可扩展性的平衡向列聚合物

文摘

本文的目的是研究平衡态的可延伸性rodlike向列与Maier-Saupe聚合物分子间的潜力。我们制定平衡态作为非线性系统的解决方案和计算雅可比矩阵的行列式的非线性系统。是发现雅可比矩阵非奇异的除了两个平衡态。这两个特殊的平衡态相图中对应于两个点。有一点是折叠点稳定扩展的分支折叠成不稳定扩展的分支;另一点是向列的交叉点分支和不稳定的各向同性分支扩展的状态成为扁不稳定状态。结果建立了平衡态的存在性和唯一性的微小扰动,远离这两个特殊的平衡态。

1。介绍

液晶聚合物(lcp)组成的刚性rodlike大分子在粘性溶剂有广泛的技术应用1- - - - - -4]。最常见的理论框架建模向列聚合物是代表nematogenic分子刚性棒和描述的整体方向概率密度函数(pdf) (5]。定向排列均衡分布与由玻尔兹曼关系相互作用势。最近,严谨的数学分析平衡态向列聚合物得到了严重的注意力从数学家由江诗丹顿和伶猴(6- - - - - -22]。例如,各种证据的轴对称平衡态只有Maier-Saupe交互有(8,19对于二维的情况,在[9,18,20.三维情况下);的平衡态情况下偶极-偶极相互作用耦合的Maier-Saupe互动进行了研究[17,21]。毫不奇怪,许多数学问题的聚合物仍然是未知的。特别是,据我们所知,平衡态的可延伸性从未尝试。

在我们之前的研究21),据透露,对于大型的向列值强度和小扰动,附近至少存在一个解对应的非微扰纯向列解决方案。在[21),我们得出的结论存在使用复杂的自由能参数。此外,在[21)只存在而成立的独特性没有解决。我们的目前的研究目标是建立严格的可扩展性,平衡态的存在性和唯一性,向列聚合物在小扰动的存在。注意,所有平衡态向列聚合物的轴对称(9,18,20.]。为了便于讨论可扩展性,我们引入了两个新的平衡态的非线性系统控制变量:一个变量pdf有序参数成正比;其他变量双轴有序参数成正比,衡量轴对称pdf的偏差。这种方法的一个优点是,雅可比矩阵是对角的平衡状态。我们将表明,非线性系统的雅可比矩阵的行列式非零除两个平衡态。这两个平衡态相图对应于两点:一点是折叠点稳定扩展的分支折叠成不稳定扩展的分支;另一点的交点的向列状态和各向同性状态不稳定扩展的状态成为扁不稳定状态。平衡态的可延伸性,除了这两个状态之前立即从隐函数定理。

2。非线性系统的平衡态,雅可比矩阵,行列式

现在我们简单回顾一下平衡态的数学描述刚性rodlike向列聚合物。每个聚合物的取向方向杆是用一个单位向量。在这项研究中,通过“纯向列聚合物,”我们的意思是情况Maier-Saupe交互可能是唯一的可能。是由Maier-Saupe潜力 的张量积和张量双收缩被定义为 在(2。1), 是归一化聚合物浓度描述分子间相互作用的强度,然后呢取向分布的二阶矩: 在哪里定向排列的系综的概率密度函数(pdf)聚合物棒。为了方便起见,潜力(2。1)已经规范化对在哪里波尔兹曼常数和吗绝对温度。对于纯向列聚合物,平衡态所描述的玻耳兹曼分布(5]: 在哪里配分函数和吗是单位球体。

我们选择坐标系统,第二个时刻斜: 因此,Maier-Saupe潜在的可以写成 纯向列聚合物最重要的结论是,所有的平衡态是轴对称(9,18,20.]。因为并不是所有的摄动平衡态向列聚合物合奏必然是轴对称,研究可扩展性,我们制定问题不使用轴对称这样non-axisymmetric扰动是允许的。轴对称将是有用的在我们的分析,因为可延伸性的雅可比矩阵的行列式计算是由平静的平衡态,这是轴对称。雅可比矩阵的定义和推导过程,然而,需要non-axisymmetric配方。纯向列聚合物,总潜力完全指定的二阶矩。由于玻耳兹曼关系(2。4),一个平衡态完全指定的二阶矩。由于约束,一个平衡态完全指定的 在一个纯粹的向列平衡态没有扰动,我们或(这意味着)或(这意味着)。在一个平衡状态,我们选择坐标系统,平衡满足。而言,可以表示为,Maier-Saupe潜力 因此,平衡pdf是由 在一个平衡状态,满足非线性系统: 平衡pdf的形式(2。9激励我们介绍: 在这里pdf的有序参数成正比双轴有序参数成正比,pdf的轴对称的偏差的措施。正如我们将看到的,使用的一个优点雅可比矩阵是对角的平衡态。而言,,pdf表达式 第二个使用的优势是pdf不取决于什么明确。后来,该属性将使我们能够编写的函数这是平衡的价值。在一个平衡态的非线性系统是 在本文中,我们研究平衡态的可扩展性的向列聚合物小扰动的存在。我们考虑摄动版本的系统(2.13): 在数学上,我们研究系统的解的存在性和唯一性2.14系统的解决方案(附近)2.13)对小和。根据隐函数定理,存在唯一性由雅可比矩阵的行列式。计算雅可比矩阵,我们首先计算pdf的衍生品(2.12): 回想一下,在一个纯粹的向列平衡态没有扰动,我们选择坐标系等。评估的偏导数和在平衡收益率 在这里,我们指出,系统的雅可比矩阵(2.13)评估处于平衡态是对角线,这是由轴对称的平衡状态。

