文摘
我们开发一个方法来获得近似解的非线性偏微分方程组的帮助下Sumudu分解方法(SDM)。这项技术是基于应用程序Sumudu变换的非线性耦合的偏微分方程。非线性项可以很容易地处理Adomian多项式的帮助。我们说明了这种技术的帮助下三个例子,和结果的技术协议密切近似解的帮助下获得Adomian分解方法(ADM)。
1。介绍
现象在自然界中大部分是由非线性微分方程描述。所以科学家不同分支的科学尝试解决这些问题。但由于这组方程的非线性部分,找到一个确切的解决方案并不是一件容易的事。不同的分析方法已经应用于找到一个解决方案。例如,Adomian提出和发展一个所谓的分解方法求解代数,微分,积分微分的,微分延迟和偏微分方程。在非线性常微分方程和偏微分方程,该方法的优点是直接处理问题(1,2]。这些方程是解决没有改变他们更简单的。该方法避免了线性化,微扰,离散化,或任何不现实的假设3,4]。建议在5)的噪声方面似乎总是非齐次方程。最近,Wazwaz [6)建立了一个必要条件,本质上是需要确保“噪音”的出现非齐次方程。在摘要中,亲密关系Sumudu变换理论和分解方法产生非线性偏微分方程的解决方案。
Sumudu变换定义的设置功能 由以下公式:
(讨论的存在和唯一性7),为进一步的细节和Sumudu变换及其衍生物的性质我们指8]。在[9),建立了Sumudu变换的一些基本性质。
在[10),这个新的变换应用于一维中子输运方程。事实上很容易显示,有一种强烈的双Sumudu、双拉普拉斯变换之间的关系,看到7]。
进一步在11),Sumudu变换是扩展分布和它们的一些性质也研究[12]。最近Kılıcman等人应用这个变换解决微分方程组,看到13]。
关于Sumudu变换是一个非常有趣的事实,原函数及其Sumudu变换有相同的泰勒系数只是一个因素。因此,如果 然后 参见[14]。
同样,发送Sumudu变换组合,排列,因此这将是有用的在离散系统。进一步
因此我们进一步注意,因为许多实际工程问题涉及机械或电气系统,行动是由不连续或冲动迫使术语定义。然后Sumudu变换可以有效地用于解决常微分方程和偏微分方程和工程问题。介绍了最近,Sumudu变换作为一种新的积分变换的时间尺度解决系统的动态方程,看到15]。然后结果应用在常微分方程时,差分方程,而且差分方程时,在那里或为在量子理论有重要的应用,在不同的时间尺度,,的空间谐波数据。在这项研究中,我们使用以下Sumudu变换的衍生品。
定理1.1。让在,让表示的Sumudu变换th导数,的,然后 更多细节,请参阅[16]。
我们考虑一般的非齐次非线性方程和初始条件如下: 在哪里是最高阶导数,容易被认为是可逆的,是一个线性微分算子的点不到吗,代表了非线性条件和源项。首先我们解释长效磺胺的主要思想:包括应用Sumudu变换的方法
利用拉普拉斯变换的微分性质和初始条件
我们的安排
第二步在Sumudu分解方法是我们代表解决方案作为一个无穷级数: 和非线性项可以分解 在哪里Adomian多项式(6的,,,,它可以通过公式计算
比较双方的(1.14),通过使用标准ADM我们有: 然后接下去
在更一般的,我们有
应用逆Sumudu变换(1.15)和(1.17),我们得到 在哪里代表这个词起源于源项和规定的初始条件。在使用Sumudu逆变换我们得到和使用给定的条件 的函数获得,利用给出的初始条件 条款出现在应用Sumudu逆变换源项和使用给定的条件。我们定义 在哪里,。然后我们确认满足原始方程(1。7)。我们现在考虑的特定形式的非齐次非线性偏微分方程: 与初始条件 在哪里是二阶微分算子,代表一个通用非线性微分算子作为的地方源项。应用Sumudu变换的方法包括首先两侧(1.10)和(1.23),
然后第二步Sumudu分解方法和逆变换与前面的
2。应用程序
现在为了说明澳门旅游娱乐有限公司的,我们考虑一些例子。考虑一个非线性偏微分方程 与初始条件
通过应用Sumudu逆变换(2。3),我们得到 假设一个函数的级数解,是由
在(2。6)和是Adomian多项式表示非线性项。所以Adomian多项式给出如下:
的一些组件Adomian多项式给出如下:
从上面的方程得到
的前几项遵循立即设置
因此解决方案获得的LDM给出如下:
例2.1。考虑到系统的非线性耦合的偏微分方程
与初始条件
应用Sumudu变换(用)我们有
在使用Sumudu逆变换(2.14),我们需要给出的递归关系
递归关系
在哪里,,是Adomian多项式表示的非线性条件(1在上面的方程。Adomian多项式的一些组件给出如下
这个递归关系我们可以找到解决方案的其他组件
系统是由以上的解决方案
例2.2。考虑以下pde的齐次线性系统:
与初始条件
两岸Sumudu变换(2.20),然后通过使用Sumudu变换的微分性质和初始条件,(2.21)给
使用分解系列(2.23)线性条件,和,,我们获得
SADM介绍了递归关系
两边的逆Sumudu变换(2.25)我们有
为其他组件等等。使用(1.11),的系列解决方案
然后接下来的解决方案
例2.3。考虑到非线性偏微分方程组
与初始条件
在使用两侧Sumudu变换(2.29),并通过Sumudu转换的初始条件(2.30),我们得到
与前面的示例相似,我们重写和无穷级数(1.11这些系列),然后插入到双方的2.31)的收益率
在条款和处理的帮助下Adomian多项式(1.12),表示非线性项和,分别。我们有一些条款Adomian多项式和这是由
我们以Sumudu逆变换
使用Sumudu逆变换(2.35)我们有
其余条款可以以同样的方式决定的。因此,的系列解决方案
然后上面的解决方案系统如下:
3所示。结论
的Sumudu transform-Adomian分解方法应用于偏微分方程的线性和非线性系统。三个例子已经给出,这个方法表明,它是非常有用和可靠的非线性偏微分方程系统。因此,这种方法可以应用到很多复杂的线性和非线性pde。
承认
作者想表达真诚的感谢,感谢审稿人的宝贵的意见和建议的改进。第一作者承认研究中心的支持,科学,沙特国王大学学院。第二作者也欣然承认部分支持大学Putra马来西亚根据研究型大学资助计划(地毯)05 - 01 - 09 - 0720俄文和德意志联邦共和国01 - 11 - 09 - 723 fr。