一个有界的线性算子<我nline-formula>
T
在希尔伯特空间<我nline-formula>
ℋ
,满足<我nline-formula>
∥
T
2
h
∥
2
+
∥
h
∥
2
≥
2
∥
T
h
∥
2
对于每一个<我nline-formula>
h
∈
ℋ
,被称为凸算子。在本文中,我们提供充分必要条件一个凸组合算子在大类加权哈代空间是一个等距。同时,我们讨论凸性的乘法操作符。
1。介绍和预赛
我们表示<我nline-formula>
B
(
ℋ
)
所有有界的空间希尔伯特空间上线性算子<我nline-formula>
ℋ
。一个操作员<我nline-formula>
T
∈
B
(
ℋ
)
据说是<我talic>
凸,如果
∥
T
2
h
∥
2
+
∥
h
∥
2
≥
2
∥
T
h
∥
2
为每一个<我nline-formula>
h
∈
ℋ
。
注意,如果<我nline-formula>
T
是一个凸算子序列<我nline-formula>
(
∥
T
n
h
∥
2
)
n
∈
N
每形成一个凸序列<我nline-formula>
h
∈
ℋ
。
采取<我nline-formula>
Δ
T
=
T
*
T
- - - - - -
我
,
它很容易看到<我nline-formula>
T
是一个凸算子当且仅当吗<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
。
加权哈代空间是一个希尔伯特空间分析功能在公开单位圆盘<我nline-formula>
D
的序列<我nline-formula>
(
z
j
)
j
=
0
∞
形成一套完整的正交的非零向量。它通常是假定的<我nline-formula>
∥
1
∥
=
1
。写作<我nline-formula>
β
(
j
)
=
∥
z
j
∥
用,这个空间<我nline-formula>
H
2
(
β
)
并给出其规范
让<我nline-formula>
φ
是一个分析的地图开放单位圆盘<我nline-formula>
D
为本身,和定义<我nline-formula>
C
φ
(
f
)
=
f
∘
φ
每当<我nline-formula>
f
分析在<我nline-formula>
D
。这个函数<我nline-formula>
φ
被称为合成算子的象征。对于一个正整数<我nline-formula>
n
,<我nline-formula>
n
th迭代的<我nline-formula>
φ
,用<我nline-formula>
φ
n
,
是函数获得通过组合吗<我nline-formula>
φ
与自身<我nline-formula>
n
次;也<我nline-formula>
φ
0
恒等函数的定义。表示复制内核<我nline-formula>
z
∈
D
的空间<我nline-formula>
H
2
(
β
)
,通过<我nline-formula>
K
z
。然后<我nline-formula>
〈
f
,
K
z
〉
=
f
(
z
)
对于每一个<我nline-formula>
f
∈
H
2
(
β
)
。众所周知,<我nline-formula>
C
φ
*
(
K
z
)
=
K
φ
(
z
)
对所有<我nline-formula>
z
在<我nline-formula>
D
。
的生成函数<我nline-formula>
H
2
(
β
)
的功能吗
k
(
z
)
=
∑
j
=
0
∞
z
j
β
(
j
)
2
。
这个函数是分析<我nline-formula>
D
。此外,如果<我nline-formula>
w
∈
D
然后<我nline-formula>
K
w
(
z
)
=
k
(
w
̅
z
)
和<我nline-formula>
∥
K
w
∥
2
=
k
(
|
w
|
2
)
(见[
1])。
等距算子加权哈代空间,特别是那些被许多作者讨论了复合算子。等距的哈代空间<我nline-formula>
H
2
在复合算子具有(
17,444页),
18]和[
12,66页)。实际上,这是表明,唯一的复合算子<我nline-formula>
H
2
是等距的消失引起的内部函数在原点。Bayart [
5广义这个结果和显示每一个合成算子<我nline-formula>
H
2
这是类似于一个等距引起内部函数与一个固定的点单位圆盘。满射等距的<我nline-formula>
H
p
,<我nline-formula>
1
≤
p
<
∞
描述了Forelli称,加权复合算子(
19]。卡斯韦尔和哈蒙德(
6]证明了等距伯格曼的加权复合算子空间<我nline-formula>
一个
α
2
是旋转的。Cima和英国五金资源
20.)布洛赫的所有满射等距特征空间。此外,识别所有等距组成运营商的布洛赫空间由于报摊
8]。也可以找到一些相关的结果(
