raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AAA

抽象和应用分析

1687 - 0409 1085 - 3375

Hindawi出版公司

712746年 10.1155 / 2011/712746 712746年

研究文章

在衍射Boehmians菲涅耳变换

al omari s . k . Q。 ¹ Kılıcman 一个。 ² Atakishiyev Natig

^{1

应用科学学系

工程技术学院

Al-Balqa应用大学

安曼11134

约旦

bau.edu.jo} ^{2

数学系数学研究所

马来西亚Putra大学(其)

43400年Serdang

雪兰莪州

马来西亚

upm.edu.my}

2011年

29日 12 2011年

2011年 12 09年 2011年 27 10 2011年 11 11 2011年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

菲涅耳衍射变换理论扩展到特定空间的施瓦兹分布。在Boehmian空间的背景下,菲涅耳衍射变换得到一个连续函数。收敛对<我nline-formula> δ 和<我nline-formula> Δ 也定义。

1。介绍</t我tle> 积分变换在光学的各个领域发挥重要的作用。重视在许多应用程序之一是傅里叶变换,在内核需要复指数函数的形式。泛化的傅里叶变换被称为分数傅里叶变换引入了Namias [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B17"> 1</xgydF4y2Baref>),最近引起了相当大的关注在梯度折射率光学与光传播媒体;见,例如,(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 2</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 3</xgydF4y2Baref>),同样在一些镜头系统看到<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 4</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B11"> 5</xgydF4y2Baref>]。另一个著名的菲涅耳变换是线性变换;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 4</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B10"> 7</xgydF4y2Baref>),复杂的内核版本的二次组合<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>指数,看到<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 8</xgydF4y2Baref>]。最近,已经受到了人们足够的重视的菲涅耳衍射变换<d我sp-formula id="EEq1.1"> <label>(1.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我sp-formula id="eq1"> <label>(1.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与实际参数和变换内核<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足以下关系:<d我sp-formula id="eq2"> <label>(1.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </disp-formula>持有;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B8"> 9</xgydF4y2Baref>]。gydF4y2Ba许多熟悉的变换可以看作广义菲涅耳变换的特殊情况。例如,如果参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足矩阵<d我sp-formula id="eq3"> <label>(1.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="pmatrix"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="pmatrix"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="pmatrix"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 因为</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 罪</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> 罪</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 因为</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="pmatrix"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后广义菲涅耳变换变成了分数傅里叶变换。gydF4y2Ba特别是,当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>傅里叶变换,获得标准。此外,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,广义菲涅耳变换降低复杂形式的菲涅耳变换。gydF4y2Ba在本文中,我们表明,衍射菲涅耳变换可以扩展到某些空间广义函数。节<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2Baref>,我们延长回火的菲涅耳衍射变换到空间分布和进一步的援助Parseval方程,空间分布的紧凑的支持。节<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>,我们定义的菲涅耳衍射变换Boehmian并讨论其连续性对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛性。</gydF4y2Basec> <sec sec-type="section" id="sec2"> <title>2。分布衍射菲涅耳变换</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示所有复杂的价值功能的空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>等,是无限光滑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,他们和他们的偏导数下降为零速度比所有的力量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一维的,每一个函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足无限的不平等<d我sp-formula id="eq4"> <label>(2.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在哪里</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>贯穿所有的非负整数。上面的表达式可以解释为<d我sp-formula id="eq5"> <label>(2.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的成员<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是所谓的测试函数的快速下降,然后呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>自然是一个线性空间。双重空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是缓慢增长的空间分布(调和的空间分布)。参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 2</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 10</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B21"> 11</xgydF4y2Baref>]。<gydF4y2B作为tatement id="thm2.1"> <title>定理2.1。</t我tle> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,那么它的衍射菲涅耳变换<d我sp-formula id="EEq2.1"> <label>(2.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>存在,进一步也在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是固定的。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>当然存在,那么它的衍射菲涅耳变换。此外,微分的右边(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 2.3</xgydF4y2Baref>)对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,根据积分符号,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>次,收益率多项式之和,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的组合<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。也就是说,<d我sp-formula id="eq6"> <label>(2.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>这也是在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个线性空间。因此,<d我sp-formula id="EEq2.2"> <label>(2.5)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>再一次,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>右边的积分(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 2.5</xgydF4y2Baref>)是有界的一个常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,每条非负整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们有以下定理。</gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.2"> <title>定理2.2 (Parseval衍射变换方程)。</t我tle> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>绝对可积的,结束了吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我sp-formula id="EEq2.3"> <label>(2.6)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>相应的衍射菲涅耳变换吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> 衍射菲涅耳变换<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>确实是有界和连续吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这确保积分的收敛性(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.3"> 2.6</xgydF4y2Baref>)。此外,<d我sp-formula id="EEq2.4"> <label>(2.7)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>因为积分(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.4"> 2.7</xgydF4y2Baref>)是绝对可积在整个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>飞机,Fubini定理让我们交换积分的顺序。因此,(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.4"> 2.7</xgydF4y2Baref>)可以写成<d我sp-formula id="eq7"> <label>(2.8)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> 可以解释为Parseval关系<d我sp-formula id="eq8"> <label>(2.9)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,从上面的关系,我们的状态<我talic> 菲涅耳衍射变换</我talic>的分布<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>缓慢的增长<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我sp-formula id="EEq2.5"> <label>(2.10)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>这是定义良好的定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.1"> 2.1</xgydF4y2Baref>。