文摘

让是黎兹代数扩展标准这样就完成了。同时,让是另一个扩展的规范弱于这样每当(a)和在,然后;(b)和在,然后。让和是两个非负实数。假设一个地图满足和对所有。在本文中,我们证明存在一个独特的推导这样,()。此外,对所有。

1。介绍

让和巴拿赫空间和让。一个函数被称为添加剂如果对所有。著名的函数方程的稳定性问题开始乌兰的以下问题(1]。存在每一个吗,一个这样,每一个加法函数的成对应一个附加功能的成满足了不平等为每一个吗?人士,1941年Hyers [2以肯定的方式回答了这个问题和显示可以等于什么。人士的答案Hyers提出了大量的文章和书籍。函数方程的稳定性理论的人士看到Hyers et al (3]。

让是一个代数。一个映射被称为派生当且仅当它满足以下功能方程: 对所有。

派生的稳定是第一个研究了小君和公园(4]。此外,近似推导了由许多数学家(见,例如,5- - - - - -7])。

本文的目的是检查派生的稳定性问题与扩展准则黎兹代数。

2。预赛

一个向量空间有部分订单满足以下两个条件:(1) 对所有和,(2)对所有的上确界和下确界存在于(因此,模量对于每一个存在),被称为黎兹空间或向量晶格。黎兹空间的典型例子所提供的函数空间。实值的空间拓扑空间上的连续函数,实值绝对可和序列,实值收敛序列的空间实值序列收敛于零的空间自然黎兹空间点态下命令的例子。黎兹空间被称为阿基米德如果和为每一个暗示。一个子集在黎兹空间据说如果它遵循从固体在和那。固体线性子空间的黎兹空间被称为一个理想。每一个子集黎兹空间包含在一个最小的理想,称为理想的生成通过 。一个校长黎兹的理想空间所产生的任何理想的单吗。这个理想将会用。很容易看到 让黎兹和空间。首先,我们给出以下定义。

定义2.1。 序列在据说是一致收敛的元素无论何时,每,存在这样适用于每一个。
序列在据说是相对均匀收敛每当是收敛的均匀,对于一些。

当处理相对一致收敛在一个阿基米德黎兹空间,很自然地联想到每一个积极因素一个扩展的规范在由以下公式: 请注意,当且仅当。也当且仅当。

巴拿赫晶格是一个矢量晶格同时巴拿赫空间的规范是单调在下面的意义。

对所有,意味着。因此,对所有。

序列在被称为一个扩展赋范柯西序列,如果对每一个存在这样对所有。如果每个扩展赋范柯西序列收敛,然后被称为一个扩展定额的巴拿赫晶格。

黎兹空间被称为黎兹代数或晶格下令代数如果存在一个关联乘法等常用的代数性质对所有。

关于黎兹空间的更详细的信息,读者可以参考这本书黎兹空间卢森堡和Zaanen [8]。在续集中,黎兹空间是假定为阿基米德。

3所示。主要结果

最近,Polat [9人士)广义Hyers结果(2]黎兹空间扩展的规范和证明以下。

定理3.1。让是一个线性空间黎兹空间配备一个扩展标准这样的空间就完成了。如果对于一些,一个地图是添加剂,然后限制对于每一个存在。独特的添加剂功能满足不平等吗对所有。

通过使用定理3所示。1,给出了论文的主要结果如下。

定理3.2。让是黎兹代数扩展标准这样就完成了。同时,让是另一个扩展的规范弱于这样,当(一) 和在,然后;(b) 和在,然后。让和是两个非负实数。假设一个地图满足 对所有。然后,存在一个独特的推导这样,()。此外,对所有。

证明。通过条件(3所示。1),定理3所示。1表明存在一个独特的添加剂函数这样 为每一个。这就足以证明满足条件(1。2)。不平等(3所示。3)意味着
的可加性,然后我们 这意味着 关于规范对也是如此规范。条件(3所示。2)意味着函数定义为是有界的。因此 关于规范。应用(3所示。6)和(3所示。7),我们有 事实上,我们有以下关于规范, 让和是固定的。然后使用(3所示。8),可加性,我们有 因此, 发送到正无穷,(3所示。6),我们看到 这个公式结合(3所示。8),我们有满足(1。2这是期望的结果。此外,去年产量公式对所有。