3,
4,
6,
21- - - - - -
25]。
,我们有兴趣研究构成的凸性和乘法运算符作用于加权哈代空间<我nline-formula>
H
2
(
β
)
。首先,我们给出一些初步事实凸运营商。接下来,我们将提供充分必要条件一个凸组合算子可能是等距的大型类加权哈代空间包含耐寒,伯格曼和狄利克雷空间。我们还讨论凸性的伴随算子的一篇作文。最后,我们将为乘法运算符及其伴随获得类似的结果。对于一个好的参考在等距乘法操作符读者可以看到[
3]。
在这篇文章中,<我nline-formula>
T
被认为是一个有界的线性算子在希尔伯特空间吗<我nline-formula>
ℋ
。很容易看到,每个凸算子<我nline-formula>
T
,序列<我nline-formula>
(
T
*
n
Δ
T
T
n
)
n
形式越来越序列。我们用这一事实来证明以下定理。
定理1.1。
如果<我nline-formula>
T
是一个凸算子那么每一个非负整数的力量吗<我nline-formula>
T
。
证明。
我们认为通过使用数学归纳法。凸性的<我nline-formula>
T
意味着结果适用于<我nline-formula>
k
=
1
。假设<我nline-formula>
T
*
n
Δ
T
n
T
n
≥
Δ
T
n
,然后
T
*
n
+
1
Δ
T
n
+
1
T
n
+
1
- - - - - -
Δ
T
n
+
1
=
T
*
n
+
1
(
T
*
Δ
T
n
T
+
Δ
T
)
T
n
+
1
- - - - - -
Δ
T
n
+
1
=
T
*
2
(
T
*
n
Δ
T
n
T
n
)
T
2
+
T
*
n
+
1
Δ
T
T
n
+
1
- - - - - -
Δ
T
n
+
1
≥
T
*
2
Δ
T
n
T
2
+
T
*
n
Δ
T
T
n
- - - - - -
Δ
T
n
+
1
=
T
*
2
(
T
*
n
T
n
- - - - - -
我
)
T
2
+
T
*
n
Δ
T
T
n
- - - - - -
T
*
(
T
*
n
T
n
- - - - - -
我
)
T
- - - - - -
Δ
T
=
T
*
n
(
T
*
2
T
2
)
T
n
- - - - - -
T
*
2
T
2
+
T
*
n
Δ
T
T
n
- - - - - -
T
*
n
(
T
*
T
)
T
n
+
T
*
T
- - - - - -
Δ
T
=
T
*
n
(
T
*
2
T
2
- - - - - -
我
)
T
n
- - - - - -
T
*
2
T
2
+
我
≥
2
T
*
n
Δ
T
T
n
- - - - - -
T
*
2
T
2
+
我
≥
2
T
*
Δ
T
T
- - - - - -
T
*
2
T
2
+
我
=
T
*
Δ
T
T
- - - - - -
Δ
T
≥
0
。
所以结果适用于<我nline-formula>
k
=
n
+
1
。
命题1.2。
如果<我nline-formula>
T
是一个凸算子,然后对每一个非负整数吗<我nline-formula>
n
,
T
*
n
T
n
≥
n
Δ
T
+
我
。
证明。
我们给断言通过使用数学归纳法<我nline-formula>
n
。结果显然是如此<我nline-formula>
n
=
1
。假设<我nline-formula>
T
*
n
T
n
≥
n
Δ
T
+
我
。因此,
T
*
n
+
1
T
n
+
1
=
T
*
(
T
*
n
T
n
)
T
≥
T
*
(
n
Δ
T
+
我
)
T
=
n
T
*
Δ
T
T
+
T
*
T
=
n
(
T
*
2
T
2
- - - - - -
2
T
*
T
+
我
)
+
n
T
*
T
+
T
*
T
- - - - - -
n
我
≥
(
n
+
1
)
T
*
T
- - - - - -
n
我
=
(
n
+
1
)
Δ
T
+
我
。
所以结果适用于<我nline-formula>
k
=
n
+
1
。
命题1.3。
让<我nline-formula>
T
∈
ℬ
(
ℋ
)
是一个凸,让运营商<我nline-formula>
h
∈
ℋ
是这样的,<我nline-formula>
吃晚饭
k
≥
0
∥
T
k
h
∥
<
∞
。如果<我nline-formula>
Δ
T
≥
0
,然后<我nline-formula>
∥
T
h
∥
=
∥
h
∥
。
证明。
通过应用命题
1.2,我们观察到每一个非负整数<我nline-formula>
n
,
n
〈
Δ
T
h
,
h
〉
+
∥
h
∥
2
≤
∥
T
n
h
∥
2
≤
吃晚饭
k
≥
0
∥
T
k
h
∥
2
<
∞
。
让<我nline-formula>
n
→
∞
的积极性<我nline-formula>
Δ
T
