我们考虑如何利用的问题
X这样的非线性矩阵表达式
X
- - - - - -
X
一个
X达到它的最大和最小可能的行列。
1。介绍
在这篇论文
C
米
×
n表示的集合
米
×
n矩阵的复杂的领域
C。
我
k表示顺序的单位矩阵
k和
O
米
×
n是
米
×
n矩阵的所有零条目(如果没有发生混乱,我们将把下标)。为一个矩阵
一个
∈
C
米
×
n,
一个
*和
r
(
一个
)表示共轭转置矩阵的秩
一个,分别。
(
一个
,
B
)代表一个行块矩阵组成的
一个
∈
C
米
×
n和
B
∈
C
米
×
k。
让
一个
∈
C
米
×
n;一个广义逆
X的
一个是一个矩阵满足以下四个彭罗斯的一些方程(
1]:
(1)
一个
X
一个
=
一个
,
X
一个
X
=
X
,
(
一个
X
)
*
=
一个
X
,
(
X
一个
)
*
=
X
一个
。
的一个子集
{
我
,
j
,
…
,
k
}的设置
{
1、2
,
3、4
}的设置
n
×
米矩阵满足方程
(
我
)
,
(
j
)
,
…
,
(
k
)从(
1)是用
一个
{
我
,
j
,
…
,
k
}。一个矩阵
一个
{
我
,
j
,
…
,
k
}被称为一个
{
我
,
j
,
…
,
k
}逆的
一个和用
一个
(
我
,
j
,
…
,
k
)。例如,一个
n
×
米矩阵
X的设置
一个
{
2
}被称为
{
2
}逆的
一个和用
X
=
一个
(
2
)。独特的
{
1、2
,
3、4
}逆的
一个用
一个
__,这叫做Moore-Penrose逆的
一个。为了方便起见,这些符号
E
一个和
F
一个代表两个正交的投影仪
E
一个
=
我
米
- - - - - -
一个
一个
__和
F
一个
=
我
n
- - - - - -
一个
__
一个。我们参考读者
2- - - - - -
4基本结果广义逆。
在矩阵理论和应用程序中,存在一个非线性矩阵表达式,包括变量条目:
(2)
P
(
X
)
=
X
- - - - - -
X
一个
X
,在哪里
一个
∈
C
米
×
米是一个给定的复杂的矩阵和
X
∈
C
米
×
米是一个变量矩阵。这些非线性矩阵表达式不同的选择
X。的一个基本问题(
2)是确定可能的最大和最小的矩阵表达式
P
(
X
)当
X运行在
C
米
×
米。由于矩阵的秩之间的一个整数0和矩阵的行和列数字的最小(
5),最大和最小的行列
P
(
X
)可以获得一些吗
X。
极值的矩阵表达式的调查有许多矩阵分析的直接动机。例如,一个矩阵表达式
D
- - - - - -
一个
X
B的订单
n是满秩的,如果且仅如果最大的
D
- - - - - -
一个
X
B关于
X是
n;两个一致矩阵方程
X
1
=
X
1
一个
X
1和
X
2
=
X
2
B
X
2有一个共同的解决方案当且仅当最低等级的区别
X
1
- - - - - -
X
2他们的解决方案是零;一个非线性矩阵方程
X
=
X
一个
X当且仅当最小的是一致的吗
X
- - - - - -
X
一个
X关于
X是零。的定义
{
2
}矩阵的逆,我们知道解决方案
X的非线性矩阵方程
X
=
X
一个
X是一个
{
2
}矩阵的逆
一个;使用最小级别的
X
- - - - - -
X
一个
X,我们可以找到的一般表达式
{
2
}矩阵的逆
一个,这是一个矩阵的非线性矩阵表达式
X
- - - - - -
X
一个
X达到其最小秩。一般来说,任何两个矩阵表达式
P
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
米
)和
问
(
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
)相同尺寸的
X
1
,
X
2
,
…
,
X
米和
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n这样
P
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
米
)
=
问
(
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
)当且仅当
(3)
最小值
X
1
,
X
2
,
…
,
X
米
;
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
r
(
P
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
米
)
hhhhhhhhhhhhhhhh
- - - - - -
问
(
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
)
)
=
0
。
让
P
(
X
1
,
X
2
)
=
一个
- - - - - -
B
1
X
1
C
1
- - - - - -
B
2
X
2
C
2,在那里
一个
∈
C
米
×
n,
B
1
∈
C
米
×
p
1,
B
2
∈
C
米
×
p
2,
C
1
∈
C
问
1
×
n,
C
2
∈
C
问
2
×
n给出了矩阵。那么对于任何变量矩阵
X
1
∈
C
p
1
×
问
1和
X
2
∈
C
p
2
×
问
2,一个
(4)
马克斯
X
1
,
X
2
r
(
P
(
X
1
,
X
2
)
)
=
最小值
{
r
(
一个
,
B
1
,
B
2
)
,
r
(
一个
C
1
C
2
)
,
h
h
h
h
h
r
(
一个
B
1
C
2
O
)
,
r
(
一个
B
2
C
1
O
)
(
一个
C
1
C
2
)
}
,
(5)
最小值
X
1
,
X
2
r
(
P
(
X
1
,
X
2
)
)
=
r
(
一个
C
1
