引理6,我们有 也就是说,有永远存在,这样是满秩。
结果的前题6和7,我们获得总是存在,这样

3所示。最小的关于

在本节中,我们将介绍非线性最小秩的矩阵表达式。此外,我们将考虑如何选择一个矩阵,这样有最小可能的排名。

定理9。让是一个给定的矩阵,矩阵是一个变体。然后 结果是,存在,这样的非线性矩阵方程是一致的。

证明。由公式(5在引理1,我们有 在哪里 结合(39),(40)和(41),我们有

推论10。让是一个给定的矩阵。然后矩阵满足矩阵方程是由 在哪里是两个变量矩阵。

证明。把成收益率

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢Changbum春教授和匿名裁判非常详细的意见和建设性的建议,大大提高本文的演示。这项工作得到了国家自然科学基金委(批准号11301397),杰出的青年才俊的基础在广东高等教育,中国(批准号2012 lym - 0126),科学与技术的基本理论和科研项目的江门城市,中国,2013。