广义向量平衡问题结果存在多值映射通过行星理论

文摘

我们首先定义上签署对集值映射的连续性,然后我们考虑两种类型的广义向量平衡问题拓扑向量空间,并提供足够的条件解集非空的和紧凑。最后,我们给一个应用程序的主要结果。分市场和改善结果方和黄(2005)。

1。介绍和预赛

在这篇文章中,除非另有规定,我们总是让和是真正的豪斯多夫拓扑向量空间,一个非空的凸集,闭着尖锥凸值(我们回想一下,一个子集的凸锥,并指出当吗,因为和职责),表示所有的子集表示由所有连续线性映射的集合成对于任何给定的让的值表示在让和是两个映射。最后,让是一个集值映射。我们需要下面的定义和结果的续集。定义1.1。让是一个集值映射。一个说,是
(我)强烈-pseudomonotone如果,对于任何给定的和, (2) -pseudomonotone如果,对于任何给定的和, 1.2的话。(1)强烈-pseudomonotonicity意味着-pseudomonotonicity。
(2)让是一个集值映射,让是一个映射。如果我们定义为每一个那么强烈-pseudomonotonicity和-pseudomonotonicity减少强烈-pseudomonotonicity和-pseudomonotonicity,关于分别介绍了(1]。

定义1.3。让和是两个拓扑空间。一个集值映射被称为
(我)上半(加大)如果对于每一个开集包含,有一个开集包含这样,每据说事项如果事项;(2)低半连续(l.s.c)如果对于每一个开集与,有一个开集包含这样,每据说l.s.c.如果是l.s.c.;(3)关闭如果图也就是说,一组,是一个闭集(iv)紧凑的如果关闭的范围,也就是说,紧凑,1.4的话。一个可以看到,(ii)相当于以下声明:
l.s.c.在如果对于每一个闭集任何净收敛于和,尽管暗示

引理1.5(见[2])。让和是两个拓扑空间。假设是一个集值映射。然后下面的陈述是真实的。
(一)如果关闭和紧凑的呢是南加大。(b)让,对于任何是紧凑的。如果上事项然后对任何净这样每存在和一个子网的这样

在引理的交谈(b)1.5,我们参考读者3]。

定义1.6。让是一个拓扑向量空间一个拓扑空间。一个集值映射叫上hemicontinuous如果限制吗在直线上断断续续的。定义1.7。一个说的映射是上连续信号,如果下面的含义是适用的: 1.8的话。让是一个映射。如果我们定义对所有和然后定义1.7减少上连续推出的迹象比安奇和扎在4]。上层信号连续性概念被首次引入Hadjisavvas [5为单值映射框架的变分不等式问题。

2。主要结果

在本节中,我们考虑下面的广义向量平衡问题(简称GVEPs)拓扑向量空间设置:

(GVEP₁)找到这样和(GVEP₂)找到这样

显然,按解决方案也是一个按解决问题。我们需要以下引理的续集。引理2.1。假设
(我) 是-pseudomonotone;(2) 为每一个(3) 是上连续的迹象;(iv)对于每一个固定映射是凸的,也就是说,那么,对于任何给定的以下是等价的:
(我) (2)
证明。 很明显的定义-pseudomonotonicity的假设成立。为每一个把,在那里和如上所述。(2),我们有 我们声称假设对于一些然后 所以矛盾(ii)(注意第一个包含遵循从(iv),第二个包含遵循从(2.1)和(2.2),第三是关系因此,对于所有一组非空的。因此,(3)有一个因此,自我们得到了因此,这就完成了证明。2.2的话。如果集值映射已经关闭图和为每个固定吗映射与非空的上层hemicontinuous紧凑的值,然后在引理条件(3)吗2.1成立。看到这,让和是任意的元素和在哪里由引理1.5(b),存在一个子网(没有普遍性的损失),这样在哪里现在,因为已经关闭图(注意吗和作为),我们有因此,所以这表明是上连续的迹象。因此,引理2.1改善引理2.3 (1]。