意味着<我nline-formula>
Δ
T
h
=
0
;因此,<我nline-formula>
∥
T
h
∥
=
∥
h
∥
。
命题1.4。
让<我nline-formula>
{
e
n
}
n
=
0
∞
是一组标准正交基<我nline-formula>
ℋ
,让<我nline-formula>
T
∈
ℬ
(
ℋ
)
是一个凸算子满足<我nline-formula>
Δ
T
≥
0
。
假设有一个非负整数<我nline-formula>
我
和一个标量<我nline-formula>
α
我
与<我nline-formula>
0
<
|
α
我
|
≤
1
这<我nline-formula>
T
e
我
=
α
我
e
我
,然后<我nline-formula>
ℳ
=
∨
n
≠
我
{
e
n
}
是一个不变子空间<我nline-formula>
T
。
证明。
使用命题
1.2,我们看到,
∥
e
我
∥
2
≥
∥
α
我
n
e
我
∥
2
=
∥
T
n
e
我
∥
2
=
〈
T
*
n
T
n
e
我
,
e
我
〉
≥
n
〈
Δ
T
e
我
,
e
我
〉
+
∥
e
我
∥
2
对于每一个<我nline-formula>
n
≥
0
。让<我nline-formula>
n
→
∞
。自<我nline-formula>
Δ
T
是一个积极的运营商,我们得出这样的结论:<我nline-formula>
Δ
T
e
我
=
0
。因此,<我nline-formula>
T
*
e
我
=
(
1
/
α
我
)
T
*
T
e
我
=
(
1
/
α
我
)
e
我
。
现在,如果<我nline-formula>
f
∈
ℳ
然后<我nline-formula>
〈
T
f
,
e
我
〉
=
0
;因此,<我nline-formula>
T
f
∈
ℳ
。
2。复合算子
在本节中,我们的目的是讨论凸复合算子加权哈代空间。回想一下,一个操作员<我nline-formula>
T
在<我nline-formula>
B
(
ℋ
)
是一个等距,如果<我nline-formula>
Δ
T
=
0
。首先,我们给nonisometric合成算子的一个例子<我nline-formula>
T
等加权哈代空间<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
≥
0
。简单的符号,<我nline-formula>
Δ
C
φ
用<我nline-formula>
Δ
φ
。
例2.1。
考虑加权哈代空间<我nline-formula>
H
2
(
β
)
与重量序列<我nline-formula>
(
β
(
n
)
)
n
给出的<我nline-formula>
β
(
n
)
=
n
+
1
。
定义<我nline-formula>
φ
:
D
→
D
通过<我nline-formula>
φ
(
z
)
=
z
2
。它很容易看到<我nline-formula>
C
φ
(
H
2
(
β
)
)
⊆
H
2
(
β
)
,应用程序关闭图定理表明,<我nline-formula>
C
φ
是有界的。现在,一个简单的计算显示
〈
(
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
- - - - - -
Δ
φ
)
(
z
k
)
,
z
k
〉
=
∥
C
φ
2
z
k
∥
2
- - - - - -
2
∥
C
φ
z
k
∥
2
+
∥
z
k
∥
2
>
0
对所有<我nline-formula>
k
≥
0
;除了
〈
Δ
φ
z
k
,
z
k
〉
=
∥
C
φ
z
k
∥
2
- - - - - -
∥
z
k
∥
2
这是阳性<我nline-formula>
k
≥
1
无论何时,零<我nline-formula>
k
=
0
。由此可见,<我nline-formula>
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
≥
Δ
φ
≥
0
,但<我nline-formula>
C
φ
不是一个等距。
命题2.2。
假设<我nline-formula>
T
:
H
2
(
β
)
→
H
2
(
β
)
是一个凸算子满足吗<我nline-formula>
T
1
=
1
和<我nline-formula>
Δ
T
≥
0
,然后
米
=
{
f
∈
H
2
(
β
)
:
f
(
0
)
=
0
}
是一个重要的不变子空间的<我nline-formula>
T
。
证明。
很明显<我nline-formula>
米
是一个重要的闭子空间的<我nline-formula>
T
。表明<我nline-formula>
米
是不变的<我nline-formula>
T
,应用命题