<gydF4y2B作为tatement id="thm2.3"> <title>定理2.3。</t我tle> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个缓慢增长的分布,那么它的菲涅耳衍射变换吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>也是一个增长缓慢的分布。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> 线性的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是显而易见的。显示的连续性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后还<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<d我sp-formula id="eq9"> <label>(2.11)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>。这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.4"> <title>定理2.4。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个分布的紧凑的支持<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后,我们定义的菲涅耳变换<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我sp-formula id="EEq2.6"> <label>(2.12)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是任意的。从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.5"> 2.10</xgydF4y2Baref>),我们读<d我sp-formula id="eq10"> <label>(2.13)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>但自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个无限光滑函数,我们得到了什么<d我sp-formula id="eq11"> <label>(2.14)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> 现在,对于分布<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>产品,我们定义卷积<d我sp-formula id="EEq2.7"> <label>(2.15)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>对于每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这个定义是有道理的,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>属于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,因此成员<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。用这个定义,我们可以编写以下定理。<gydF4y2B作为tatement id="thm2.5"> <title>定理2.5。</t我tle> 对于每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是无限光滑和满足的关系<d我sp-formula id="eq12"> <label>(2.16)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof26"> <title>证明(见26页(< xref ref-type =“bibr”掉= " B23 " > < / xref > 12])。</t我tle> 卷积的直接结果产品是下面的定理。</gydF4y2Bastatement> <statement id="thm2.6"> <title>定理2.6(卷积定理)。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>紧凑的支持和分布<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>各自的衍射菲涅耳变换<d我sp-formula id="eq13"> <label>(2.17)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后通过使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.6"> 2.12</xgydF4y2Baref>),我们得到<d我sp-formula id="eq14"> <label>(2.18)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mtext> 我</米米l:mtext> <mml:mo> 。</米米l:mo> <mml:mtext> e</米米l:mtext> <mml:mo> 。</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> 〈</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 〉</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>分布的属性一起简单的指数收益率的计算<d我sp-formula id="eq15"> <label>(2.19)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> <statement id="coro2.7"> <title>推论2.7。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我sp-formula id="eq16"> <label>(2.20)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba下面是一个定理,可以直接从成立(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.6"> 2.12</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B21"> 11</xgydF4y2Baref>]<d我sp-formula id="eq17"> <label>(2.21)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="thm2.7"> <title>定理2.8。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>紧凑的支持和分布<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>各自的衍射菲涅耳变换<d我sp-formula id="eq18"> <label>(2.22)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> </sec> <sec sec-type="section" id="sec3"> <title>3所示。衍射Boehmians的菲涅耳变换</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个线性空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的子空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。每一对元素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们指定一个产品<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样满足以下条件:<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(我)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个家族的序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(一)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(b)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Balist-item> 的元素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>将被称为<我talic> 三角洲序列。</我talic>考虑到类<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> U</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>两个序列的定义<d我sp-formula id="eq19"> <label>(3.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="bold"> U</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> {</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⊆</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> }</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。一个元素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> U</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为商的序列,用吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 所有</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba同样,序列的两个因素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>据说<我talic> 等效</我talic>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ~</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 所有</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。的关系<我talic> ~</我talic>是一个等价的关系<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> U</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,因此分裂<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> U</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>等价类。等价类包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这些被称为等价类<我talic> Boehmians</我talic>,<我talic> 空间的所有Boehmians</我talic>用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba两个Boehmians之和,由一个标量乘法可以定义在一个自然的方式<d我sp-formula id="eq20"> <label>(3.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> C</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和分化是由<d我sp-formula id="eq21"> <label>(3.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>收敛性的概念和产品之间的关系<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是由以下几点:<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(我)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>而且,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>任何固定的元素,那么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Balist-item> 操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以扩展到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mi> ℑ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>通过<d我sp-formula id="eq22"> <label>(3.