文摘

基于能量变化的原理,介绍了一种改进的傅里叶级数作为容许位移函数。本文构造了一个计算模型,可以研究平面及平面外弯曲梁结构的自由振动和强迫下不同的边界条件。首先,基于广义壳理论,考虑剪切和弯曲梁结构的惯性影响,以及位移的耦合影响组件,动能和应变梁弯曲的势能。随后,介绍了人工弹簧系统来满足约束条件的位移在曲梁的边界,获得它的弹性势能,将其添加到系统能量的功能。任何集中质量点或集中外部负载也可以被添加到整个系统的能量函数与相应的能量项。在各种情况下包括经典边界条件,本文方法的精度和效率,证明了通过与有限元法的计算结果进行比较。此外,通过准确计算常见的工程结构的振动特性像缓慢的曲率(旋转线),显示该方法的广泛应用前景。

1。介绍

作为一个通用的结构在工程领域,曲梁结构的动态特性吸引了广泛的关注。与直梁结构,由于变形的影响,有相当大的弯曲梁的振动位移组件之间的耦合结构。为了简化计算,轴向拉伸变形、剪切变形和转动惯量是有时忽略(1- - - - - -5),但是这可能会导致一个大的错误在计算弯曲梁的高阶固有频率(6]。除了,因为plane-curved梁的振动不是耦合的平面与平面外,多数学者讨论它作为两个相对独立的问题(7,8),很少有文献研究都在同一时间(9]。

对平面弯曲梁的振动的问题,如果所有的影响因素如考虑到轴向拉力、离散格林函数与数值积分相结合用于早期研究了川et al。9]。陈和沈10)使用三角函数结合伽辽金方法,而奥斯汀和Veletsos [11)能量近似法用于处理这类问题。目前,最常用的方法,研究人员在这个领域动态刚度法(12),传递矩阵法(13),和铁的方法。作为应用最广泛的数值方法,有限元法已用于分析平面弯曲梁的振动几乎自诞生(14]。为了进一步提高该方法的计算精度和效率,提出了许多新的曲梁元素。基于得票率最高的梁理论,Raveendranath et al。15开发了一个节点曲梁单元。基于扩展的哈密顿原理,杨et al。2)开发了一种高阶Lagrangian-type元素适合可变曲率弯曲的梁。Cannarozzi和Molari16)提出了一个stress-mixed元素的基础上,改进Hellinger-Reissner函数,证明了元素可用于计算任意几何曲梁结构通过计算示例。Saffari et al。17)作为曲梁结构拱的组合元素,每个基本拱元素引入剪切和轴向变形能量,和元素由一个变换矩阵构造曲率相连。金等。18]介绍了附加node-independent自由度的位移插值函数,大大改善了数值精度displacement-stress混合元素,使其更适合预测高阶模式。基于区间b样条小波(BSWI),杨et al。19)的位移场变换小波空间到物理空间的元素,而不是传统的多项式插值有限元。由于BSWI的近似性能好,新元素具有更好的精度和效率。

类似于面内振动的问题,有限元法是最广泛的用于解决问题的平面外弯曲梁的振动。然而,值得注意的是,由于耦合的平面外弯曲扭转耦合振动,传统弯曲梁有限元元素可能剪切、弯曲和扭转锁现象在处理这个问题。锁定现象将严重影响精度和收敛性20.,21]。Ishaquddin et al。8)提出了一种基于独立场插值有限元模型,可以准确地预测曲梁结构的动态特性不产生任何错误模式下刚度比的极限。

