AAAgydF4y2Ba 抽象和应用分析gydF4y2Ba 1687 - 0409gydF4y2Ba 1085 - 3375gydF4y2Ba Hindawi出版公司gydF4y2Ba 968478年gydF4y2Ba 10.1155 / 2008/968478gydF4y2Ba 968478年gydF4y2Ba 研究文章gydF4y2Ba 广义向量平衡问题结果存在多值映射通过行星理论gydF4y2Ba FarajzadehgydF4y2Ba 答:P。gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba Amini-HarandigydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 奥雷根gydF4y2Ba D。gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba EloegydF4y2Ba 保罗gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 数学系gydF4y2Ba 学校的科学gydF4y2Ba Razi大学gydF4y2Ba 邮政信箱67149 - 67346gydF4y2Ba 科曼莎gydF4y2Ba 伊朗gydF4y2Ba razi.ac.irgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 数学和物理研究中心gydF4y2Ba 数学学院的gydF4y2Ba 研究基本科学研究所(IPM)gydF4y2Ba 邮政信箱19395 - 5746gydF4y2Ba 德黑兰gydF4y2Ba 伊朗gydF4y2Ba ipm.ac.irgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 数学系gydF4y2Ba 基础科学学院gydF4y2Ba Shahrekord大学gydF4y2Ba 邮政信箱88186 - 34141gydF4y2Ba ShahrekordgydF4y2Ba 伊朗gydF4y2Ba sku.ac.irgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 数学系gydF4y2Ba 艺术学院gydF4y2Ba 社会科学与凯尔特研究gydF4y2Ba 爱尔兰国立大学gydF4y2Ba 高威gydF4y2Ba 爱尔兰gydF4y2Ba nuigalway.iegydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 06gydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 版权©2008gydF4y2Ba 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2Ba

我们首先定义上签署对集值映射的连续性,然后我们考虑两种类型的广义向量平衡问题拓扑向量空间,并提供足够的条件解集非空的和紧凑。最后,我们给一个应用程序的主要结果。分市场和改善结果方和黄(2005)。gydF4y2Ba

 1。介绍和预赛gydF4y2Ba

在这篇文章中,除非另有规定,我们总是让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是真正的豪斯多夫拓扑向量空间,gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 一个非空的凸集,gydF4y2Ba CgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 闭着尖锥凸值(我们回想一下,一个子集gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 凸锥,并指出当吗gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ,因为gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 0,gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 职责),gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 表示所有的子集gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 表示由gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 所有连续线性映射的集合gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 成gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 对于任何给定的gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba 的值表示gydF4y2Ba lgydF4y2Ba 在gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba TgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ggydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是两个映射。最后,让gydF4y2Ba FgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是一个集值映射。我们需要下面的定义和结果的续集。gydF4y2Ba 定义1.1。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba FgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是一个集值映射。一个说,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba

强烈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotone如果,对于任何给定的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba intgydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⇒gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

CgydF4y2Ba -pseudomonotone如果,对于任何给定的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ⇒gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

1.2的话。gydF4y2Ba

(1)强烈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity意味着gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity。gydF4y2Ba

(2)让gydF4y2Ba TgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个集值映射,让gydF4y2Ba ggydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是一个映射。如果我们定义gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba TgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 为每一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 那么强烈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity和gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity减少强烈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity和gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 关于gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 分别介绍了(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定义1.3。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是两个拓扑空间。一个集值映射gydF4y2Ba GgydF4y2Ba :gydF4y2Ba XgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 被称为gydF4y2Ba

上半gydF4y2Ba(加大)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 如果对于每一个开集gydF4y2Ba VgydF4y2Ba 包含gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,有一个开集gydF4y2Ba UgydF4y2Ba 包含gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 这样,每gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba UgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba VgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 据说事项gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 如果事项gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

低半连续gydF4y2Ba(l.s.c)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 如果对于每一个开集gydF4y2Ba VgydF4y2Ba 与gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba VgydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,有一个开集gydF4y2Ba UgydF4y2Ba 包含gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 这样,每gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba UgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba VgydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 据说l.s.c.gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 如果是l.s.c.gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

关闭gydF4y2Ba如果图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 也就是说,一组gydF4y2Ba {gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba :gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,是一个闭集gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

紧凑的gydF4y2Ba如果关闭的范围gydF4y2Ba GgydF4y2Ba ,也就是说,gydF4y2Ba clgydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 紧凑,gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ⋃gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

1.4的话。gydF4y2Ba

一个可以看到,(ii)相当于以下声明:gydF4y2Ba

GgydF4y2Ba l.s.c.在gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 如果对于每一个闭集gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 任何净gydF4y2Ba {gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba }gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 收敛于gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ,尽管gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 暗示gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

