在衍射Boehmians菲涅耳变换

文摘

菲涅耳衍射变换理论扩展到特定空间的施瓦兹分布。在Boehmian空间的背景下,菲涅耳衍射变换得到一个连续函数。收敛对和也定义。

1。介绍

积分变换在光学的各个领域发挥重要的作用。重视在许多应用程序之一是傅里叶变换,在内核需要复指数函数的形式。泛化的傅里叶变换被称为分数傅里叶变换引入了Namias [1),最近引起了相当大的关注在梯度折射率光学与光传播媒体;见,例如,(2,3),同样在一些镜头系统看到4,5]。另一个著名的菲涅耳变换是线性变换;参见[4- - - - - -7),复杂的内核版本的二次组合和指数,看到8]。最近,已经受到了人们足够的重视的菲涅耳衍射变换 在哪里 与实际参数和变换内核,满足以下关系: 持有;参见[9]。

许多熟悉的变换可以看作广义菲涅耳变换的特殊情况。例如,如果参数和满足矩阵 然后广义菲涅耳变换变成了分数傅里叶变换。

特别是,当傅里叶变换,获得标准。此外,如果,广义菲涅耳变换降低复杂形式的菲涅耳变换。

在本文中,我们表明,衍射菲涅耳变换可以扩展到某些空间广义函数。节2,我们延长回火的菲涅耳衍射变换到空间分布和进一步的援助Parseval方程,空间分布的紧凑的支持。节3,我们定义的菲涅耳衍射变换Boehmian并讨论其连续性对和收敛性。

2。分布衍射菲涅耳变换

让表示所有复杂的价值功能的空间等,是无限光滑,他们和他们的偏导数下降为零速度比所有的力量。当是一维的,每一个函数在满足无限的不平等 在哪里和贯穿所有的非负整数。上面的表达式可以解释为 的成员是所谓的测试函数的快速下降,然后呢自然是一个线性空间。双重空间的是缓慢增长的空间分布(调和的空间分布)。参见[2,10,11]。

定理2.1。如果是在,那么它的衍射菲涅耳变换 存在,进一步也在。

证明。让是固定的。如果是在当然存在,那么它的衍射菲涅耳变换。此外,微分的右边(2.3)对,根据积分符号,次,收益率多项式之和,的组合和。也就是说, 这也是在,因为在和是一个线性空间。因此, 再一次,因为右边的积分(2.5)是有界的一个常数,每条非负整数和。因此,我们有以下定理。

定理2.2 (Parseval衍射变换方程)。如果和绝对可积的,结束了吗,然后 在哪里和相应的衍射菲涅耳变换吗和,分别。

证明。衍射菲涅耳变换和 确实是有界和连续吗。这确保积分的收敛性(2.6)。此外, 因为积分(2.7)是绝对可积在整个飞机,Fubini定理让我们交换积分的顺序。因此,(2.7)可以写成 在哪里。这就完成了这个定理的证明。

可以解释为Parseval关系 因此,从上面的关系,我们的状态菲涅耳衍射变换的分布缓慢的增长作为 这是定义良好的定理2.1。

定理2.3。如果是一个缓慢增长的分布,那么它的菲涅耳衍射变换吗也是一个增长缓慢的分布。

证明。线性的是显而易见的。显示的连续性,让,在,然后还在作为。因此, 因此。这就完成了这个定理的证明。

定理2.4。让是一个分布的紧凑的支持。然后,我们定义的菲涅耳变换作为

证明。让是任意的。从(2.10),我们读 但自是一个无限光滑函数,我们得到了什么 这就完成了这个定理的证明。

现在,对于分布和产品,我们定义卷积 对于每一个。这个定义是有道理的,因为属于,因此成员。用这个定义,我们可以编写以下定理。

定理2.5。对于每一个,函数是无限光滑和满足的关系 对所有。

证明(见26页(12])。卷积的直接结果产品是下面的定理。

定理2.6(卷积定理)。让和紧凑的支持和分布各自的衍射菲涅耳变换

证明。让,然后通过使用(2.12),我们得到 分布的属性一起简单的指数收益率的计算 这就完成了这个定理的证明。

推论2.7。让,然后 在哪里。
下面是一个定理,可以直接从成立(2.12)和(11]

