文摘

双向功能梯度多孔材料的非线性强迫振动梁的材料成分梯度变化的厚度和轴向方向都在本研究中进行了研究。结合卡门的几何非线性和一阶剪切变形理论,描述耦合变形的控制方程的配方作为非线性偏微分方程组。利用伽辽金方法,制定连续模型转化为一个耦合的非线性常微分动力系统。通过计算完成分岔周期响应的离散系统利用pseudoarclength技术,获得的振动响应曲线是通过提取出不等式振幅的周期性运动。强调非线性的影响,梁的线性和非线性动态响应。发现梁的周期运动可能接受cyclic-fold分岔。数值结果给出了检查系统参数的影响,例如,梯度索引、孔隙度、阻尼系数和宽高比。

1。介绍

功能梯度材料(过程)是一种复合材料的连续变异材料特性在一个或多个方向,因此有能力减少应力集中的现象,在层压复合材料通常是不可避免的。此外,过程可以根据服务设计条件,如极端高温或腐蚀性的环境。功能梯度材料与这些优点,已广泛应用于许多工业领域,如飞机制造工业,航空航天制造业,原子弹工程。在过去的几十年里,古典1 d-fgm梁的静态和动态行为,只存在于横向的分级材料或梁的轴向方向,被广泛的研究。例如,Kadoli et al。1)研究了金属陶瓷成品梁的弯曲响应在热环境中使用高阶剪切变形梁理论。Niknam et al。2)提供了解析解的非线性弯曲的锥形热力和机械荷载作用下功能梯度梁。采用微分求积法(DQM) Esfahani et al。3)进行热屈曲分析的FG位于弹性地基梁的非线性反应部队。考虑到材料在厚度分级或轴向方向,Alshorbagy et al。4]显示成品梁的振动特性采用有限元法(FEM)。Şimşek和Kocaturk5]分析了成品梁的固有频率和强迫振动响应的作用下集中移动谐波负载。Shahba et al。6)检查锥形成品梁的频率特性和动态稳定使用有限元法。Atmane et al。7]分析了指数锥形成品梁的自由振动,和频率的封闭解。一些研究者也感兴趣的功能梯度梁的非线性行为。例如,柯et al。8)获得了近似解析解成品梁的非线性振动频率不同的终端支持。采用变分法,成品梁的非线性自由振动分析热环境提出了由Fallah和Aghdam [9,10]。Shooshtari和Rafiee11)采用了多个时间尺度方法研究强迫非线性主,超低,女性生殖器切割的次谐波共振梁与固定的目的。

在现代工业,许多高级结构暴露于复杂业务环境导致温度或应力分布分级在几个方向12]。这一现实使传统过程不适用在这些结构的材料成分,只有单方向不同。因此,功能梯度材料多方向的结构是一个值得研究的主题。方为例,et al。13]分析了旋转BDFG悬臂梁的振动频率。在他们的梁模型中,梁的材料性质变化逐渐在宽度和厚度。Karamanlı[14制定一个调查quasi-3D剪切变形梁模型来研究BDFG三明治梁的弯曲。Truong和同事(15,16)提出了一种进化方法材料优化设计中弯曲和BDFG梁自由振动行为。Fariborz和巴特拉(17]研究弯曲自由振动BDFG循环梁和探讨了模式改变的现象。使用DQM Lei et al。18]分析了临界屈曲载荷和静态响应BDFG不完美的梁承受轴向载荷。唐,丁19]调查BDFG梁的非线性振动频率考虑湿热效应。

FG多孔梁也吸引了研究者的注意。陈等人。20.)调查了FG多孔梁的线性振动响应。结果表明,孔隙度的对称的孔隙度分布给出了振动频率和最高,与此同时,响应幅度最小。在另一个工作,陈等人。21)调查了大的振幅三明治多孔成品梁的自由振动。Ebrahimi和齐亚22)获得非线性振动频率的近似表达式FG多孔梁应用多重尺度方法。完全几何非线性梁理论的基础上,田et al。23)制定的大变形振动旋转double-tapered FG多孔梁考虑弯曲之间的交互,拉伸,扭曲模式。采用有限元方法和飞机固体连续模型,Akbaş[24]分析了FG多孔深梁和的线性振动响应表明,孔隙率对梁的动态响应有明显的重要影响。

从上面的文献综述,可以得出一个结论,开放BDFG梁的动力学特征的文献主要集中在线性振动行为。在公开文献,BDFG多孔梁的非线性强迫振动响应不同边界条件下并没有被报道。在这个研究中,我们试图探索BDFG多孔梁的非线性强迫振动响应的行动下侧谐波激励。数学模型建立了基于得票率最高梁理论与冯·卡门的非线性应变。然后,采用伽辽金得到的降阶模型的过程。BDFG多孔梁的周期运动是通过降阶模型处理pseudoarclength方法。数值模拟给出解释的影响材料,孔隙度和几何参数的非线性主共振BDFG光束。