引理1.5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B10 " > < / xref > 2])。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是两个拓扑空间。假设gydF4y2Ba GgydF4y2Ba :gydF4y2Ba XgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是一个集值映射。然后下面的陈述是真实的。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 关闭和紧凑的呢gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 是南加大。gydF4y2Ba

让,对于任何gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是紧凑的。如果gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 上事项gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 然后对任何净gydF4y2Ba {gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba }gydF4y2Ba ⊂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba →gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 每gydF4y2Ba ygydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 存在gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 和一个子网gydF4y2Ba {gydF4y2Ba ygydF4y2Ba βgydF4y2Ba }gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba {gydF4y2Ba ygydF4y2Ba αgydF4y2Ba }gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ygydF4y2Ba βgydF4y2Ba →gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

在引理的交谈(b)gydF4y2Ba 1.5gydF4y2Ba,我们参考读者gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定义1.6。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 是一个拓扑向量空间gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 一个拓扑空间。一个集值映射gydF4y2Ba GgydF4y2Ba :gydF4y2Ba XgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 叫上hemicontinuous如果限制吗gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 在直线上断断续续的。gydF4y2Ba

定义1.7。gydF4y2Ba

一个说的映射gydF4y2Ba GgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 上连续信号,如果gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 下面的含义是适用的:gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ⇒gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

1.8的话。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba fgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba ℝgydF4y2Ba 是一个映射。如果我们定义gydF4y2Ba GgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∞gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 然后定义gydF4y2Ba 1.7gydF4y2Ba减少上连续推出的迹象比安奇和扎在gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba]。上层信号连续性概念被首次引入Hadjisavvas [gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba为单值映射框架的变分不等式问题。gydF4y2Ba

2。主要结果gydF4y2Ba

在本节中,我们考虑下面的广义向量平衡问题(简称GVEPs)拓扑向量空间设置:gydF4y2Ba

找到gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba intgydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba

找到gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

显然,按解决方案gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 也是一个按解决问题gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。我们需要以下引理的续集。gydF4y2Ba 引理2.1。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotone;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 为每一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 上连续的迹象;gydF4y2Ba

对于每一个固定gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba zgydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是凸的,也就是说,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

那么,对于任何给定的gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 以下是等价的:gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba

(gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⇒gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 二世gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 很明显的定义gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotonicity的gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 假设gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 二世gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 成立。为每一个gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 把gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 如上所述。(2),我们有gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba我们声称gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 假设gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对于一些gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba 这gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba (gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 矛盾(ii)(注意第一个包含遵循从(iv),第二个包含遵循从(gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 2.2gydF4y2Ba),第三是关系gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,对于所有gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一组gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 非空的。因此,(3)有一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,自gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们得到了gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∉gydF4y2Ba (gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这就完成了证明。gydF4y2Ba

2.2的话。gydF4y2Ba

如果集值映射gydF4y2Ba CgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 已经关闭图和为每个固定吗gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba xgydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 与非空的上层hemicontinuous紧凑的值,然后在引理条件(3)吗gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba成立。看到这,让gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 是任意的元素gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 由引理gydF4y2Ba 1.5gydF4y2Ba(b),存在一个子网gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba (没有普遍性的损失gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ),gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba →gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba tgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba 现在,因为gydF4y2Ba CgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 已经关闭图(注意吗gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba →gydF4y2Ba ugydF4y2Ba 和gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba →gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 作为gydF4y2Ba tgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ),gydF4y2Ba ugydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们有gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这表明gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 上连续的迹象。因此,引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba改善引理2.3 (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

通过类似的参数如引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba和使用的话gydF4y2Ba 2.2gydF4y2Ba,我们可以推断出下面的结果。gydF4y2Ba 引理2.3。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba

对于每一个固定gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba xgydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 与紧凑上半值;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba 强烈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotone;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba intgydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 为每一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

映射gydF4y2Ba xgydF4y2Ba →gydF4y2Ba WgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba (gydF4y2Ba −gydF4y2Ba intgydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 为每一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 已经关闭图;gydF4y2Ba

对于每一个固定gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba zgydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是凸的。gydF4y2Ba

那么,对于任何给定的gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 以下是等价的:gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba intgydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

2.4的话。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba TgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个集值映射。如果我们定义gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba TgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 然后引理gydF4y2Ba 2.3gydF4y2Ba减少引理3的阴和徐gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

 引理2.5。gydF4y2Ba

假设以下引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba的解集(按gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )是凸的。gydF4y2Ba 证明。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (按解决方案gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )。由引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1、2。gydF4y2Ba 从这个引理和条件(iv)gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,尽管gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ]gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们推断出gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,从引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,我们得到gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba tgydF4y2Ba )gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba tgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 的解决方案(按gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )。证明已经完成。gydF4y2Ba