1.4希耳伯特空间<我nline-formula>
ℋ
=
H
2
(
β
)
,
的标准正交基<我nline-formula>
{
e
n
}
n
给出的<我nline-formula>
e
n
=
z
n
/
β
(
n
)
,
我
=
0
和<我nline-formula>
α
0
=
1
。
例2.3。
伯格曼考虑空间<我nline-formula>
一个
2
(
D
)
所有分析功能组成<我nline-formula>
f
在公开单位圆盘<我nline-formula>
D
,
∥
f
∥
2
=
∫
D
|
f
(
z
)
|
2
d
一个
(
z
)
<
∞
,
在哪里<我nline-formula>
d
一个
(
z
)
是标准化的勒贝格区测量<我nline-formula>
D
。如果<我nline-formula>
f
∈
一个
2
(
D
)
是由<我nline-formula>
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
一个
n
z
n
,然后
∥
f
∥
2
=
∑
n
=
0
∞
|
一个
n
|
2
n
+
1
。
同时,<我nline-formula>
{
z
k
}
k
形成了一个正交的基础<我nline-formula>
一个
2
(
D
)
。解决非负整数<我nline-formula>
k
和<我nline-formula>
n
,观察
∥
C
φ
n
z
k
∥
2
=
∥
φ
k
n
∥
2
=
∫
D
|
φ
k
n
(
z
)
|
2
d
一个
(
z
)
≤
∫
D
d
一个
(
z
)
=
1
。
因此,命题
1.3意味着<我nline-formula>
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
≥
Δ
φ
≥
0
当且仅当<我nline-formula>
C
φ
是一个等距。在这种情况下,<我nline-formula>
T
=
C
φ
和<我nline-formula>
f
(
z
)
=
z
在命题
2.2,我们得出这样的结论:<我nline-formula>
φ
(
0
)
=
0
;因此,施瓦兹引理暗示<我nline-formula>
|
φ
(
z
)
|
≤
|
z
|
对所有<我nline-formula>
z
∈
D
。另一方面,如果<我nline-formula>
f
(
z
)
=
z
然后
∫
D
|
φ
(
z
)
|
2
d
一个
(
z
)
=
∥
C
φ
f
∥
2
=
∥
f
∥
2
=
∫
D
|
z
|
2
d
一个
(
z
)
,
所以<我nline-formula>
|
φ
(
z
)
|
=
|
z
|
几乎所有的领域。因此,<我nline-formula>
φ
(
z
)
=
e
我
θ
z
对于一些<我nline-formula>
θ
∈
(
0,2
π
)
。
例2.4。
考虑到哈代空间<我nline-formula>
H
2
(
D
)
。如果<我nline-formula>
φ
是一种分析self-map单位圆盘,然后呢<我nline-formula>
φ
导致一个有界组合算子和<我nline-formula>
∥
C
φ
n
z
k
∥
≤
1
对于所有的非负整数<我nline-formula>
n
和<我nline-formula>
k
。因此,通过命题
1.3,<我nline-formula>
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
≥
Δ
φ
≥
0
当且仅当<我nline-formula>
C
φ
是一个等距。
回想一下,狄利克雷空间<我nline-formula>
是所有功能的集合分析<我nline-formula>
D
伯格曼的衍生品躺在空间<我nline-formula>
一个
2
(
D
)
。狄利克雷规范定义的
∥
f
∥
2
=
|
f
(
0
)
|
2
+
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
d
一个
(
z
)
。
如果<我nline-formula>
φ
是单价的self-map的<我nline-formula>
D
,然后<我nline-formula>
C
φ
是有界的<我nline-formula>
(
2,18页]。此外,面积公式(
136页),显示
∥
C
φ
f
∥
2
=
|
(
f
o
φ
)
(
0
)
|
2
+
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
n
φ
(
z
)
d
一个
(
z
)
,
在哪里<我nline-formula>
n
φ
(
z
)
像往常一样,计数函数定义为集合的基数吗<我nline-formula>
{
w