2。建模

图1描述了BDFG多孔梁几何尺寸。梁构成的两相材料。材料性能的梯度梁的轴向和厚度方向的变化。梁的有效材料特性可以估计采用混合规则(25]: 在哪里 的材料属性组成, 被定义为孔隙体积分数比例。是体积分数的组成和满足以下关系26,27]: 在哪里和代表了梯度不同的索引。此外, 被定义为 在哪里是孔隙体积分数系数。

得票率最高梁的位移场是给定的 在哪里与 是任意质点的位移分量光束的空间坐标。 , ,和延伸,横向和剪切变形组件的变化的梁。

使用上面描述位移,得票率最高梁的应变分量 在哪里和代表了一阶微分对空间坐标和 。给出的本构关系 在哪里 。

哈密顿原理(28)将被应用到制定BDFG梁的动力学模型。也就是说,

第一次梁的应变能的变化可以表示为 在这, 在哪里得票率最高的剪切修正系数梁理论。此外,刚度系数计算

动能的变化了 中,惯性系数

虚拟工作引入的外部激励和阻尼 在这,外部激励的频率;和阻尼系数。

用方程(10),(11)和(13)方程(9),一个具有以下形式的力量和平衡关系时刻:

定义无量纲变量后,

无量纲非线性运动方程得到 无量纲系数被定义为在哪里

此外,无量纲为简支边界条件(S)和夹(C)结束

3所示。解决方法

在这项研究中,连续系统的近似解在方程(16)- (18)被假定为 在哪里 , ,和模态坐标表示的耦合运动包括纵向、横向,分别和旋转变形。此外,纵向振动的模式函数和吗的本征函数均匀梁的横向振动。是横向振动的模式函数的一阶微分。假设外部激励 。

用近似解的方程(21)到方程(16)- (18),采用伽辽金方法,我们降阶模型如下:

很容易执行通过消除阻尼线性振动分析,非线性,激励条款在上面的离散系统。梁的非线性振动响应可以获得通过求解方程(22)- (24)时间积分方法。非线性振动的周期解是追踪数字的pseudoarclength延续技术(29日),然后,周期性运动的最大和最小值构造frequency-force响应曲线中提取。具体地说,梁的响应曲线与两个步骤实现:(i)首先,外部激励的频率是固定的线性振动频率远离BDFG梁,然后呢作为分岔参数设置。解决方案是开始从零解,然后,是增加到所需的值。(二)达到所需的值时,解决方法是通过选择继续说作为分岔参数。

4所示。结果

在本部分中,数值结果和讨论BDFG多孔提出了梁的非线性振动分析系统参数的影响。各种终端支持包括双夹(CC), clamped-simply支持(CS),和双简支(SS)的边缘。梁的材料成分是陶瓷(原文如此): , , )和金属(铝: , , )。在接下来的结果分析,周期响应指定点( )用于评估梁的响应曲线。

验证推导数学模型,目前无量纲基本频率对比那些由Şimşek et al。30.),列在下表中1。相比之下,材料分布模式被定义为 ,在哪里参考材料参数,包括 , ,和 。结果见表1表明一个好的协议。为进一步验证的非线性振动响应,我们提出了一个比较简单支持BDFG梁的频率特性图2。解释在这个图,提出了频率特性曲线是完全符合给定的裁判。31日]。在图3,降阶模型的收敛性分析时执行 , ,和 。如这个图所示,结果时将获得合理的模式数量等于6。在接下来的计算, 用于保证收敛的结果。

在图4、频率特性曲线的党卫军BDFG多孔梁时提出 , , , ,和 。这个数字表明,梁的非线性振动演示了hardening-type非线性。不同的激励频率 ,周期运动的梁会引起cyclic-fold分叉(CF),和两个CF点是发现了主共振地区。分歧点,非线性振动响应的系统从一个稳定的周期解跳跃到另一个。此外,一个可以识别的数字4(一)和4 (b)的最大和最小值周期解是不对称对琐碎的原状梁的配置。线性和非线性动力学的差异党卫军BDFG探索多孔梁在图5。在数据5(一个),5 (d),5 (g)线性和非线性响应曲线描述当演示了BDFG梁的横向运动 , , , ,和 。它可以注意到的最大振幅的线性响应大于非线性响应。比较线性BDFG多孔梁的共振区域位于附近的线性频率,共振的非线性BDFG多孔梁对由于hardening-type非线性变化。历史的时间(数字5 (b),5 (e),5 (h))(图和相位图5 (e),5 (f),5(我))的线性和非线性反应时 。从这些子图观察到的是,所有横向和旋转变形的线性和非线性响应表现出光滑的周期性运动具有类似特征。然而,纵向运动的线性和非线性响应显示明显差异。具体来说,平滑周期解提出了线性纵向运动。对于非线性响应,相反的,一个小弹簧通过运动。