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mtext> 如果</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> B</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 和</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 然后</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛,一个可以定义两种类型如下:<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(我)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> (<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛性)<我talic> 一个序列</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 据说是</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 收敛到</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 用</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 如果存在一个三角洲序列</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 这样</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 所有</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 和</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 作为</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 对于每一个</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> (<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛性)<我talic> 一个序列</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula> <italic> 据说是</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 收敛到</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 用</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 如果存在一个</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <italic> 这样</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 所有</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 和</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula> <italic> 作为</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Balist-item> 我们进一步分析参考,例如,(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 10</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 13</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B22"> 19</xgydF4y2Baref>]。现在我们让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>勒贝格可积函数的空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>勒贝格可积的空间Boehmians [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 17</xgydF4y2Baref>)与一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>所有的三角洲序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>从<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(测试函数空间的紧凑支持)<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(1)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>对于某些正数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>对于每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Balist-item> 然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>卷积是一种代数的点态操作吗<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(我)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> 和卷积<d我sp-formula id="eq23"> <label>(3.5)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </list-item> <statement id="lem3.1"> <title>引理3.1。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,那么序列<d我sp-formula id="eq24"> <label>(3.6)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>每个紧集上一致收敛<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。对于每一个紧集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>一致收敛函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。因此,通过推论<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="coro2.7"> 2.7</xgydF4y2Baref>,<d我sp-formula id="eq25"> <label>(3.7)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>使用选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商的序列和雇佣推论<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="coro2.7"> 2.7</xgydF4y2Baref>,我们有<d我sp-formula id="eq26"> <label>(3.8)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这就完成了引理的证明。</gydF4y2Bastatement> 通过使用这个引理,我们能够定义diffractional Boehmian的菲涅耳变换如下:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 在</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我sp-formula id="EEq3.1"> <label>(3.9)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula> <italic> 在紧凑的子集的限制范围</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。现在,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我sp-formula id="eq27"> <label>(3.10)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 每一个</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,上面两边采用菲涅耳变换方程<d我sp-formula id="eq28"> <label>(3.11)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,使用定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.6"> 2.6</xgydF4y2Baref>事实上,<d我sp-formula id="eq29"> <label>(3.12)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 和</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </disp-formula>在紧凑的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d我sp-formula id="eq30"> <label>(3.13)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<d我sp-formula id="eq31"> <label>(3.14)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此定义是定义良好的。<gydF4y2B作为tatement id="thm3.2"> <title>定理3.2。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℂ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(我)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(3)</gydF4y2Balabel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(iv)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Balist-item> <list-item> <label>(v)</gydF4y2Balabel> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在紧凑的子集。</gydF4y2Balist-item> </statement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle> 的证明(我),(ii)和(iv)遵循的对应属性分配菲涅耳变换。因为每一<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ´</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>有一个代表<d我sp-formula id="eq32"> <label>(3.15)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>从推论2.7,(3)部分。最后,部分的证明(v)类似于用于证明部分(f) (<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 17</xgydF4y2Baref>定理2]。这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> <statement id="thm3.3"> <title>定理3.3。</t我tle> 菲涅耳变换<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mrow> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof8"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么我们显示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。使用[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 17</xgydF4y2Baref>定理2.6),我们发现<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。菲涅耳变换申请双方暗示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̃</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在连续函数空间。