C
2
)
+
r
(
一个
,
B
1
,
B
2
)
+
马克斯
{
年代
1
,
年代
2
}
,
在哪里
(6)
年代
1
=
r
(
一个
B
1
C
2
O
)
- - - - - -
r
(
一个
B
1
B
2
C
2
O
O
)
- - - - - -
r
(
一个
B
1
C
1
O
C
2
O
)
,
年代
2
=
r
(
一个
B
2
C
1
O
)
- - - - - -
r
(
一个
B
1
B
2
C
1
O
O
)
- - - - - -
r
(
一个
B
2
C
1
O
C
2
O
)
。
让
一个
- - - - - -
B
X
C是在复数域线性矩阵表达式
C,在那里
一个
∈
C
米
×
n,
B
∈
C
米
×
k,
C
∈
C
l
×
n给出了;
X
∈
C
k
×
l矩阵是一个变体。然后最大的
一个
- - - - - -
B
X
C关于
X是
(7)
马克斯
X
r
(
一个
- - - - - -
B
X
C
)
=
最小值
{
r
(
一个
,
B
)
,
r
(
一个
C
)
}
,的一般表达式
X令人满意的(
7)是
(8)
X
=
(
E
一个
2
B
)
__
E
一个
2
一个
F
一个
1
(
C
F
一个
1
)
__
+
U
,在哪里
一个
1
=
E
B
一个
=
(
我
米
- - - - - -
B
B
__
)
一个,
一个
2
=
一个
F
C
=
一个
(
我
n
- - - - - -
C
__
C
)
一个,
E
一个
2
=
我
米
- - - - - -
一个
2
一个
2
__,
F
一个
1
=
我
n
- - - - - -
一个
1
__
一个
1,矩阵
U
∈
C
k
×
l选择这样
(9)
r
(
E
一个
2
B
U
C
F
一个
1
)
=
最小值
{
r
(
E
一个
2
B
)
,
r
(
C
F
一个
1
)
}
。
让
一个
∈
C
米
×
n,
B
∈
C
米
×
k,
C
∈
C
l
×
n。然后
(11)
r
(
一个
,
B
)
=
r
(
一个
)
+
r
(
E
一个
B
)
=
r
(
B
)
+
r
(
E
B
一个
)
,
r
(
一个
C
)
=
r
(
一个
)
+
r
(
C
F
一个
)
=
r
(
C
)
+
r
(
一个
F
C
)
,
r
(
一个
+
B
)
≤
r
(
一个
)
+
r
(
B
)
,在哪里
E
一个
=
我
米
- - - - - -
一个
一个
__,
E
B
=
我
米
- - - - - -
B
B
__,
F
一个
=
我
n
- - - - - -
一个
__
一个和
F
C
=
我
n
- - - - - -
C
__
C。
2。最大的< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M127 " > < mml: mi > X < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> - < / mml:莫> < mml: mi > X < / mml: mi > < mml: mi > < / mml: mi > < mml: mi > X < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula >对< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M128 " > < mml: mrow > < mml: mi > X < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >
让
一个
∈
C
米
×
米是一个给定的矩阵;在本节中,我们将介绍非线性的最大秩矩阵表达式
X
- - - - - -
X
一个
X关于变量的矩阵
X
∈
C
米
×
米。相对的结果都包含在以下三个前题。
让
一个
∈
C
米
×
米,
我
=
我
米表示顺序的单位矩阵
米。然后
(18)
马克斯
U
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
我
我
O
一个
)
U
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
=
米
+
r
(
一个
)
。
的一般表达式
U令人满意的(
18)是
(19)
U
=
(
一个
__
+
V
1
V
2
- - - - - -
一个
__
+
V
3
V
4
)
,在哪里
V
1
,
V
2
,
V
3
,
V
4
∈
C
米
×
米选择这样
(20)
r
(
(
我
我
O
一个
)
(
V
1
V
2
V
3
V
4
)
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
=
米
+
r
(
一个
)
。
证明。
由引理
2与
P
=
(
O
O
O
一个
),
问
=
(
我
我
O
一个
),
W
=
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
),我们有
(21)
马克斯
U
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
我
我
O
一个
)
U
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
=
马克斯
U
r
(
P
- - - - - -
问
U
W
)
=
最小值
{
r
(
P
,
问
)
,
r
(
P
W
)
}
=
最小值
{
r
(
O
O
我
我
O
一个
O
一个
)
,
r
(
O
O
O
一个
