文摘

本文涉及的变量系数mKdV方程(VC-mKdV)。首先,我们通过某种变换VC-mKdV方程转化为常系数mKdV方程。然后,使用我们第一积分法获得VC-mKdV方程的精确解,如有理函数解,三角函数的周期波解,铃型孤波解,kink-shape孤波解,雅可比椭圆函数解,维尔斯特拉斯椭圆函数解。此外,借助数学软件,扩展的双曲函数方法是用于建立丰富的确切VC-mKdV方程的显式解。通过方程的结果,第一个积分法和扩展的双曲函数方法扩展常系数非线性演化方程的变量系数非线性偏微分方程。

1。介绍

众所周知,KdV方程孤子理论中起着重要的作用。许多KdV方程的性质,如对称,Backlund变换,无限的守恒定律,松懈对,和Painleve分析,研究了。三浦转换链接KdV方程与mKdV方程。因此,随着KdV方程,mKdV方程在数学物理领域也很重要。近年来,一些作者认为是常系数mKdV方程(1- - - - - -4]。然而,在实际应用中,非线性演化方程的系数随时间和空间。因此,变系数非线性演化方程的精确解具有更大的应用价值。

本文将讨论变量系数mKdV方程(VC-mKdV): 在哪里,任意函数的变量。最近,一些属性变量的系数mKdV方程研究了(5- - - - - -18]。本文的目的是应用首次积分法并扩展的双曲函数法构造一系列VC-mKdV方程的显式精确解(1),比如有理函数解,三角函数的周期波解,铃型孤波解,kink-shape孤波解,雅可比椭圆函数解,维尔斯特拉斯椭圆函数解,许多具体明确的解决方案形式的双曲函数的有理函数和三角函数的有理函数。

本文的其余部分组织如下。节2,首次积分法将得到的轮廓。节3我们引入一个变换变换VC-mKdV方程(1)到一个常系数mKdV方程。部分4是本文的主要部分;使用的方法是寻求VC-mKdV方程的显式的和精确的解决方案(1)。在最后一节中,给出了一些有益的结论。

2。第一个积分法

第一积分方法,该方法是基于环交换代数理论,由冯教授首次提出“(192002年)。该方法已经被冯解决Burgers-KdV方程,应用复合Burgers-KdV方程,近似Sine-Gordon方程维空间,和二维Burgers-KdV方程(20.- - - - - -24]。

近年来,许多作者使用这种方法来解决不同类型的非线性偏微分方程在物理数学。这些应用程序的更多信息可以在[25)和引用。最优点是应用首次积分法并没有很多复杂的计算在解决非线性代数方程相比,其他直接代数方法。出于完整性的考虑,我们简要概述该方法的主要步骤。

该方法的主要步骤进行了总结如下。

给定一个非线性偏微分方程系统,例如,在两个独立的变量, 利用行波变换和其他一些数学运算,系统(2)可以简化为一个二阶非线性常微分方程: 通过引入新变量或者做一些其他的转换,我们减少常微分方程(3)系统的一阶常微分方程: 假设第一个积分(4)有一个形式如下: (一般或),是真实的多项式。

根据环除法定理交换代数理论,存在多项式的变量在这样

我们确定多项式从(6),此外,获得。

然后替换或其他转换成(5),具体解决方案(2),通过求解一阶微分方程可积。

3所示。一个转换VC-mKdV方程

为了转移(1)的形式(3),我们首先做一些转换(1)。自(1)是一个变量系数方程,我们需要把它常系数mKdV方程,我们引入了转换 在哪里。通过这种转变,我们希望(1)被改变为常系数mKdV方程的形式: 为了获得上述转换方程,用(7)(1)和假设,同时在两个公式除以,我们有 比较系数(9)和(8),比如等等,我们有 从(11)和(14),我们有和 用(16)(10),(12),(13)和(15),我们得到 形式(18),我们有。还从(20.),我们有和。从(17)和(18),我们有只能是一个常数。为简单起见,我们。替换成(19),我们得到 为简单起见,我们 用(23)(16),我们有 在哪里是一个任意常数。因此我们得到s VC-mKdV方程之间的转换(1)和常系数mKdV方程(8)。