定理2.8。让和紧凑的支持和分布各自的衍射菲涅耳变换

3所示。衍射Boehmians的菲涅耳变换

让是一个线性空间的子空间。每一对元素和,我们指定一个产品这样满足以下条件:(我)如果,然后和,(2)如果和,然后,(3)如果和,然后和。让是一个家族的序列这样(一)如果和,然后,(b)如果,然后。

的元素将被称为三角洲序列。考虑到类两个序列的定义 为每一个。一个元素被称为商的序列,用吗,或如果。

同样,序列的两个因素和据说等效,,如果。的关系~是一个等价的关系,因此分裂等价类。等价类包含用。这些被称为等价类Boehmians,空间的所有Boehmians用。

两个Boehmians之和,由一个标量乘法可以定义在一个自然的方式 操作和分化是由 收敛性的概念和产品之间的关系是由以下几点:(我)如果作为在而且,任何固定的元素,那么在,(2)如果作为在和,然后在。

操作可以扩展到通过 在收敛,一个可以定义两种类型如下:(我)(收敛性)一个序列 在 据说是 收敛到 在 ,用 ,如果存在一个三角洲序列 这样 ,和 作为 ,在 ,对于每一个 ,(2)(收敛性)一个序列 在 据说是 收敛到 在 ,用 ,如果存在一个 这样 ,和 作为 在 。

我们进一步分析参考,例如,(10,13- - - - - -19]。现在我们让勒贝格可积函数的空间和勒贝格可积的空间Boehmians [17)与一组所有的三角洲序列从(测试函数空间的紧凑支持)(1) 对所有,(2) 对于某些正数和,(3) 作为对于每一个。

然后,卷积是一种代数的点态操作吗(我) ,(2) ,(3)和卷积

引理3.1。让,那么序列 每个紧集上一致收敛在。

证明。让。对于每一个紧集一致收敛函数。因此,通过推论2.7, 使用选择商的序列和雇佣推论2.7,我们有 这就完成了引理的证明。

通过使用这个引理,我们能够定义diffractional Boehmian的菲涅耳变换如下:在 作为 在紧凑的子集的限制范围 。现在,让在,然后 因此,上面两边采用菲涅耳变换方程 因此,使用定理2.6事实上, 在紧凑的子集,我们得到 因此, 因此定义是定义良好的。

定理3.2。让和在和,然后(我) ,(2) ,(3) ,(iv)如果,然后,(v)如果作为在,然后作为在在紧凑的子集。

证明。的证明(我),(ii)和(iv)遵循的对应属性分配菲涅耳变换。因为每一有一个代表 在空间从推论2.7,(3)部分。最后,部分的证明(v)类似于用于证明部分(f) (17定理2]。这就完成了这个定理的证明。

定理3.3。菲涅耳变换是连续的吗收敛。

证明。让在作为,那么我们显示作为。使用[17定理2.6),我们发现和这样作为。菲涅耳变换申请双方暗示在连续函数空间。因此,考虑到极限,我们得到的 这就完成了这个定理的证明。

定理3.4。菲涅耳衍射变换是连续的吗收敛。

证明。让作为在,那么就和这样 因此 因此,作为。因此,作为。这就完成了证明。

引理3.5。让和,然后

证明。让,然后使用(3.9),我们有 在紧凑的子集。通过应用定理2.6,它的收益率 因此,。这就完成了引理的证明。

确认

作者要感谢裁判有价值的评论和建议的先前版本。第二作者欣然承认,这项研究支持的部分大学Putra马来西亚在研究型大学授予计划没有。05 - 01 - 09 - 0720俄文。