文摘
我们证明了半线性椭圆型方程,在,,在有一个积极的解决方案时,非线性吗属于一个类而满足在无穷远处,像原点附近,在那里如果和如果。在我们的方法中,我们不需要Ambrosetti-Rabinowitz条件,非线性等不满足任何假设这些要求的放大方法。此外,我们不强加任何限制的增长。
1。介绍
自70年代以来,一些作者一直在研究半线性椭圆狄利克雷问题的解的存在性 在哪里是一个有限域,。大部分的这些结果是在某些非线性假设为了使工作变分方法。最常用的假设是Ambrosetti-Rabinowitz条件(1)使欧拉功能相关的亚临界问题(P)满足Palais-Smale条件。放大的方法,由于Gidas和Spruck [2),用于获取解决方案的存在,去工作,它需要一个渐近线的行为为亚临界非线性(这是如此,当或当)。最近,两个存在结果相关主题发表:de Figueiredo和杨3)考虑问题(P),变分技术一起应用莫尔斯的指数,在Azizieh和克莱门特(4)也使用变分技术和放大的方法;问题(P)进行了研究-Laplacean运营商,。在这两篇论文3,4),解决方案的存在取决于以下条件:
上面的结果完成这些,本文对这一主题的一类非线性隔两种不同的力量和,没有限制。多重性的解决方案的结果是由李和刘5与关键增长限制。在这里,我们将假设是一个本地持有人与下列分解连续函数。假设的功能和以下。
(H1) (H2)存在这样 在哪里。(H3)如果存在和如果这样 (H4)有一个积极的实际序列令人满意的,
为了方便起见,我们把问题(P)在以下方式:
观察到的条件和暗示 在哪里是第一个特征值的。此外,由于对所有存在的一个必要条件,解决问题( )是非线性的越界了。
作为一个例子,我们可以考虑 这个函数满足上述条件但不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件。此外,也不属于任何类的解决方案中包含的引用(1- - - - - -3]或[4]。
我们的主要结果如下。定理1.1。存在这样的问题(P)有一个积极的解决方案。在我们的证明,我们适应一个想法探讨Chabrowski和杨在[6]。比较我们的方法和其他引用的文献中,重要的是要强调,我们不使用莫尔斯指数法,因此我们不需要衍生品的非线性(3),我们没有任何限制根据需要在[4),的情况。
2。定理的证明1。1
从今以后,让我们表示通常的标准,也就是说, 并通过极小极大水平通过安博思和Rabinowitz期间接受经由定理应用到功能 在哪里。
下面的命题建立估计涉及规范相关的亚临界问题的解决方案。这估计是一个重要的点在我们的方法中,及其证明所带来的一个直接结果引导参数。常数出现在定理1。1只取决于常数下面的序列给出的在本节中,我们可以看到。
命题2.1。让是一个问题的解决方案 在哪里是一个连续函数验证,尽管。然后,对所有,存在一个常数这样,如果
让我们解决这样,让满足 在哪里表示的勒贝格测度。
为那以前固定的,让我们考虑函数给出的 从条件(), 然后满足不等式,因为。
很容易检查截断函数满足Ambrosetti-Rabinowitz条件的区间,也就是说, 在哪里。事实上,表示我们有 为,这意味着 积分不等式,从来,我们有 因此,从(2.10)和(2.11),不平等 成立。因此, 一起,(),意味着 我们想检查(观察到和暗示)。
现在,考虑以下截断的问题:
让我们回想一下,和。众所周知,问题( )有一个积极的解决方案。这发生以来能源相关的功能( )由 或 满足山口定理的假设1]。此外,不平等,尽管,极小极大水平的功能满足。
因此,从平等我们有
从(2。8)我们有
不平等(2。7),我们有在,因此
选择的,我们得到
使用常数获得的命题2。1从过去的不平等,我们有对所有。但意味着因此是一个解决方案(P)。证明已经完成。2.2的话。假设可以更换的
(H4)”有一个积极的现实令人满意的
3所示。最后的评论
应用本文的方法与一些修改可以用来建立正解的存在性问题 与和验证
(H5) (H6)存在这样 在哪里。(H7)存在这样 (H8)有一个积极的实际序列令人满意的,
可以使用本文中所开发的想法,当我们处理p拉普拉斯算符。主要的区别是关心命题的证明2。1,我们应该取代引导参数莫泽的迭代方法,然后重复相同的方法探索Chabrowski和杨6]。
确认
这部分工作由CNPq-Milenium-AGIMB赞助。第二作者支持CNPq——巴西。