因此,系统的雅可比矩阵的行列式(2.13在平衡) 在(2.17),平均都是评估使用平衡pdf 纯向列聚合物,一个平衡态完全指定的。的控制方程是第一个方程(2.13):,而第二个方程(2.13)时自动满足。我们引入一个新功能: 的控制方程是。这是直接从函数的定义有关雅可比矩阵的元素平衡 稍后我们会发现,这个关系是一个关键的工具确定的符号雅可比矩阵的元素平衡。在上面,我们使用变量和或多或少interchangibly。后来在必要的时候,我们将使用表示函数的自变量和使用表示的特殊价值满足。为此,我们将继续使用这两个变量。

3所示。可扩展性的平衡向列聚合物

获得更多的特定属性的平衡态向列聚合物,我们重写的控制方程使用球坐标。我们选择设在的杆球面坐标系统。平衡pdf中给出(2.18)成为 在哪里极角和吗方位角度。在这里我们需要指出不是半径的球面坐标系统。这是一个参数的平衡状态。用平衡pdf (3.1),用一个变量的变化、分部和集成 因此,中定义的(2.19)成为,在那里被定义为 的方程,,成为 方程(3.4)有一个简单的解决方案为任意值向列的,对应于各向同性分支聚合物相图。在平衡pdf格式是统一的,。由此可见, 用这些结果(2.16),我们得到 因此,当雅可比矩阵是满秩,从而可扩展的各向同性的平衡。在各向同性的分支与向列交叉分支。

剩余的解决方案(3.4),如果任何,满足 在[20.),它已经表明,函数具有以下属性:(1) ,和;(2) 达到它的最大值最大的;(3) 为和为。的图如图1(a)。因此,我们得出结论如下(3.7)如下。(我)的临界值是。(2)为,(3.7)没有解决方案。(3)在,(3.7)有一个解决方案。(iv)为,(3.7)有两个解决方案:和。(v)在,(3.7)有两个解决方案:和。(vi)为,(3.7)有两个解决方案:和。如前所述,我们使用下标””来表示“上”的相图的一部分下标“”来表示“中产”相图的一部分,在那里下标“”来表示“低”相图的一部分,在那里。向列聚合物的相图是图所示1(b),向列聚合物术语的曲线段是稳定扩展的分支的一部分;是不稳定扩展的分支的一部分;和是不稳定的扁分支。

回想一下,Maier-Saupe相互作用的强度,正比于规范化聚合物浓度和温度成反比。的解决方案,有表达在哪里是订单参数。因此,从物理方面的考虑,需要使用作为独立变量和治疗的函数。然而,是一个多值函数的和函数甚至不是定义。在数学上,它是如果我们使用更方便作为独立变量和治疗的函数。是一个单一的函数和定义的值在。下面,我们将采用这种新配方的查看的函数。新配方的功能确定(3.7),。这个新配方,稳定扩展的分支的一部分可以简单地表示为为;不稳定的部分扩展的分支作为为;和不稳定的扁分支作为为。现在我们讨论这些分支的可扩展性。使用关系(2.20),,,我们到达 研究雅可比矩阵的元素,我们第一次重写用平衡pdf (3.1)和使用替代, 使用(2.16),,的表达在(3.3)和结果(3.9),我们有 这是简单的验证。下面,我们要证明为和为。为了方便下面的分析,我们写作为一个平均 一般是对pdf在哪里。

引理3.1。函数在(3.11)的属性意味着。

证明。我们首先计算pdf的导数:,从而导致 因此,每当我们有。

引理3.1在一起导致为和为。结合这个结果与结果(3.8),我们到达 因此,我们得出这样的结论:所有向列平衡状态(稳定或不稳定)是可扩展的,除了平衡态和平衡态。

4所示。结论

在这项工作中,我们研究了平衡态的可延伸性Maier-Saupe的向列聚合物分子间的潜力。我们发现,非线性系统的雅可比矩阵非奇异的除了在两个特殊的平衡态。这个结果的意义是它的含义在摄动系统的平衡态的存在性和唯一性,在附近的镇定的平衡状态。

确认

h·王部分由美国国家科学基金会的支持。h .周支持部分由美国空军科学研究办公室批准号F1ATA06313G003。

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