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
}
=
米
+
r
(
一个
)
。
的前题
2和
5,我们的一般表达式
U令人满意的(
21),
(22)
U
=
(
E
一个
2
问
)
__
E
一个
2
P
F
一个
1
(
W
F
一个
1
)
__
+
V
,在哪里
(23)
V
=
(
V
1
V
2
V
3
V
4
)
,
问
__
=
(
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
- - - - - -
一个
__
F
一个
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
一个
__
)
,
W
__
=
(
O
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
__
O
)
,
一个
1
=
E
问
P
=
(
我
- - - - - -
问
问
__
)
P
=
(
我
- - - - - -
(
我
我
O
一个
)
(
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
- - - - - -
一个
__
F
一个
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
一个
__
)
)
(
O
O
O
一个
)
=
(
O
O
O
E
一个
)
(
O
O
O
一个
)
=
O
,
(24)
一个
2
=
P
F
W
=
P
(
我
- - - - - -
W
__
W
)
=
(
O
O
O
一个
)
(
我
- - - - - -
(
O
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
__
O
)
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
=
(
O
O
O
一个
)
(
O
O
O
F
一个
)
=
O
。
结合(
22),(
23)和(
24),我们有
E
一个
2
=
我,
F
一个
1
=
我和
(25)
U
=
问
__
P
W
__
+
V
=
(
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
- - - - - -
一个
__
F
一个
(
我
+
F
一个
)
- - - - - -
1
一个
__
)
(
O
O
O
一个
)
(
O
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
__
O
)
+
(
V
1
V
2
V
3
V
4
)
=
(
一个
__
+
V
1
V
2
- - - - - -
一个
__
+
V
3
V
4
)
,在哪里
V
1
,
V
2
,
V
3
,
V
4
∈
C
米
×
米选择这样
(26)
r
(
E
一个
2
问
(
V
1
V
2
V
3
V
4
)
W
F
一个
1
)
=
r
(
(
我
我
O
一个
)
(
V
1
V
2
V
3
V
4
)
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
=
最小值
{
r
(
E
一个
2
问
)
,
r
(
W
F
一个
1
)
}
=
最小值
{
r
(
问
)
,
r
(
W
)
}
=
米
+
r
(
一个
)
。
引理7。
让
一个
∈
C
米
×
米。然后有一些矩阵
V
∈
C
米
×
米,这样
(27)
马克斯
V
r
(
(
一个
__
+
V
)
- - - - - -
(
一个
__
+
V
)
一个
(
一个
__
+
V
)
]
=
米
。
证明。
应用引理
4,我们有
(28)
r
(
(
一个
__
+
V
)
- - - - - -
(
一个
__
+
V
)
一个
(
一个
__
+
V
)
]
=
r
(
一个
__
- - - - - -
一个
__
一个
一个
__
+
V
- - - - - -
V
一个
__
一个
- - - - - -
一个
__
一个
V
- - - - - -
V
一个
V
)
≤
r
(
一个
__
- - - - - -
一个
__
一个
一个
__
)
+
r
(
V
- - - - - -
V
一个
__
一个
- - - - - -
一个
__
一个
V
- - - - - -
V
一个
V
)
=
0
+
r
(
V
- - - - - -
V
一个
__
一个
- - - - - -
一个
__
一个
V
- - - - - -
V
一个
V
)
=
r
(
V
- - - - - -
V
一个
一个
__
- - - - - -
一个
__
一个
V
V
一个
一个
V
一个
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
O
)
V
(
我
- - - - - -
一个
一个
__
,
一个
)
- - - - - -
(
一个
__
一个
- - - - - -
一个
)
V
(
我
,
O
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
。
从(
27)和(
28),我们有
(29)
马克斯
V
r
(
(
一个
__
+
V
)
- - - - - -
(
一个
__
+
V
)
一个
(
一个
__
+
V
)
]
=
马克斯
V
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
O
)
V
(
我
- - - - - -