∈
D
:
φ
(
w
)
=
z
}
。
在接下来的定理,我们描述所有凸组合运营商<我nline-formula>
C
φ
在<我nline-formula>
令人满意的<我nline-formula>
Δ
φ
≥
0
。注意,我们不能使用命题
1.3狄利克雷空间,由于一般的积极力量<我nline-formula>
C
φ
不一致有界的<我nline-formula>
z
我
的年代。
定理2.5。
如果<我nline-formula>
C
φ
是狄利克雷凸空间<我nline-formula>
,然后<我nline-formula>
Δ
φ
≥
0
当且仅当<我nline-formula>
C
φ
是一个等距。
证明。
一个含义是清楚的。假设<我nline-formula>
Δ
φ
是一个积极的运营商,并采取<我nline-formula>
T
=
C
φ
在命题
2.2。自从恒等函数在子空间<我nline-formula>
米
=
{
f
∈
:
f
(
0
)
=
0
}
,
我们得出这样的结论:<我nline-formula>
φ
(
0
)
=
0
。因此,根据(
2.9),显示<我nline-formula>
C
φ
是一个等距足以证明吗
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
(
1
- - - - - -
n
φ
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
=
0
,
∀
f
∈
。
让<我nline-formula>
f
任何在狄利克雷函数空间<我nline-formula>
。然后
0
≤
〈
(
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
- - - - - -
Δ
φ
)
(
f
)
,
f
〉
=
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
(
n
φ
2
- - - - - -
2
n
φ
+
1
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
。
此外,
0
≤
〈
Δ
φ
f
,
f
〉
=
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
(
n
φ
- - - - - -
1
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
。
通过总结这两个关系
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
(
n
φ
2
- - - - - -
n
φ
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
≥
0
。
但<我nline-formula>
n
φ
2
(
z
)
≤
n
φ
(
z
)
,所以
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
(
n
φ
2
- - - - - -
n
φ
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
=
0
,
∀
f
∈
。
反过来,这意味着<我nline-formula>
n
φ
2
(
z
)
=
n
φ
(
z
)
几乎无处不在。用这个(
2.11),然后考虑(
2.12)将完成的断言。
观察,如果<我nline-formula>
φ
(
0
)
=
0
,<我nline-formula>
n
φ
2
- - - - - -
2
n
φ
+
1
≥
0
几乎无处不在,<我nline-formula>
C
φ
是有界的<我nline-formula>
然后它是凸。的确,
〈
(
C
φ
*
Δ
φ
C
φ
- - - - - -
Δ
φ
)
f
,
f
〉
=
∫
D
|
f
′
(
z
)
|
2
(
n
φ
2
- - - - - -
2
n
φ
+
1
)
(
z
)
d
一个
(
z
)
≥
0
。
在接下来的定理,我们转向合成算子的伴随,给充分必要条件一个凸算子<我nline-formula>
C
φ
*
是一个等距。
定理2.6。
让<我nline-formula>
φ
是一个分析self-map<我nline-formula>
D
与<我nline-formula>
φ
(
0
)
=
0
。如果<我nline-formula>
C
φ
*
是一个凸算子<我nline-formula>
H
2
(
β
)
,那么它是一个等距当且仅当<我nline-formula>
Δ
C
φ
*
≥
0
。
证明。
假设<我nline-formula>
Δ
C
φ
*
≥
