凸性的成分和乘法运算符在加权哈代空间

文摘

一个有界的线性算子在希尔伯特空间,满足对于每一个,被称为凸算子。在本文中,我们提供充分必要条件一个凸组合算子在大类加权哈代空间是一个等距。同时,我们讨论凸性的乘法操作符。

1。介绍和预赛

我们表示所有有界的空间希尔伯特空间上线性算子。一个操作员据说是凸,如果

为每一个注意,如果是一个凸算子序列每形成一个凸序列采取它很容易看到是一个凸算子当且仅当吗

加权哈代空间是一个希尔伯特空间分析功能在公开单位圆盘的序列形成一套完整的正交的非零向量。它通常是假定的。写作用,这个空间并给出其规范

让是一个分析的地图开放单位圆盘为本身,和定义每当分析在。这个函数被称为合成算子的象征。对于一个正整数,th迭代的,用是函数获得通过组合吗与自身次;也恒等函数的定义。表示复制内核的空间,通过。然后对于每一个。众所周知,对所有在的生成函数的功能吗

这个函数是分析。此外,如果然后和(见[1])。

最近,有一个伟大的兴趣学习算子理论的属性组成和加权复合算子,看到的,例如,专著[1,2),论文(3- - - - - -16),以及参考。

等距算子加权哈代空间,特别是那些被许多作者讨论了复合算子。等距的哈代空间在复合算子具有(17,444页),18]和[12,66页)。实际上,这是表明,唯一的复合算子是等距的消失引起的内部函数在原点。Bayart [5广义这个结果和显示每一个合成算子这是类似于一个等距引起内部函数与一个固定的点单位圆盘。满射等距的,描述了Forelli称,加权复合算子(19]。卡斯韦尔和哈蒙德(6]证明了等距伯格曼的加权复合算子空间是旋转的。Cima和英国五金资源20.)布洛赫的所有满射等距特征空间。此外,识别所有等距组成运营商的布洛赫空间由于报摊8]。也可以找到一些相关的结果(3,4,6,21- - - - - -25]。

,我们有兴趣研究构成的凸性和乘法运算符作用于加权哈代空间。首先,我们给出一些初步事实凸运营商。接下来,我们将提供充分必要条件一个凸组合算子可能是等距的大型类加权哈代空间包含耐寒,伯格曼和狄利克雷空间。我们还讨论凸性的伴随算子的一篇作文。最后,我们将为乘法运算符及其伴随获得类似的结果。对于一个好的参考在等距乘法操作符读者可以看到[3]。

在这篇文章中,被认为是一个有界的线性算子在希尔伯特空间吗。很容易看到,每个凸算子,序列形式越来越序列。我们用这一事实来证明以下定理。

定理1.1。如果是一个凸算子那么每一个非负整数的力量吗。

证明。我们认为通过使用数学归纳法。凸性的意味着结果适用于。假设,然后 所以结果适用于。

命题1.2。如果是一个凸算子,然后对每一个非负整数吗,

证明。我们给断言通过使用数学归纳法。结果显然是如此。假设。因此, 所以结果适用于。

命题1.3。让是一个凸,让运营商是这样的,。如果,然后。

证明。通过应用命题1.2,我们观察到每一个非负整数, 让的积极性意味着;因此,。

命题1.4。让是一组标准正交基,让是一个凸算子满足假设有一个非负整数和一个标量与这,然后是一个不变子空间。

证明。使用命题1.2,我们看到, 对于每一个。让。自是一个积极的运营商,我们得出这样的结论:。因此,现在,如果然后;因此,。

2。复合算子

在本节中,我们的目的是讨论凸复合算子加权哈代空间。回想一下,一个操作员在是一个等距,如果。首先,我们给nonisometric合成算子的一个例子等加权哈代空间。简单的符号,用。

例2.1。考虑加权哈代空间与重量序列给出的定义通过。它很容易看到,应用程序关闭图定理表明,是有界的。现在,一个简单的计算显示 对所有;除了 这是阳性无论何时,零。由此可见,,但不是一个等距。

