阴暗的微积分的应用相关进不变的积分上

文摘

最近,溪谷和西姆西可(2012)研究了阴暗的代数一些特殊功能的应用程序。在本文中,我们调查的一些性质本影的微积分联系在一起进不变的积分上。从我们的特性,我们还可以得到一些有趣的伯努利多项式的身份。

1。介绍

让是一个固定的质数。在这篇文章中,,表示的环进整数,领域进有理数,完成代数关闭,分别。

让。让空间均匀可微函数。为,进积分不变量在被定义为 参见[1,2]。

从(1。1),我们有 在哪里(见[1- - - - - -6])。让所有正式的集合幂级数的变量在与 让,让表示所有线性泛函的向量空间。

正式的幂级数, 定义了一个线性泛函通过设置 参见[7,8]。

特别是,由(1。4)和(1。5),我们得到 在哪里克罗内克符号(见[7])。在这里,表示的代数形式幂级数所有线性泛函的向量空间,所以一个元素的将被认为是一个正式的幂级数和一个线性函数。我们称他为阴暗的代数。阴暗的微积分是阴暗的代数的研究。

订单幂级数的是最小的整数的不会消失。我们定义如果。从订单的定义,我们注意和。

该系列有一个乘法逆元,用吗或,当且仅当。

这样一个系列被称为可逆的系列。一个系列的被称为δ系列(见[7,8])。让。然后,我们有 由(1。5)和(1。6),我们得到 参见[7]。

请注意,所有在, 和所有多项式, 参见[7,8]。

让。然后,我们有 在所有的非负整数之和在哪里这样(见[8])。

由(1.10),我们得到 因此,从(1.12),我们有 参见[7]。

由(1.13),我们得到 因此,通过(1.14),我们看到 让我们假设是一个多项式的学位。假设与和。然后,存在一个唯一的序列多项式的满足对所有。

序列被称为Sheffer序列,这是用。

Sheffer序列为叫做阿佩尔序列,或是阿佩尔,所示。

为众所周知, 参见[7,8]。

让。然后,我们有 在哪里成分的倒数吗, 参见[7,8]。

我们回想一下,伯努利多项式生成函数定义的 关于取代通常的惯例通过(见[1- - - - - -16])。

在特殊情况下,被称为“伯努利数。由(1.21),我们很容易 因此,通过(1.22),我们看到首一多项式的学位。很容易证明 参见[13- - - - - -15]。

从(1。2),我们可以得到以下方程: 让我们以。然后,从(1.21),(1.22),(1.23)和(1.24),我们有 在哪里(见[1,2])。最近,溪谷和西姆西可本影的代数的研究应用一些特殊功能(见[7])。在本文中,我们调查的一些性质本影的微积分联系在一起进不变的积分上。从我们的特性,我们可以得出一些有趣的伯努利多项式的身份。

2。阴暗的微积分的应用相关进不变的积分上

让阿佩尔序列。由(1.19),我们得到 让我们以。然后,显然是可逆的。从(1.21)和(2.1),我们有 因此,通过(2.2),我们得到 从(1.21),(2.1)和(2.3),我们注意到是一个阿佩尔序列。

让我们把导数双方(2.2)。然后,我们有 因此,通过(2.4),我们得到 在哪里。 因此,通过(2.6),我们得到 从(1.25)和(2.7),我们有 由(2.5),我们看到 因此,通过(2.9),我们有 我们可以得到以下方程。

从(2.3)和(2.10), 由(2.8)和(2.11),我们看到 因此,通过(2.5),我们获得以下定理。

定理2.1。为,一个 在哪里。

推论2.2。为,一个

让我们考虑线性泛函满足 对于所有多项式。它可以决定(1。9), 由(1.24)和(2.16),我们得到 因此,通过(2.17),我们获得以下定理。

定理2.3。为,一个 这是 特别是,一个

从(1.24),有 由(1.25)和(2.21),我们得到 在哪里。

因此,通过(2.22),我们获得以下定理。

定理2.4。为,我们有 特别是,一个获得

伯努利高阶多项式是由 在特殊情况下,,被称为“伯努利多的订单()。从(2.25),我们注意到 由(2.25)和(2.26),我们得到 从(2.26)和(2.27),我们注意到首一多项式的学位与系数。为,让我们假设 由(2.28),我们很容易看到是一种可逆的系列。从(2.25)和(2.28),我们有 从(2.29),我们注意到是一个阿佩尔序列。因此,通过(2.29),我们获得以下定理。

定理2.5。为和,一个 特别是,伯努利多项式是由 这是

让我们考虑线性泛函满足 对于所有多项式。它可以决定(1。9), 因此,通过(2.34),我们获得以下定理。

定理2.6。为,一个 这是 特别是,一个人

2.7的话。从(1.11),我们注意到 由定理2.3和2.6和(2.38),我们得到 让Sheffer序列。
则由Sheffer身份 参见[7,8),。从定理2.5和(2.40),我们有

确认

这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由教育部、科技部2012 r1a1a2003786。