一个
一个
__
,
一个
)
- - - - - -
(
一个
__
一个
- - - - - -
一个
)
V
(
我
,
O
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
。由引理
1,我们有
(30)
马克斯
V
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
O
)
V
(
我
- - - - - -
一个
一个
__
,
一个
)
- - - - - -
(
一个
__
一个
- - - - - -
一个
)
V
(
我
,
O
)
)
=
最小值
{
r
(
O
O
- - - - - -
我
一个
__
一个
O
一个
O
一个
)
,
r
(
O
O
O
一个
我
- - - - - -
一个
一个
__
一个
我
O
)
,
r
(
O
O
- - - - - -
我
O
一个
O
我
O
O
)
,
r
(
O
O
一个
__
一个
O
一个
- - - - - -
一个
我
- - - - - -
一个
一个
__
一个
O
)
(
O
O
O
一个
我
- - - - - -
一个
一个
__
一个
我
O
)
}
=
最小值
{
米
+
r
(
一个
)
,
米
+
r
(
一个
)
,
2
米
+
r
(
一个
)
,
米
+
r
(
一个
)
}
=
米
+
r
(
一个
)
。
结合(
29日)和(
30.),我们得到的结果(
27)。
根据前题
5,
6,
7,我们立即获得以下定理。
定理8。
让
一个
∈
C
米
×
米是一个给定的矩阵,
X
∈
C
米
×
米矩阵是一个变体。然后
(31)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
米
。
结果是,
总是存在
X
∈
C
米
×
米,这样
X
- - - - - -
X
一个
X非奇异的;
的矩阵
X令人满意的(
31日)是由
X
=
一个
__
+
V和
V
∈
C
米
×
米是一样的(
27)。
证明。
首先描述一个特殊的同余块矩阵变换,这减少了计算的最大等级
X
- - - - - -
X
一个
X:
(32)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
马克斯
X
(
X
X
一个
一个
X
一个
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
马克斯
X
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
)
X
(
我
,
O
)
- - - - - -
(
我
O
)
X
(
O
- - - - - -
一个
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
。
由引理
1,我们有
(33)
马克斯
X
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
)
X
(
我
,
O
)
- - - - - -
(
我
O
)
X
(
O
- - - - - -
一个
)
)
=
最小值
{
r
(
O
O
- - - - - -
我
我
O
一个
- - - - - -
一个
O
)
,
r
(
O
O
O
一个
我
O
O
- - - - - -
一个
)
,
r
(
O
O
- - - - - -
我
O
一个
- - - - - -
一个
O
- - - - - -
一个
O
)
,
r
(
O
O
我
O
一个
O
我
O
O
)
(
O
O
O
一个
我
O
O
- - - - - -
一个
)
}
=
最小值
{
米
+
r
(
一个
)
,
米
+
r
(
一个
)
,
米
+
r
(
一个
)
,
2
米
+
r
(
一个
)
}
=
米
+
r
(
一个
)
。结合(
32)和(
33),我们有
(34)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
米
。
另一方面,从另一个特别全等变换为一个块矩阵
(35)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
马克斯
X
(
X
X
一个
一个
X
一个
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
马克斯
X
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
我
我
O
一个
)
(
X
O
O
X
)
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
。
结合公式(
35)与引理
6,我们有
(36)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
马克斯
X
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
我
我
O
一个
)
(
X
O
O
X
)
(
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
最小值
{
r
(
O
O
我
我
O
一个
O
一个
)
,
r
(
O
O
O
一个
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
}
- - - - - -
r
(
一个
)
=
米
+
r
(
一个
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