4所示。明确和VC-mKdV方程的精确解

我们首先获得显式精确解的常系数mKdV方程(8),然后获得显式精确解的常系数mKdV方程(1)。在视图中(8),我们假设,然后我们有 积分(24一旦对),我们获得 在哪里,是任意的积分常数。让;(25)可以被转换成一个系统的非线性常微分方程如下: 现在我们使用除法定理寻求第一积分(26)。假设非平凡解系统(26),首次积分是一个不可约多项式: 在哪里,多项式的。根据除法定理,存在多项式的变量在这样 收集所有的相同的力量在一起,将每个系数为零收益率一组非线性代数方程如下: 因为,多项式,从(29日我们可以推断出,;这是是一个常数。为简单起见,我们,。然后我们确定,,。从(30.),我们有或。接下来我们将讨论这两种情况。(1)在的情况下。

在这种情况下,(30.)和(32)感到满意。从(31日),我们可以推出,在那里是一个积分常数。替换到(27),一个获得 根据不同参数的讨论,我们可以获得非线性常微分方程的解决方案(33)。(一)为,(33)承认以下三个通用解决方案: 结合(7),(22),(23),(34),,可以得到以下三组的显式精确解(1): 在哪里,是任意的参数,然后呢是一个任意常数。(b)为,,我们可以获得以下四组显式精确解(33) 结合(7),(22),(23),(36),,我们可以得到以下四个显式精确解(1): 在哪里,是任意的参数,然后呢是一个任意常数。(c)为,从(33)我们有 让;(38)成为 而上面的方程具有维尔斯特拉斯椭圆函数双周期波类型解决方案: 结合(7),(22),(23),(40),,我们推导(1)承认,维尔斯特拉斯椭圆函数双周期波类型解决方案: 在哪里,是任意的参数,然后呢是一个任意常数。(d)为,得到椭圆函数解(33)如下: 结合(7),(22),(23),上述结果(42),,我们可以得到以下六个雅可比椭圆双周期波解(1): 在哪里,是任意的参数,然后呢是一个任意常数。(2)在的情况下。

在本例中,我们假设,;然后我们有。现在,双方的平衡度(32),我们可以推断出。两边的平衡度(31日),我们也可以得出这样的结论:或。如果,假设,,和替换成(30.)- (32的系数),将不同的权力双方(30.)(32),我们可以得到。这是矛盾与我们的假设。它表明,。而,假设,,,然后用这些表示为(30.)- (32),并通过将系数不同的权力双方(30.)(32),我们可以获得一个超定的非线性代数方程组:

通过分析各种各样的可能性,我们有以下。(一)而,它会导致矛盾。(b)而,它也会导致矛盾。(c)而,我们可以推出 设置(45)(27)的收益率 解决(46),我们可以获得解决方案,一次。因此,我们获得显式精确解,(1)。在这里我们不会列出他们一个接一个。

我们获得的各种显式精确解(1)通过使用扩展的双曲函数方法(26作者。我们可以得到下面的显式精确解(1): 当,在那里,是任意常数 当,在那里,任意常数,这样吗 当,在那里,是任意常数 当,在那里,是任意常数 当,在那里,是任意常数 当,在那里,是任意常数

结合(7),(22),(23),上述结果(47)- (52),VC-mKdV方程(1)有明确的和精确孤波解: 在哪里,任意常数,这样吗, 在哪里,任意常数,这样吗, 在哪里,任意常数,这样吗, 在哪里,任意常数,这样吗, 在哪里,任意常数,这样吗, 在哪里,任意常数,这样吗,。

5。摘要和结论

总而言之,出于[27),我们建立一个从VC-mKdV方程变换到常系数首先mKdV方程。然后我们使用第一个积分法和扩展的双曲函数法,统一构造一系列VC-mKdV方程的显式精确解。丰富的显式精确解VC-mKdV方程通过详尽的分析和讨论不同的参数。本文获得的精确解包括kink-type孤波解的,奇异行波解,三角函数的周期波解,雅可比椭圆函数双周期解,维尔斯特拉斯椭圆函数双周期波解,等等。特别是,六个显式精确的雅可比椭圆函数双周期解维尔斯特拉斯和椭圆函数双周期波解是统一。先前的引用的一些结果大大丰富。结果表明,第一个积分方法和扩展的双曲函数方法是非常有效的方法来解决非线性微分方程。方法也很容易适用于各种各样的其他非线性演化方程在物理数学。

确认

这项工作是支持的NSF(40890150, 40890153),中国科技项目(2008 b080701042)广东省和广东省自然科学基金(S2012010010121)。作者要感谢冯教授有“对他有用的建议。