同样,我们可以证明下面的引理。gydF4y2Ba 引理2.6。gydF4y2Ba

假设以下引理gydF4y2Ba 2.3gydF4y2Ba的解集(GVEPgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)是凸的。gydF4y2Ba

2.7的话。gydF4y2Ba

引理gydF4y2Ba 2.5gydF4y2Ba扩展定理3阴和徐(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba和引理2.5的方和黄gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

 定义2.8。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 是一个非空的子集gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。一个集值映射gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 据说是一个gydF4y2Ba 行星的地图gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba 有限公司gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ⋃gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对于每一个有限的子集gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 有限公司gydF4y2Ba 表示凸包。gydF4y2Ba

 引理2.9 ((Fan-KKM引理)[< xref ref-type =“bibr”掉= " B6 " > < / xref > 7])。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是一个非空的拓扑向量空间的子集gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 是一个行星闭值的映射。假设存在一个非空的紧凑的凸子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba BgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 紧凑。然后gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

引理2.10(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B9 " > < / xref > 8])。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是一个可度量拓扑向量空间的一个凸子集gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba FgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是一个紧凑的上半连续集值映射与非空的封闭凸值。然后gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 有一个固定的点gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

定理2.11。gydF4y2Ba

让所有的假设引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,为每一个固定的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba ygydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 断断续续的低,在哪里gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 如果存在一个非空的紧凑的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 和一个非空的凸紧凑的子集gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样,对于每个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 存在gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 然后问题的解集(GVEPgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba非空的和紧凑gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 证明。gydF4y2Ba

定义gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba :gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba :gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 我们声称gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 是一个行星的映射。如果没有,存在gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba zgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∉gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 也就是说,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1、2、3,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所以,自gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个封闭的凸尖锥,gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 它遵循的条件(iv)引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba那gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 现在,通过结合(gydF4y2Ba 2.9gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 2.10gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba tgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 这是一个矛盾的条件(2)引理吗gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba。因此,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 是一个KKM映射,所以呢gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba 也是一个KKM映射(注意,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 的评论gydF4y2Ba 1.4gydF4y2Ba的值,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba 是封闭的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba (注意,对于每一个固定的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba ygydF4y2Ba →gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 断断续续的低)和我们的假设,我们得到了吗gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba DgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个封闭的紧集的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba DgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 紧凑的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba 满足所有的假设引理gydF4y2Ba 2.9gydF4y2Ba所以gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这意味着存在gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 现在,它遵循从引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba那gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba zgydF4y2Ba 是问题的一个解决方案(按gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )。这证明(按的解集gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 非空的。由引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba的解集(按gydF4y2Ba PgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )=gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 所以这是一个紧集gydF4y2Ba KgydF4y2Ba (注意,在上面的设置gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ^gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个封闭的紧集的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba )。证明已经完成。gydF4y2Ba

作为一个定理的应用gydF4y2Ba 2.11gydF4y2Ba,我们得到的结果存在以下问题的解决方案,包括找到一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ggydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这个问题被认为是由方和黄(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba在自反巴拿赫空间设置的集值映射黛米-gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotone。gydF4y2Ba 定理2.12。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba metriziable拓扑向量空间,gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 非空的凸子集的gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba lgydF4y2Ba (gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ggydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba →gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 是两个映射。假设gydF4y2Ba

对于每一个固定gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba →gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba CgydF4y2Ba -pseudomonotone和gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 上连续的迹象;gydF4y2Ba

〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 为每一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba

对于每一个固定gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 映射gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba →gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba 断断续续的低;gydF4y2Ba

对于每一个有限维子空间gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 与gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 存在紧凑的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 和紧凑的凸子集gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ×gydF4y2Ba (gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∃gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后存在gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 证明。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ⊂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 一个有限维子空间gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∩gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba 。对于每一个固定gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,考虑的问题找到一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 由定理gydF4y2Ba 2.11gydF4y2Ba问题(gydF4y2Ba 2.16gydF4y2Ba)有一个非空的紧凑的解决方案gydF4y2Ba KgydF4y2Ba (注意,在定理gydF4y2Ba 2.11gydF4y2Ba取gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ×gydF4y2Ba KgydF4y2Ba )。为gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,我们定义了一个集值映射gydF4y2Ba TgydF4y2Ba :gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba →gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba :gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 是一个非空的封闭的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 事实上,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 的解集(gydF4y2Ba 2.16gydF4y2Ba)对应gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 。由引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba :gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 由条件一个凸集。(3)通过话吗gydF4y2Ba 1.4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 是关闭的。(iv),我们有gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ⋃gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。因此,引理gydF4y2Ba 1.5gydF4y2Ba(一)暗示gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 是断断续续的。因此,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 满足所有的假设引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba所以gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 有一个固定的点gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,也就是说,gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 集gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ⊂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba :gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 是一个有限维子空间gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba :gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 由(gydF4y2Ba 2.19gydF4y2Ba)和条件(3)和(4),gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 是一个非空的,闭紧集的子集gydF4y2Ba BgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 紧凑的gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。让gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 是一个有限的子集gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba 。定义的gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ∪gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ⊂gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba {gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba :gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba }gydF4y2Ba 有有限交性质,所以,有吗gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba (注意,如果gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ⋃gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 是一个任意的元素gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 因此,家庭gydF4y2Ba {gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba }gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 是一个开放的紧凑集覆盖吗gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 所以存在gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba ⋃gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba KgydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba WgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∅gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 这是一个矛盾)。gydF4y2Ba