米
。也就是说,有永远存在
X
∈
C
米
×
米,这样
X
- - - - - -
X
一个
X是满秩。
结果的前题
6和
7,我们获得总是存在
X
=
一个
__
+
V,这样
(37)
马克斯
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
马克斯
V
r
(
(
一个
__
+
V
)
- - - - - -
(
一个
__
+
V
)
一个
(
一个
__
+
V
)
]
=
米
。
3所示。最低等级的< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M186 " > < mml: mi > X < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> - < / mml:莫> < mml: mi > X < / mml: mi > < mml: mi > < / mml: mi > < mml: mi > X < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula >对< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M187 " > < mml: mrow > < mml: mi > X < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >
在本节中,我们将介绍非线性最小秩的矩阵表达式
X
- - - - - -
X
一个
X。此外,我们将考虑如何选择一个矩阵
X,这样
X
- - - - - -
X
一个
X有最小可能的排名。
定理9。
让
一个
∈
C
米
×
米是一个给定的矩阵,
X
∈
C
米
×
米矩阵是一个变体。然后
(38)
最小值
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
0
。结果是,存在
X
∈
C
米
×
米,这样的非线性矩阵方程
X
=
X
一个
X是一致的。
证明。
由公式(
5在引理
1,我们有
(39)
最小值
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
最小值
X
(
X
X
一个
一个
X
一个
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
马克斯
X
r
(
(
O
O
O
一个
)
- - - - - -
(
- - - - - -
我
- - - - - -
一个
)
X
(
我
,
O
)
- - - - - -
(
我
O
)
X
(
O
- - - - - -
一个
)
)
- - - - - -
r
(
一个
)
=
r
(
O
O
O
一个
O
- - - - - -
一个
- - - - - -
我
O
)
+
r
(
O
O
我
我
O
一个
O
一个
)
+
马克斯
{
年代
1
,
年代
2
}
- - - - - -
r
(
一个
)
=
2
米
+
r
(
一个
)
+
马克斯
{
年代
1
,
年代
2
}
,在哪里
(40)
年代
1
=
r
(
O
O
我
O
一个
O
- - - - - -
我
O
O
)
- - - - - -
r
(
O
O
我
我
O
一个
O
一个
- - - - - -
我
O
O
O
)
- - - - - -
r
(
O
O
我
O
一个
O
O
- - - - - -
一个
O
- - - - - -
我
O
O
)
=
- - - - - -
2
米
- - - - - -
r
(
一个
)
,
(41)
年代
2
=
r
(
O
O
我
O
一个
一个
O
- - - - - -
一个
O
)
- - - - - -
r
(
O
O
我
我
O
一个
O
一个
O
- - - - - -
一个
O
O
)
- - - - - -
r
(
O
O
我
O
一个
一个
O
- - - - - -
一个
O
- - - - - -
我
O
O
)
=
- - - - - -
2
米
- - - - - -
r
(
一个
)
。结合(
39),(
40)和(
41),我们有
(42)
最小值
X
r
(
X
- - - - - -
X
一个
X
)
=
0
。
推论10。
让
一个
∈
C
米
×
米是一个给定的矩阵。然后矩阵
X
∈
C
米
×
米满足矩阵方程
X
=
X
一个
X是由
(43)
X
=
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)
,在哪里
V
,
W
∈
C
米
×
米是两个变量矩阵。
证明。
把
X
=
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)成
X
- - - - - -
X
一个
X收益率
(44)
X
- - - - - -
X
一个
X
=
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)
- - - - - -
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
一个
__
一个
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)
=
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)
- - - - - -
(
一个
__
+
F
一个
V
)
一个
一个
__
一个
(
一个
__
+
W
E
一个
)
=
O
。