文摘
我们建立Schrodinger-Boussinesq系统的精确解,,在那里和是真正的常数。()扩张方法用于构造的周期性和孤子方程的解决方案。我们的工作是出于这一事实()扩张方法不仅提供了更一般形式的解决方案,但是也定期和孤波。因此,双曲函数解和三角函数的解决方案与参数。这些解决方案可能是重要的意义和解释一些实际的物理问题。
1。介绍
众所周知,非线性薛定谔(NLS)方程模型广泛的物理现象,包括自聚焦的光束在非线性介质,单色波的调制,传播的朗谬尔波在等离子体,等等。非线性薛定谔方程在应用物理的许多领域发挥重要作用,如非相对论量子力学,激光光束传播,“bose - einstein”冷凝物等等(见[1])。非线性薛定谔方程的解的一些性质都进行了广泛的研究在过去的20年(例如,看到2])。
Boussinesq-type方程本质上是一类出现在物理学和流体力学模型。所谓的布西涅斯克方程最初是由布西涅斯克(派生3)来描述二维无旋流动的非粘性的液体在一个统一的矩形通道。它还出现在一个大范围的物理现象,包括ion-sound波的传播在等离子体和非线性晶格波。研究布西涅斯克方程的孤子解各种概括最近引起了相当大的关注从许多数学家和物理学家(见[4])。我们应该注意,这是在文献中提出的第一个方程来描述这种物理现象。这个方程也被Zakharov [5)作为模型的非线性字符串和福尔克等。6在形状记忆合金的研究。
在激光和等离子体物理,Schrodinger-Boussinesq系统(以下简称SB-system)也在不断提高。考虑到SB-system 在哪里,对于一些,是真正的常数。在这里和分别是复值和一个实值函数中定义时空。SB-system视为一个短中间长波之间的相互作用模型,导出在描述朗缪尔孤子形成的动态和交互的等离子体(7)和双原子晶格系统(8]。短波项是由一种薛定谔方程描述的一个潜在的吗满足某种布西涅斯克方程和代表中间长波。SB-system也出现在光学孤子相互作用的研究。孤波解和可积性的非线性SB-system已经被认为是由几个作者(见[7,8])和引用。
在文献中,有各种各样的方法来构造行波的非线性问题的解决方案,如逆散射法(9],Bcklund变换[10),副大臣双线性方法(11[],Painleve扩张方法12),和朗斯基矩阵行列式的技术13]。
计算机软件的帮助下,大多数提到的方法改进和其他许多代数方法,提出,如tanh /双曲余切方法(14],Exp-function方法[15),和第一积分法(16]。但是,大多数的方法有时可能会失败或只会导致一种特殊的解决方案和解决方案过程变得非常复杂的非线性程度增加。
最近,扩张的方法,首先介绍了王et al。17),已成为广泛用于寻找各种有nle的精确解17- - - - - -19]。
该方法的主要思想是,行波解的非线性多项式方程可以表达的,在那里满足二阶线性常微分方程,在那里和任意常数。多项式的次数可以由考虑齐次平衡最高阶衍生品和非线性项出现在给定的非线性方程。
我们第一次在实现目前工作很感兴趣扩张方法强调它的力量在处理非线性方程,所以可以应用于各种类型的非线性模型。下一个兴趣是决心SB-system精确行波解(1。1)。
2。的描述扩展方法
本节的目的是概述的使用扩张的方法解决某些非线性偏微分方程(pde)。假设一个非线性方程,在两个独立的变量和的话,是 在哪里是一个未知函数,是一个多项式和它的各种偏导数,最高阶导数和非线性项。的主要步骤扩张方法如下:
步骤1。结合独立变量和成一个变量,我们假设 行波变量(2.2)允许我们减少(2.1)的颂歌,即 '表示导数在哪里。
步骤2。我们假设的解决方案(2.3)可以通过一个多项式表示如下: 在哪里被称为平衡数量,,是常数,确定后,满足二阶线性常微分方程(脉): 在哪里和任意常数。的正整数可以确定通过考虑齐次平衡最高阶导数和非线性项出现在颂歌(2.3)。
步骤3。用(2.4)(2.3),使用二阶线性颂歌(2.5),收集所有条款的顺序相同在一起,左边的2.3)转换成另一个多项式。将每个这个多项式系数为零收益率的一组代数方程。
步骤4。假定常数可以获得通过求解代数方程的步骤吗3的通用解决方案,因为二阶线性颂歌(2.5)是众所周知的,然后替换和一般的解决方案(2.5)(2.4我们有更多的行波解的非线性演化(2.1)。
在随后的部分,我们将详细说明该方法的有效性和可靠性的复杂模型Schrodinger-Boussinesq系统(1。1)。
3所示。应用程序
寻找的行波解Schrodinger-Boussinesq系统(1。1),我们使用规的转换: 在哪里,是常数,。我们的替代品(3所示。1)(1。1)获得非线性常微分方程 为了简化集成(3所示。3)两次,积分常数为零,系统(3所示。2)- (3所示。3)减少以下系统: 假设的解决非线性常微分系统(3所示。4)可以通过一个多项式表示如下: 在哪里被称为平衡数量,和常数是决定后,满足二阶线性常微分方程(2.5)。的整数可以确定通过考虑齐次平衡最高阶导数和非线性项中出现的非线性常微分系统(3所示。4): 这。然后,我们假设(3所示。4)有以下正式解决方案: 用(3所示。7)和(2.5)(3所示。4)和收集所有的相同的力量在一起,将每个系数为零,收益率的一组代数方程组,,如下所示: 然后,明确和准确波解可以通过我们的拟设(构造3所示。7通过相关的解决方案()2.5)。
在建设的过程中精确解Schrodinger-Boussinesq系统(1。1),(2.5)通常被视为一个关键的辅助方程,和类型的解决方案确定原始系统的解决方案(1。1间接)。为了寻求更多新的解决方案(1。1),我们这里将解决方案(2.5)中列出的18,19]。我们的计算结果表明,这种组合是一种有效的方式来获得更多的各种各样的家庭的显式精确解。
解决(3所示。8)利用枫,我们得到可靠的结果如下: 在哪里和是免费的常数参数和。因此,代入上面的情况(3所示。7),我们得到 用常微分方程的一般解决方案(2.5)(3.10),我们获得两种类型的行波解(1。1在正面和负面的观点。
当利用常微分方程的一般解(2.5)和关系(3.10),我们得到双曲函数的解决方案和Schrodinger-Boussinesq系统(1。1)如下: 在哪里,,任意常数,。
很容易看到,双曲解决方案(3.11)可以改写,如下所示: 在,一个人可以获得 在哪里,任意常数。
现在,当,得到三角函数的解决方案和Schrodinger-Boussinesq系统(1。1)如下: 在哪里,,任意常数,。相似性,三角解决方案(3.13)可以改写,,如下所示: 在哪里,任意常数。
4所示。结论
这项研究表明,扩张方法非常有效,几乎适合使用找到Schrodinger-Boussinesq系统的精确解。的帮助下米aple,我们保证获得解决方案的正确性,使他们回到原始方程。为了说明获得的解决方案,获得解决方案的双曲型(3.12)和(3.12 b),连接数据1,2,3。我们希望他们将为进一步研究应用科学是有用的。
确认
作者想表达真诚的感谢,感谢审稿人的宝贵的意见和建议的改进。