我们声称gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

事实上,每个gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 有gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。因此,通过gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba vgydF4y2Ba (注意,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ⋂gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba ℳgydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba )和的定义gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊆gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba vgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所以自gydF4y2Ba vgydF4y2Ba 是任意的元素gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 然后(gydF4y2Ba 2.21gydF4y2Ba)是真的,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这就完成了索赔的证据。从(gydF4y2Ba 2.21gydF4y2Ba)和引理gydF4y2Ba 2.1gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba 〈gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba vgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba 〉gydF4y2Ba ⊈gydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ugydF4y2Ba )gydF4y2Ba ∖gydF4y2Ba {gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba }gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba vgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba KgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所以这个定理的证明是完整的。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

作者希望感谢匿名裁判有用的评论,提高论文的演示。(第一作者是一个拨款IPM(不支持的一部分。97490015))。gydF4y2Ba

 方gydF4y2Ba Y.-P。gydF4y2Ba 黄gydF4y2Ba N.-J。gydF4y2Ba 广义隐式矢量变分不等式和结果存在多值映射gydF4y2Ba 印度的纯粹和应用数学杂志》上gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 629年gydF4y2Ba 640年gydF4y2Ba MR2224657gydF4y2Ba ZBL1115.49008gydF4y2Ba 棕褐色gydF4y2Ba n . T。gydF4y2Ba 在拓扑线性局部凸性不等式豪斯多夫空间gydF4y2Ba Mathematische后gydF4y2Ba 1985年gydF4y2Ba 122年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 231年gydF4y2Ba 245年gydF4y2Ba MR871206gydF4y2Ba 10.1002 / mana.19851220123gydF4y2Ba KamenskiigydF4y2Ba M。gydF4y2Ba ObukhovskiigydF4y2Ba V。gydF4y2Ba ZeccagydF4y2Ba P。gydF4y2Ba 冷凝多值映射和半线性微分包含在巴拿赫空间中gydF4y2Ba 2001年gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 柏林,德国gydF4y2Ba Walter de GruytergydF4y2Ba 十二+ 231gydF4y2Ba de Gruyter系列在非线性分析和应用程序gydF4y2Ba MR1831201gydF4y2Ba ZBL0988.34001gydF4y2Ba 比安奇gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 扎gydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 矫顽力条件均衡问题gydF4y2Ba 优化理论与应用》杂志上gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 124年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 79年gydF4y2Ba 92年gydF4y2Ba MR2129262gydF4y2Ba 10.1007 / s10957 - 004 - 6466 - 9gydF4y2Ba ZBL1064.49004gydF4y2Ba HadjisavvasgydF4y2Ba N。gydF4y2Ba 连续性和极大性pseudomonotone运营商的属性gydF4y2Ba 凸分析杂志》gydF4y2Ba 2003年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 465年gydF4y2Ba 475年gydF4y2Ba MR2044430gydF4y2Ba ZBL1063.47041gydF4y2Ba 阴gydF4y2Ba H。gydF4y2Ba 徐gydF4y2Ba C。gydF4y2Ba GiannessigydF4y2Ba F。gydF4y2Ba 矢量变分不等式和隐式互补问题gydF4y2Ba 矢量变分不等式和平衡gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba 荷兰多德雷赫特gydF4y2Ba Kluwer学术出版社gydF4y2Ba 491年gydF4y2Ba 505年gydF4y2Ba 非凸优化及其应用gydF4y2Ba MR1789138gydF4y2Ba ZBL0993.49014gydF4y2Ba 方ydF4y2Ba K。gydF4y2Ba 凸集的一些性质与不动点定理gydF4y2Ba Mathematische年鉴gydF4y2Ba 1984年gydF4y2Ba 266年gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 519年gydF4y2Ba 537年gydF4y2Ba MR735533gydF4y2Ba 10.1007 / BF01458545gydF4y2Ba ZBL0515.47029gydF4y2Ba 公园gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 最近的结果分析不动点理论gydF4y2Ba 非线性分析:理论、方法及应用gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 63年gydF4y2Ba 5 - 7gydF4y2Ba 977年gydF4y2Ba 986年gydF4y2Ba 10.1016 / j.na.2005.02.026gydF4y2Ba MR2188170gydF4y2Ba