因此,考虑到极限,我们得到的<d我sp-formula id="eq33"> <label>(3.16)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这就完成了这个定理的证明。</gydF4y2Bastatement> <statement id="thm3.4"> <title>定理3.4。</t我tle> 菲涅耳衍射变换<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mrow> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proof9"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么就<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<d我sp-formula id="eq34"> <label>(3.17)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我sp-formula id="eq35"> <label>(3.18)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 作为</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 通过</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 必然的结果</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mn> 2.7</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 通过</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 的</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 线性</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mtext> 的</米米l:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover class="xrighta"> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</米米l:mi> </mml:mover> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。这就完成了证明。</gydF4y2Bastatement> <statement id="lem3.5"> <title>引理3.5。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℬ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> </米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我sp-formula id="eq36"> <label>(3.19)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof10"> <title>证明。</t我tle> 让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 3.9</xgydF4y2Baref>),我们有<d我sp-formula id="eq37"> <label>(3.20)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在紧凑的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。通过应用定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm2.6"> 2.6</xgydF4y2Baref>,它的收益率<d我sp-formula id="eq38"> <label>(3.21)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> R</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</米米l:mi> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:mi> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℛ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:mo> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这就完成了引理的证明。</gydF4y2Bastatement> </sec> <back> <ack> <title>确认</t我tle> 作者要感谢裁判有价值的评论和建议的先前版本。第二作者欣然承认,这项研究支持的部分大学Putra马来西亚在研究型大学授予计划没有。05 - 01 - 09 - 0720俄文。</gydF4y2Baack> <ref-list> <ref id="B17" content-type="article"> <label>1</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Namias</gydF4y2B作为urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶傅里叶变换及其应用量子力学</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> IMA应用数学杂志》上</我talic> <year> 1980年</yegydF4y2Baar> <volume> 25</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 241年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 265年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77958407025</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1093 / imamat / 25.3.241</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0434.42014</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mendlovic</gydF4y2B作为urname> <given-names> D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ozaktas</gydF4y2B作为urname> <given-names> h . M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数傅里叶变换及其光学实现:我</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 美国光学学会杂志》上</我talic> <year> 1993年</yegydF4y2Baar> <volume> 10</gydF4y2Bavolume> <issue> 9</我ssue> <fpage> 1875年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 1881年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027652515</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1364 / JOSAA.10.001875</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>3</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ozaktas</gydF4y2B作为urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Mendlovic</gydF4y2B作为urname> <given-names> D。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数傅里叶变换及其光学实现。二世</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 美国光学学会杂志》上</我talic> <year> 1993年</yegydF4y2Baar> <volume> 10</gydF4y2Bavolume> <issue> 12</我ssue> <fpage> 2522年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 2531年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027740848</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1364 / JOSAA.10.002522</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贝尔纳多</gydF4y2B作为urname> <given-names> l . M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 苏亚雷斯</gydF4y2B作为urname> <given-names> o . D D。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数傅里叶变换和光学系统</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 光学通信</我talic> <year> 1994年</yegydF4y2Baar> <volume> 110年</gydF4y2Bavolume> <issue> 5 - 6</我ssue> <fpage> 517年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 522年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0028496555</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0030 - 4018 (94)90242 - 9</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗曼</gydF4y2B作为urname> <given-names> 答:W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 图像旋转,维格纳旋转,分数傅里叶变换</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 美国光学学会杂志》上</我talic> <year> 1993年</yegydF4y2Baar> <volume> 10</gydF4y2Bavolume> <issue> 10</我ssue> <fpage> 2181年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 2186年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027682286</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1364 / JOSAA.10.002181</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kılıcman</gydF4y2B作为urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 菲涅耳正弦积分和卷积</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际数学和数学科学杂志》上</我talic> <year> 2003年</yegydF4y2Baar> <volume> 2003年</gydF4y2Bavolume> <issue> 37</我ssue> <fpage> 2327年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 2333年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 17844382677</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / S0161171203211510</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kılıcman</gydF4y2B作为urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 费雪</gydF4y2B作为urname> <given-names> B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 菲涅耳积分和卷积</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际数学和数学科学杂志》上</我talic> <year> 2003年</yegydF4y2Baar> <volume> 2003年</gydF4y2Bavolume> <issue> 41</我ssue> <fpage> 2635年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 2643年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 17844397434</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / S0161171203211522</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1043.33001</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="book"> <label>8</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 默茨</gydF4y2B作为urname> <given-names> l</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 在光学转换</我talic> <year> 1965年</yegydF4y2Baar> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 威利</pgydF4y2Baublisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 风扇</gydF4y2B作为urname> <given-names> h . Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 陆</gydF4y2B作为urname> <given-names> h·L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 波函数的转换由SU(1,1)单模压缩和类比在波动光学菲涅耳变换</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 光学通信</我talic> <year> 2006年</yegydF4y2Baar> <volume> 258年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 51</fpgydF4y2Baage> <lpage> 58</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 28544434993</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.optcom.2005.07.044</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> al omari</gydF4y2B作为urname> <given-names> s . k . Q。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Loonker</gydF4y2B作为urname> <given-names> D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 纳杰</gydF4y2B作为urname> <given-names> p K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 卡拉</gydF4y2B作为urname> <given-names> s . L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 傅里叶正弦(余弦)变换为ultradistributions及其扩展回火和ultraBoehmian空间</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 积分变换和特殊功能</我talic> <year> 2008年</yegydF4y2Baar> <volume> 19</gydF4y2Bavolume> <issue> 6</我ssue> <fpage> 453年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 462年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 45949110551</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10652460801936721</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1215.42007</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="book"> <label>11</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 帕沙克</gydF4y2B作为urname> <given-names> r S。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 积分变换的广义函数和他们的应用程序</我talic> <year> 1997年</yegydF4y2Baar> <publisher-loc> 阿姆斯特丹,荷兰</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 戈登和违反科学出版商</pgydF4y2Baublisher-name> <fpage> 十六世+ 415</fpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="other"> 1630717</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="book"> <label>12</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Zemanian</gydF4y2B作为urname> <given-names> a . H。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 广义积分转换</我talic> <year> 1987年</yegydF4y2Baar> <edition> 2日</ed我t我on> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 多佛出版物</pgydF4y2Baublisher-name> <fpage> 十六世+ 300</fpgydF4y2Baage> <pub-id pub-id-type="other"> 896486年</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> al omari</gydF4y2B作为urname> <given-names> s . k . Q。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义斯蒂尔吉斯和特定空间的广义函数的傅里叶变换</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 约旦《数学和统计数据</我talic> <year> 2009年</yegydF4y2Baar> <volume> 2</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 55</fpgydF4y2Baage> <lpage> 66年</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>14</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> al omari</gydF4y2B作为urname> <given-names> s . k . Q。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在分配上梅林变换及其扩展Boehmian空间</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际当代数学科学杂志》上</我talic> <year> 2011年</yegydF4y2Baar> <volume> 6</gydF4y2Bavolume> <issue> 17</我ssue> <fpage> 801年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 810年</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> al omari</gydF4y2B作为urname> <given-names> s . k . Q。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 勒贝格可积Boehmians梅林变换的空间</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际当代数学科学杂志》上</我talic> <year> 2011年</yegydF4y2Baar> <volume> 6</gydF4y2Bavolume> <issue> 32</我ssue> <fpage> 1597年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 1606年</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 伯麦</gydF4y2B作为urname> <given-names> t·K。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> Mikusinski运营商的支持</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 事务的美国数学学会</我talic> <year> 1973年</yegydF4y2Baar> <volume> 176年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 319年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 334年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0268.44005</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mikusiński</gydF4y2B作为urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 为可积Boehmians傅里叶变换</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 落基山数学杂志》上</我talic> <year> 1987年</yegydF4y2Baar> <volume> 17</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 577年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 582年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 908263年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1216 / rmj - 1987 - 17 - 3 - 577</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0629.44005</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mikusiński</gydF4y2B作为urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的Boehmians</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 日本数学杂志</我talic> <year> 1983年</yegydF4y2Baar> <volume> 9</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 159年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 179年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 722539年</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0524.44005</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Roopkumar</gydF4y2B作为urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 梅林变换为Boehmians</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 数学研究所的公告。台湾中央研究院</我talic> <year> 2009年</yegydF4y2Baar> <volume> 4</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 75年</fpgydF4y2Baage> <lpage> 96年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2512849</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1182.46030</pgydF4y2Baub-id> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>