在图6,不同的值的频率特性图和密谋探索功能梯度的影响指标SS BDFG多孔梁的横向运动。如图6,增加了功能梯度参数可能导致软BDFG梁。更具体地说,共振区域变成更小的值和周期运动的大小会大幅度的增加和变大。从数据6(一)和6 (b),我们可以认识到,梯度参数的影响(轴向)BDFG多孔梁的非线性振动特性比这重要得多的 。

在图7党卫军BDFG多孔的force-response曲线梁激励频率时进行描述 。如这个图所示,两个CF点是发现。作为变化的周期解BDFG多孔梁经历一个飞跃点导致其他周期吸引子与更大的振幅。当减少从1,另一个发生在跳点导致更小的周期运动。在这里,系统的动态响应是不对称的(数据7(一)和7 (b)),由于材料的不对称分布。党卫军BDFG多孔的force-response曲线梁显示各种励磁频率如图8。几何和材料参数与图相同7除了激励频率。如这个图所示,CF点发生一些具体激励频率(例如, ,15日和15.5)。此外,共存地区两个稳定的周期解CF两点之间的共存将转移到更高的价值并得到整体的提高 。图9检查分级的影响参数对SS BDFG多孔梁的force-response曲线。激励频率 。在这里,增加(或 )产生运动的振幅。然而,更大的价值和导致小共存地区两个稳定的周期解共存。

图10描述了频率特性曲线的变化作为激励的大小和阻尼系数变化 和 。它是观察从图10 ()阻尼系数的较大值导致更窄的主共振区域。的最大振幅响应将会增加和减少。相反,如图10 (b),一个更大的导致更广泛的共振区域和响应幅度更大。频率特性曲线的非线性横向运动获得了不同 说明在图11。系统参数选择 , ,和 。在数值模拟中,厚度是固定的长度是不同的。结果表明,共振区变宽,但最大振幅响应的共振区域长宽比时将减少 增加。因此,可以得出结论,hardening-type非线性细长BDFG多孔梁突出得多。数据12和13说明孔隙度包括体积分数的影响系数和孔隙度的分布格局BDFG梁的非线性振动响应。如图12的增加,将梁的共振区域转移到低频率在两种类型的多孔分布。的最大振幅响应非均匀孔隙率的共振区域梁将减小增加,但这种变化趋势是逆穿制服的孔隙度。此外,的影响均匀孔隙率的频率特性曲线梁比在非均匀孔隙度明显。同样的现象也观察到在图13。从这个图中,你可以推断出大导致更高的force-response曲线的振幅。探测边界条件对振动响应的影响,图14情节的频率和force-response BDFG多孔梁党卫军,CS, CC边缘的支持。如图(14日)CC BDFG多孔梁的共振频率区域发生的最高价值和SS BDFG梁是最低的。应该指出的最大振幅响应的共振区域CS BDFG多孔梁高于在党卫军BDFG多孔光束。这种现象是由于这一事实选择采样点, ,接近的最大侧向位移位置CS BDFG多孔梁和SS BDFG多孔光束偏离。从图14 (b),一个人可以意识到的值的关系对应于CF的发生点 。此外,共存区域的宽度遵循了同样的模式。

5。结论

本研究着重于BDFG多孔梁的非线性强迫振动。材料成分在梁的厚度和轴向方向逐渐变化符合幂律。梁的运动方程是通过制定得票率最高梁理论。得到的降阶模型离散化原系统使用金过程。降低了系统的非线性振动响应由数值积分的方法获得,pseudoarclength技术。列出了本研究的主要结果如下:(i)这对夫妇BDFG多孔梁的非线性响应揭示hardening-type行为,和梁经历cyclic-fold分岔的周期响应外部激励的频率和振幅变化;(2)考虑到材料分发模式,BDFG多孔梁与功能梯度参数的增加变得柔软;(3)共振区域转移到较低的激励频率和被广泛作为功能梯度参数增加;(iv)增加激励的振幅(或减少阻尼)的值会导致一个更广泛的响应区域和更大的振幅响应;(v)孔隙度分布模式显示了明显的对梁的振动响应的影响; and (vi) the hardening-type nonlinear behaviors of BDFG porous beam become more remarkable as aspect ratio increases.

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金(12002088)、福建省自然科学基金(2020年2020 j05103 2020 j05102, j05101),为青年教师教育和科研基础福建省(JAT190008),和开始资助福州大学(gxrc - 20017)。