通过类似的参数如引理2.1和使用的话2.2,我们可以推断出下面的结果。引理2.3。假设
(我)对于每一个固定映射与紧凑上半值;(2) 强烈-pseudomonotone;(3) 为每一个(iv)映射为每一个已经关闭图;(v)对于每一个固定映射是凸的。那么,对于任何给定的以下是等价的:
(我) (2) 2.4的话。让是一个集值映射。如果我们定义在哪里然后引理2.3减少引理3的阴和徐6]。引理2.5。假设以下引理2.1的解集(按)是凸的。证明。让和(按解决方案)。由引理2.1,我们有 从这个引理和条件(iv)2.1,尽管我们推断出 对所有因此,从引理2.1,我们得到 这意味着的解决方案(按)。证明已经完成。

同样,我们可以证明下面的引理。引理2.6。假设以下引理2.3的解集(GVEP₁)是凸的。2.7的话。引理2.5扩展定理3阴和徐(6和引理2.5的方和黄1]。定义2.8。让是一个非空的子集。一个集值映射据说是一个行星的地图如果对于每一个有限的子集的,在那里表示凸包。引理2.9 ((Fan-KKM引理)[7])。让是一个非空的拓扑向量空间的子集和是一个行星闭值的映射。假设存在一个非空的紧凑的凸子集的这样紧凑。然后 引理2.10(见[8])。让是一个可度量拓扑向量空间的一个凸子集和是一个紧凑的上半连续集值映射与非空的封闭凸值。然后有一个固定的点定理2.11。让所有的假设引理2.1,为每一个固定的映射断断续续的低,在哪里如果存在一个非空的紧凑的子集的和一个非空的凸紧凑的子集的这样,对于每个存在这样然后问题的解集(GVEP₂非空的和紧凑证明。定义通过 我们声称是一个行星的映射。如果没有,存在和这样也就是说, 所以,自是一个封闭的凸尖锥, 它遵循的条件(iv)引理2.1那 现在,通过结合(2.9)和(2.10),我们得到 这是一个矛盾的条件(2)引理吗2.1。因此,是一个KKM映射,所以呢也是一个KKM映射(注意,对所有的评论1.4的值,是封闭的(注意,对于每一个固定的映射断断续续的低)和我们的假设,我们得到了吗是一个封闭的紧集的子集因此紧凑的因此,满足所有的假设引理2.9所以这意味着存在这样 现在,它遵循从引理2.1那 因此是问题的一个解决方案(按)。这证明(按的解集非空的。由引理2.1的解集(按)=所以这是一个紧集(注意,在上面的设置是一个封闭的紧集的子集)。证明已经完成。

作为一个定理的应用2.11,我们得到的结果存在以下问题的解决方案,包括找到一个这样 在哪里和

这个问题被认为是由方和黄(1在自反巴拿赫空间设置的集值映射黛米--pseudomonotone。定理2.12。让metriziable拓扑向量空间,非空的凸子集的,,是两个映射。假设
(我)对于每一个固定映射是-pseudomonotone和上连续的迹象;(2) 为每一个(3)对于每一个固定映射断断续续的低;(iv)对于每一个有限维子空间的与存在紧凑的子集和紧凑的凸子集的这样,这样然后存在这样 证明。让一个有限维子空间。对于每一个固定,考虑的问题找到一个这样 由定理2.11问题(2.16)有一个非空的紧凑的解决方案(注意,在定理2.11取)。为,我们定义了一个集值映射通过 然后是一个非空的封闭的子集事实上,的解集(2.16)对应。由引理2.1,我们有 由条件一个凸集。(3)通过话吗1.4,是关闭的。(iv),我们有。因此,引理1.5(一)暗示是断断续续的。因此,满足所有的假设引理2.1所以有一个固定的点,也就是说, 集是一个有限维子空间和 由(2.19)和条件(3)和(4),是一个非空的,闭紧集的子集因此紧凑的。让是一个有限的子集。定义的,我们有所以有有限交性质,所以,有吗(注意,如果然后在哪里是一个任意的元素因此,家庭是一个开放的紧凑集覆盖吗所以存在这样这意味着这是一个矛盾)。
我们声称
事实上,每个有这样。因此,通过(注意,)和的定义,我们有 所以自是任意的元素然后(2.21)是真的,这就完成了索赔的证据。从(2.21)和引理2.1,我们有 所以这个定理的证明是完整的。

确认

作者希望感谢匿名裁判有用的评论,提高论文的演示。(第一作者是一个拨款IPM(不支持的一部分。97490015))。

引用

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