尽管有限元法所代表的数值方法取得了巨大的成就解决梁弯曲振动的问题,(半)分析方法仍有其独特的优势在机制的解释和参数研究。作为一种广泛使用的方法,能量法有很多领域的研究成果结构振动计算(22,23]。然而,传统的能量法需要选择位移函数根据不同的边界在处理结构在不同边界,和计算模型的适用范围相对有限。为了解决这个问题,(24)提出了一种改进的变分方法,它是基于修正变分原理和加权残余法来解决内部结构的界面和边界约束,从而放松了要求结构容许函数的选择。随后,苏et al。25]使用这种方法来解决平面弯曲梁的振动问题的优点和使用灵活的应用范围研究的影响集中质量点弯曲梁的振动特性。同时,李(26)提出了一种改进的傅里叶级数,这是一个传统的傅里叶级数和辅助函数和用它来分析直梁的横向振动特性在任意的支持。随后,使用系列作为容许位移函数,结合人工弹簧系统,和基于哈密顿原理,女性生殖器切割弹性支撑梁结构的振动特性(27),得票率最高梁结构(28)具有任意横截面形状,和欧拉曲梁结构(5)在平面上也进行了研究。

在这个工作中,所有弯曲梁结构的振动位移允许函数将统一表示改进傅里叶级数的形式。不同于直接求解偏微分方程,本文将基于能量变分原理和研究自由或弯曲梁系统的受迫振动的特点。首先,根据广义壳理论,displacement-strain关系考虑剪切和惯性的影响,和动能和应变势能曲线梁结构。随后,边界约束条件或连续曲梁的条件连接将被添加的弹性势能通过人工弹簧系统的能量函数。最后,集中质量点或集中表达的动态加载额外的动能或外力作用。

比较与5)和有限元计算结果证明了计算模型的正确性,和改进的傅里叶级数也显示了良好的收敛性。此外,边界的人工弹簧系统可以准确地模拟各种古典或弹性边界条件。通过设置不同的约束刚度值,可以直接修改模型的边界条件,没有重新推导出。较常见的(半)分析方法,需要重新选择位移函数,本文成功地构建了一个统一的计算模型具有广泛的应用。由于小数量的系列达标要求,形成的质量和刚度矩阵模型本文将明显小于有限元法。因此,本文的模型具有更高的效率优势强迫振动的计算。例子,考虑曲率的变化或部分参数显示模型在实际工程应用的广阔前景。

2。理论方法

2.1。模型描述

如图1,本文的研究对象是一个弯曲的梁的初始变形xy飞机在右手坐标系O-xyz。一般来说,在振动xy平面,平面上振动变形所在地,飞机被称为平面振动,振动垂直平面外振动。有6振动位移组件在任何时候的中心线弯曲的梁。虽然这些位移组件可能相互耦合关系,平面,平面外位移可以解耦。具体来说,有三个平面位移,切向位移u(年代)、径向位移 ,和弯曲旋转位移 ,和出平面位移出平面横向位移 ,弯曲旋转位移 ,旋转和扭转的横截面 。R (s)任何一点的曲率半径的弯曲的梁。l_年代弯曲梁的长度。年代是梁轴曲线路径。

2.2。变分公式的曲梁模型

2.2.1。平面问题

在这篇文章中,一个人工弹簧系统将两端的弯曲梁结构来模拟实际边界。在面内振动的问题,梁左和右端面孔将使用一个旋转弹簧和两个线性位移弹簧抑制旋转位移和切向位移(正常),分别。弹簧支持的曲梁结构如图2。

在上面的图中,k_u0, ,约束弹簧组的左端弯曲梁(起点),分别约束的位移和旋转位移u和的方向。的定义k_u1, ,相似,作用于右端(端点)的弯曲的梁。的单位位移春天是N / m,和旋转弹簧单元N / rad。f_u和外部集中动态载荷,本文将采用相关研究单位振幅激发力量。米_p的质量集中质量点。

考虑剪切和惯性的影响,本文将构造能量函数在代表系统的基于广义弹性理论平面振动,这是由总势能 ,总动能 ,和外力的工作梁弯曲的结构:

总势能的结构包括应变势能存储在结构和弹性势能人工的春天。

应变和位移之间的关系7可以表示为 在哪里和膜和横向剪切应变中性面,分别。弯曲应变。

应变势能存储在曲梁结构可以表示为

的公式,E和G分别代表杨氏模量和剪切模量。一个弯曲梁的横截面积,转动惯量是吗z设在,κ是剪切修正系数。

弹性势能存储在人工弹簧组在曲梁的边界

结构的总动能由动能存储在梁结构和动能可能存在的附加质量点。

结构的动能如下: 在哪里是曲梁的物质密度。

额外的质点的动能如下: 在哪里是集中质量点的位置坐标曲线梁。

通过集中负荷外力做功 在哪里是集中的位置坐标曲线梁上的负载。

在使用变分原理得到最终系统的振动方程,位移公差函数需要澄清。

面内振动的运动微分方程的曲梁[7)如下:

它可以看到从上面的切向位移的微分方程 ,正常的位移 ,和旋转位移需要对整个梁连续一阶导数(包括结束)。本文提出一种改进的傅里叶级数苏et al。27)将被用来构造位移公差函数。具体形式如下: 在哪里λ_米=mπ/ L_年代。ω梁结构的自然圆频率。 , , , , ,和改进傅里叶级数的未知系数。补充辅助函数有以下形式:

结合上面的公式和找到能量函数的极值

广义坐标向量由以下表格(一个₁、…一个_米,一个₁,一个₂、…c₁,c₂]^T。

最后矩阵平面振动方程如下: 在哪里质量矩阵和吗刚度矩阵。是广义力向量的外部力量。自由振动的外力向量F^在是零。需要系数矩阵的行列式为零得到方程解(14)。然后,自然频率可以由计算行列式的根源和相应的模式形状可以被识别。

2.2.2。出平面问题

类似于平面问题,解决出平面问题时,弹簧系统如图3将用于模拟三个振动位移的约束边界组件。

在上图中,K_u0, ,和约束弹簧组的左端弯曲梁(起点),分别约束u,旋转位移,方向位移。K_u1, ,和有类似的定义和作用于右端(端点)的弯曲的梁。是外部集中动态负载。

出平面振动Π的能量函数^出由总势能 ,总动能T^出和外力项工作W_e^出。

总势能的结构包括应变势能存储在结构和弹性势能人工的弹簧。

平面外弯曲、剪切和扭转应变曲线坐标系下的弯曲梁组件(8)

应变势能存储在曲梁结构

的公式,和J分别代表了y设在惯性矩和横截面的扭转常数。

弹性势能人工弹簧组的曲梁的边界

总动能T^出的结构是

结构的动能是

额外的质点的动能是

通过集中负荷外力做功 。

出平面振动微分方程(29日)是

同样,一种改进的傅里叶级数还用于构造出平面振动的位移容许功能。类似于前一个具体形式

随后,出平面振动方程也可以用矩阵形式如下:

也是由未知形式的傅里叶系数(D₁、…D_米,d₁,d₂、…h₁,h₂]^T。

自平面和出平面弯曲梁的振动相互耦合,以下表格中的两个可以组合获得整个系统的振动方程矩阵:

3所示。数值结果与讨论

3.1。计算的收敛性和精度分析模型

采用曲梁的验证模型(5),这是一个弧1/6的一个完整的圆。弧的材料和几何参数如下:E= 2.1×10¹¹Pa,曲率半径R= 1米,ρ= 7800公斤/米³,l_年代= 1.0472米,部分是圆形,剪切修正系数κ= 9/10,截面半径R_b= 0.01 m。自引用只考虑平面振动,本文的计算结果也会与有限元计算结果相比。有限元单元的数目是210。

扩张后的订单拦截本文中使用的改进傅里叶级数有直接影响计算结果的准确性。扩张,越接近精确值,但它会影响效率的解决方案。一般来说,选择后的计算结果可以稳定订单达到一定值。表1显示了计算结果的验证模型在不同修改的傅里叶级数截数据米并比较它们与参考和有限元的计算结果。这时,验证模型采用两端自由边界条件,对应的值为0的边界弹簧组在模型中。比较内容忽略刚性模式后的固有频率。