0
,假设<我nline-formula>
φ
不是身份或一个椭圆形的自同构。由Denjoy-Wolff定理<我nline-formula>
φ
n
一致收敛到零在紧凑的子集<我nline-formula>
D
(
1),所以对于每一个<我nline-formula>
z
∈
D
,
lim
n
→
∞
∥
K
φ
n
(
z
)
∥
=
∥
K
0
∥
。
命题
1.2加上这一事实<我nline-formula>
C
φ
*
n
K
z
=
K
φ
n
(
z
)
意味着所有<我nline-formula>
z
∈
D
和所有的非负整数<我nline-formula>
n
,
∥
K
φ
n
(
z
)
∥
2
≥
n
(
∥
K
φ
(
z
)
∥
2
- - - - - -
∥
K
z
∥
2
)
+
∥
K
z
∥
2
。
此外,积极的<我nline-formula>
Δ
T
显示,<我nline-formula>
∥
K
φ
(
z
)
∥
≥
∥
K
z
∥
。因此,根据(
2.16)和(
2.17我们得出这样的结论:<我nline-formula>
∥
K
z
∥
=
∥
K
φ
(
z
)
∥
对所有<我nline-formula>
z
∈
D
,所以<我nline-formula>
∥
K
z
∥
=
∥
K
φ
n
(
z
)
∥
对于每一个正整数<我nline-formula>
n
。因此,<我nline-formula>
∥
K
z
∥
=
∥
K
0
∥
对所有<我nline-formula>
z
∈
D
。由此可见,
1
=
∥
K
0
∥
2
=
∥
K
z
∥
2
=
k
(
|
z
|
2
)
=
1
+
∑
j
=
1
∞
(
|
z
|
2
)
j
β
(
j
)
2
,
为
z
∈
D
。
这一矛盾表明,<我nline-formula>
φ
是单位或一个椭圆形的自同构。因此,有一个<我nline-formula>
θ
∈
(
0,2
π
)
这<我nline-formula>
φ
(
z
)
=
e
我
θ
z
对所有<我nline-formula>
z
∈
D
。现在,如果<我nline-formula>
ω
∈
D
然后
C
φ
*
K
ω
(
z
)
=
K
φ
(
ω
)
(
z
)
=
k
(
φ
(
ω
)
¯
z
)
=
K
ω
(
e
- - - - - -
我
θ
z
)
=
K
ω
(
φ
- - - - - -
1
(
z
)
)
=
C
φ
- - - - - -
1
K
ω
(
z
)
。
由此可见,<我nline-formula>
C
φ
*
=
C
φ
- - - - - -
1
。但它很容易看到<我nline-formula>
∥
C
φ
- - - - - -
1
f
∥
=
∥
f
∥
对于每一个<我nline-formula>
f
∈
H
2
(
β
)
。因此,<我nline-formula>
C
φ
*
是一个等距。反过来是显而易见的。
3所示。乘法运算符
本节涉及加权哈代空间凸乘法操作符。回想一下,乘数<我nline-formula>
H
2
(
β
)
是一个解析函数<我nline-formula>
φ
在<我nline-formula>
D
这样<我nline-formula>
φ
H
2
(
β
)
⊆
H
2
(
β
)
。所有因子的集合<我nline-formula>
H
2
(
β
)
用<我nline-formula>
米
(
H
2
(
β
)
)
。众所周知,<我nline-formula>
米
(
H
2
(
β
)
)
⊆
H
∞
。事实上,如果<我nline-formula>
φ
∈
米
(
H
2
(
β
)
)
和<我nline-formula>
f
是常数函数<我nline-formula>
1
然后对每一个正整数<我nline-formula>
n
每<我nline-formula>
z
∈
D
我们有
|
φ
(
z
)
|
=
|
〈
米
φ
n
f
,
K
z
〉
|
1
/
n
≤
∥
米
φ
n
f
∥
1
/
n
∥
K
z
∥
1
/
n
≤
∥
米
φ
∥
∥
K
z
∥
1
/
n
。
现在,让<我nline-formula>
n
→
∞
,我们得出这样的结论:<我nline-formula>
φ
是有界的。加上这一事实<我nline-formula>
φ
∈
H
2
(
β
)
意味着<我nline-formula>
φ
∈
H
∞
。
如果<我nline-formula>
φ
是一个乘法器,那么乘法操作符<我nline-formula>
米
φ
,定义为<我nline-formula>
米
φ
f
=
φ
f
,是有界的<我nline-formula>
H
2
(
β
)
。也请注意,对于每个<我nline-formula>
λ
∈
D
,<我nline-formula>