命题2.2。假设是一个凸算子满足吗和,然后 是一个重要的不变子空间的。

证明。很明显是一个重要的闭子空间的。表明是不变的,应用命题1.4希耳伯特空间的标准正交基给出的和。

例2.3。伯格曼考虑空间所有分析功能组成在公开单位圆盘, 在哪里是标准化的勒贝格区测量。如果是由,然后 同时,形成了一个正交的基础。解决非负整数和,观察 因此,命题1.3意味着当且仅当是一个等距。在这种情况下,和在命题2.2,我们得出这样的结论:;因此,施瓦兹引理暗示对所有。另一方面,如果然后 所以几乎所有的领域。因此,对于一些。

例2.4。考虑到哈代空间。如果是一种分析self-map单位圆盘,然后呢导致一个有界组合算子和对于所有的非负整数和。因此,通过命题1.3,当且仅当是一个等距。

回想一下,狄利克雷空间是所有功能的集合分析伯格曼的衍生品躺在空间。狄利克雷规范定义的

如果是单价的self-map的,然后是有界的(2,18页]。此外,面积公式(136页),显示

在哪里像往常一样,计数函数定义为集合的基数吗。

在接下来的定理,我们描述所有凸组合运营商在令人满意的。注意,我们不能使用命题1.3狄利克雷空间,由于一般的积极力量不一致有界的的年代。

定理2.5。如果是狄利克雷凸空间,然后当且仅当是一个等距。

证明。一个含义是清楚的。假设是一个积极的运营商,并采取在命题2.2。自从恒等函数在子空间我们得出这样的结论:。因此,根据(2.9),显示是一个等距足以证明吗 让任何在狄利克雷函数空间。然后 此外, 通过总结这两个关系 但,所以 反过来,这意味着几乎无处不在。用这个(2.11),然后考虑(2.12)将完成的断言。

观察,如果,几乎无处不在,是有界的然后它是凸。的确,

在接下来的定理,我们转向合成算子的伴随,给充分必要条件一个凸算子是一个等距。

定理2.6。让是一个分析self-map与。如果是一个凸算子,那么它是一个等距当且仅当。

证明。假设,假设不是身份或一个椭圆形的自同构。由Denjoy-Wolff定理一致收敛到零在紧凑的子集(1),所以对于每一个, 命题1.2加上这一事实意味着所有和所有的非负整数, 此外,积极的显示,。因此,根据(2.16)和(2.17我们得出这样的结论:对所有,所以对于每一个正整数。因此,对所有。由此可见, 这一矛盾表明,是单位或一个椭圆形的自同构。因此,有一个这对所有。现在,如果然后
由此可见,。但它很容易看到对于每一个。因此,是一个等距。反过来是显而易见的。

3所示。乘法运算符

本节涉及加权哈代空间凸乘法操作符。回想一下,乘数是一个解析函数在这样。所有因子的集合用。众所周知,。事实上,如果和是常数函数然后对每一个正整数每我们有

现在,让,我们得出这样的结论:是有界的。加上这一事实意味着如果是一个乘法器,那么乘法操作符,定义为,是有界的。也请注意,对于每个,。

接下来,运营商被认为是凸的。首先,我们现在的一个例子nonisometric凸乘法运算符与。

例3.1。考虑加权哈代空间与重量序列给出的定义的映射在通过。很明显,是有界的。此外,它很容易看到,每一个非负整数, 因此,凸,但不是一个等距。除此之外,是一个积极的算子。

定理3.2。让包括所有的乘数,让是这样的,。如果或然后当且仅当是一个等距。

证明。假设是或和。定义了线性映射通过。的一个应用定理意味着封闭图是有界的。因此,有这样对所有, 由此可见,对于每一个和每一个非负整数, 因此,对于每一个自对所有通过类似的方法可以证明对所有。因此,遵循从命题的结果1.3。

例3.3。让伯格曼是空间或哈代空间,让是或其伴随在。众所周知,因此,如果是一个乘法器,,然后通过应用前面的定理,我们观察到当且仅当是一个等距。

我们这里的话,如果和狄利克雷空间,那么它很容易看到但不是一个等距。

确认

作者要感谢博士Faghih艾哈迈迪为她的援助和裁判的有益的意见和建议。本研究在一定程度上支持了批准号(88 - gr - sc - 27)设拉子大学研究委员会。

引用

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