文摘
捕食者-猎物的动态交互的研究可以被认为是一个主要问题在数学生物学。在本文,一些高斯捕食模型的三个生态相互作用的物种被认为是和他们的解决方案的行为在稳定性方面进行了研究。本文的主要目的是考虑当地和全球代表系统的稳定平衡的属性点。最后,稳定的一些例子讨论了高斯模型与一个猎物和两个捕食者。
1。介绍
高斯是一个著名的科学家们研究了各地区在数学等数学生物学和数学生态学。他的一个著名的模型是捕食问题得到基本的结果以被他解读和分析。1934年,高斯介绍他的标准模型在数学生物学。两年后,他和Smaragdov研究概括以下模型作为捕食模型交互: (更多细节,1])。
这个模型的更一般的形式被称为一个中间的捕食模型交互如下:
因为经常捕食系统调查和扩展,一个调查的捕食系统的扩展这个模型有两个猎物和捕食者之一。你可能会看到一些捕食系统的分析有两个猎物和捕食者等的引用(2- - - - - -8]。Elabbasy和Lisena周期捕食系统的动力学研究有两个猎物和捕食者之一2,6]。Gakkhar和辛格调查食物网模型组成的两个猎物和捕食者,是一个收获的因素(3]。两个猎物和一个捕食者的捕食系统组成的努力收获率的因素是研究[4,5,7]。Holling-II系统的动态行为与两个猎物和捕食者系统和脉冲效应与生物控制研究[8]。
2。捕食者-猎物高斯模型与一个猎物和两个捕食者
让我们考虑一个系统的两个独立捕食者物种生活在一个生态系统,物种鱼饵的猎物。高斯模型与一个猎物和两个捕食者可能写如下: 在哪里猎物的密度,和食肉动物物种的密度。在这个系统中,所有的系数,是积极和常数。此外,在没有捕食者猎物提高物种和这个增加是有限的和。没有猎物,捕食者种群密度减少指数增长率和人口积极效率捕食者猎物是一个积极的迹象;条款和证明这个说法。
例如,考虑两个物种福克斯和鹰生活在一个生态系统和每个兔子物种的两个物种的鱼饵。除了高斯假设的模型,假设和有属性的在高斯模型(1。1)。
在系统(2。1),以下属性。(我)如果食肉动物物种之一的人口密度为零,那么系统(2。1)转换系统(1。1)。(2)如果猎物的人口密度为零,那么系统(2。1)将被转换成系统与独立两种捕食者生活在一个生态系统。(3)让两个物种的人口密度为零,那么系统(2。1)将被转换为一个方程的增长率。(iv)轨道系统的解决方案2。1)位于以下设置:
条款和有属性描述如下:(我) ,是连续可微的,,,(2) ,是连续可微的,,。
3所示。局部稳定性
我们使用线性化方法来研究系统的稳定性2。1)。通过这种方式,我们计算雅可比矩阵,可以发现如下:
现在,让是系统的平衡点2。1)。然后
所以,如果和因此,系统(2。1)是在平衡点局部渐近稳定的。
让 然后, 因此, 因此,系统(2。1如果是局部渐近稳定和。
所以,以下命题证明。
命题3.1。让和。系统(2。1)在其平衡点局部渐近稳定,只要它的存在。
4所示。全球的稳定
在本节中,我们将证明系统的全局稳定性(2。1通过构造一个合适的李雅普诺夫函数。
定理4.1。系统(2。1)在平衡点全局渐近稳定,在那里,和。
证明。让我们考虑一个合适的李雅普诺夫函数
在哪里和。很明显是一个正定。从去年李雅普诺夫系统现在求导的时间。所以我们有
用,和在系统(2。1),我们获得导数表示如下:
自是一个系统的平衡点2。1),所以我们可以添加零方程如下:
并通过将和,我们发现
因此,如果,和。这就完成了证明。
5。分析的例子
在本节中,我们提出一些例子的高斯模型和分析它们的稳定性。
5.1。分析示例1
考虑以下系统:
在上面的系统中,所有的系数,都是正的常数。在系统(5。1),捕食者的效率在猎物物种和物种还在捕食者猎物物种效率物种都是线性的。的点,平衡系统的点(5。1)这可能是通过使用雅可比矩阵分析。我们首先计算系统的雅可比矩阵5。1)如下: 所以 因此,系统的起源是一个鞍点(5。1)。
上述系统的雅可比矩阵的平衡点是由 因此, 因此,平衡的观点是系统(双曲点5。1)。
雅可比矩阵的平衡点获得的是 所以 因此,平衡点是系统(双曲点5。1)。
事实上,我们制定了以下命题。
命题5.1。系统(表述是正确的5。1)。
的平衡点是一个鞍点。
平衡分和是双曲点。
5.2。分析示例2
在第二个例子中,我们认为有两个食肉动物物种生活在一个独立的生态系统,但他们的食物是一样的,也就是说,一个物种的猎物,成员物种之间的相互作用的数学模型如下:
很明显,。
此外,平衡的系统(5。8)是由 同时,其雅可比矩阵如下:
现在用平衡点和简化,雅可比矩阵
上面的矩阵的特征值和。因此,系统(5。8)在平衡点是稳定的。
同时,在平衡点的雅可比矩阵是由 上面的矩阵的特征值和,所以平衡点是一个鞍点的系统(5。8)。
最后,最后一个平衡点是由 其雅可比矩阵如下: 所以 因此,系统(5。8)是在上面的平衡点局部渐近稳定。
因此,我们可以在下面总结上述事实的命题。
命题5.2。系统(5。8),下面的语句。(我)它有三个平衡点如下: (2)该系统在平衡点是稳定的。(3)这一点上述系统是鞍点。(iv)这一点是说系统局部渐近稳定。
6。结论
通过添加一些不平等,一个可能使高斯系统有一个猎物和两个捕食者全局渐近稳定。此外,它可以猜测高斯系统与现有的推广猎物,捕食者是全局渐近稳定提供下列语句。(我)每个猎物的密度小于相应的组件相关的平衡点。(2)每一个捕食者的密度大于相应的组件相关的平衡点。此外,你可以确定一些特定的局部稳定性的高斯模型系统等有一个猎物和两个捕食者(5。1)和(5。8利用线性化方法)。