米
φ
*
K
λ
=
φ
(
λ
)
¯
K
λ
。
接下来,运营商<我nline-formula>
米
φ
被认为是凸的。首先,我们现在的一个例子nonisometric凸乘法运算符<我nline-formula>
T
与<我nline-formula>
Δ
T
≥
0
。
例3.1。
考虑加权哈代空间<我nline-formula>
H
2
(
β
)
与重量序列<我nline-formula>
(
β
(
n
)
)
n
给出的<我nline-formula>
β
(
n
)
=
n
+
1
。
定义的映射<我nline-formula>
φ
在<我nline-formula>
D
通过<我nline-formula>
φ
(
z
)
=
z
2
。很明显,<我nline-formula>
米
φ
是有界的。此外,它很容易看到,每一个非负整数<我nline-formula>
k
,
∥
米
φ
2
z
k
∥
2
- - - - - -
2
∥
米
φ
z
k
∥
2
+
∥
z
k
∥
2
>
0
,
∥
米
φ
z
k
∥
>
∥
z
k
∥
。
因此,<我nline-formula>
米
φ
凸,但不是一个等距。除此之外,<我nline-formula>
Δ
米
φ
是一个积极的算子。
定理3.2。
让<我nline-formula>
H
∞
包括所有的乘数<我nline-formula>
H
2
(
β
)
,让<我nline-formula>
φ
∈
H
∞
是这样的,<我nline-formula>
∥
φ
∥
∞
≤
1
。如果<我nline-formula>
T
=
米
φ
或<我nline-formula>
T
=
米
φ
*
然后<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
≥
0
当且仅当<我nline-formula>
T
是一个等距。
证明。
假设<我nline-formula>
T
是<我nline-formula>
米
φ
或<我nline-formula>
米
φ
*
和<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
≥
0
。定义了线性映射<我nline-formula>
年代
:
H
∞
→
ℬ
(
H
2
(
β
)
)
通过<我nline-formula>
年代
(
ψ
)
=
米
ψ
。的一个应用定理意味着封闭图<我nline-formula>
年代
是有界的。因此,有<我nline-formula>
c
>
0
这样对所有<我nline-formula>
ψ
∈
H
∞
,
∥
米
ψ
∥
≤
c
∥
ψ
∥
∞
。
由此可见,对于每一个<我nline-formula>
f
∈
H
2
(
β
)
和每一个非负整数<我nline-formula>
n
,
∥
米
φ
n
f
∥
≤
c
∥
φ
n
∥
∞
∥
f
∥
≤
c
∥
f
∥
。
因此,<我nline-formula>
吃晚饭
n
≥
0
∥
米
φ
n
f
∥
<
∞
对于每一个<我nline-formula>
f
∈
H
2
(
β
)
。
自<我nline-formula>
∥
米
ψ
*
∥
=
∥
米
ψ
∥
对所有<我nline-formula>
ψ
∈
H
∞
通过类似的方法可以证明<我nline-formula>
吃晚饭
n
≥
0
∥
米
φ
*
n
f
∥
<
∞
对所有<我nline-formula>
f
∈
H
2
(
β
)
。因此,遵循从命题的结果
1.3。
例3.3。
让<我nline-formula>
ℋ
伯格曼是空间或哈代空间,让<我nline-formula>
T
是<我nline-formula>
米
φ
或其伴随在<我nline-formula>
ℋ
。众所周知,<我nline-formula>
米
(
ℋ
)
=
H
∞
。
因此,如果<我nline-formula>
φ
是一个乘法器,<我nline-formula>
∥
φ
∥
∞
≤
1
,然后通过应用前面的定理,我们观察到<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
≥
0
当且仅当<我nline-formula>
T
是一个等距。
我们这里的话,如果<我nline-formula>
φ
(
z
)
=
z
和<我nline-formula>
T
=
米
φ
狄利克雷空间<我nline-formula>
,那么它很容易看到<我nline-formula>
T
*
Δ
T
T
≥
Δ
T
≥
0
但<我nline-formula>
T
不是一个等距。
确认
作者要感谢博士Faghih艾哈迈迪为她的援助和裁判的有益的意见和建议。本研究在一定程度上支持了批准号(88 - gr - sc - 27)设拉子大学研究委员会。