从表可以看出1摘要振动性能计算模型具有良好的收敛性和数值稳定性。时的值米16岁或更大,固有频率没有显著变化。因此,在随后的计算,位移函数的截断项系列的数量米= 16。此外,由于纸和有限元元素考虑剪切效应和5)使用欧拉梁理论,本文的结果和有限元计算是小于5),结果前两个相互接近。

正如前面提到的,本文使用弹簧系统模拟弯曲梁的边界条件。因此,价值的影响弹簧的固有频率曲线梁结构需要进一步的研究。首先,定义无量纲固有频率的曲梁Ω= 100ωL_年代 。研究对象仍然是以前的弧,但6弹簧的值k_u1, , , ,K_u1,将增加从0到10¹⁴反过来,和第一层序无量纲固有频率的曲梁结构如图4。

从图可以看出4弹簧刚度越大,越大存储弹性势能和加强相应的位移约束边界的弯曲梁,但边界约束效应产生的刚度的增加将不可避免地倾向于完全约束。因此,弹簧组与一个特定的值可以用来模拟各种经典边界。例如,所有弹簧的固定支架边界应该足够大组。其次,如果某个弹簧刚度的值不是0,曲梁结构的刚体模态对应的位移将会消失,这是反映在图上4所有的第一模式从0增加。此外,模式的无量纲频率为10.28是一个平面振动模式,它只会影响弹簧k_u1, ,和的平面模型;同样,27.79的模式与无量纲频率是一个平面外振动模态;这只会影响出平面弹簧K_u1, ,和 。反映在三个图片一个,b,c在图4,第三模式(平面外模式)平面弹簧时保持不变k_u1, ,和改变,第二模式(平面模式)有一个明显的趋势“慢increase-rapid increase-steady变化”当平面弹簧的变化。为什么第二模式保持不变的三个图片d,e,f在图4也是一样的。特别是,如表所示2,即使是相应的出平面振动,的变化K_u1几乎没有影响大多数曲梁结构的固有频率,所以第三模式曲线在图4 (e)没有明显改变。

一般来说,尽管曲线弯曲梁的固有频率略有不同不同弹簧的参数变化时,它们可以稳定当刚度值增加到约1×10¹²。因此,剩下的工作本文认为当弹簧的刚度值组1×10¹²,相对应的位移或旋转的方向是完全克制。表3会给一些春天的模拟边界。

进一步证明模拟边界假说的正确性,上面的边界组合成对。例如,F-E意味着一端是免费的,另一端是弹性支撑,和固有频率计算值与有限元计算结果进行比较。结果如表所示4。

结果在表4本文表明,该计算模型可以应用在弹簧用来模拟各种经典和弹性边界。计算结果准确、可靠,有广泛的应用。

然后,考虑外部动态负载和质点的影响。这仍然是一个1/6段弧模型,材料和几何参数保持不变,边界条件是氟边界。添加一个5公斤集中质量点自由边界一端,并应用单位振幅的激发力量u,v,或先后有方向。比较本文方法与有限元的强迫振动响应励磁下在同一个方向。频率扫描范围是0.1∼200 Hz,步长是0.1赫兹。提取结构的位移响应u, ,和质点的方向和弯曲梁的中点。把参考位移D₀= 1×10⁻¹²米,D是有效的提取的点的位移响应值,然后振动响应位移水平l_D= 20日志₁₀(D/D₀)。振动位移的比较如图5。

数据5(一个)- - - - - -5 (c)是在曲梁的中点位移响应,和数字吗5 (d)- - - - - -5 (f)是质点的位移响应曲线梁。首先,本文方法得到的结果有很好的一致性与有限元计算的结果在各个方向,激发进一步验证计算模型的正确性。其次,由于振动u和方向平面振动和这两个都是相互耦合的,他们可以刺激反应u和由一个激发方向当他们感到兴奋u或方向。的振动方向属于出平面振动,因此激发力在这个方向上只会刺激相应方向的位移响应。

在正常情况下,需要很长时间来计算结构的强迫响应使用有限元方法。然而,本文中的方法需要少量的截断项,和生成的系统刚度和质量矩阵也小,所以计算成本较低。具体来说,在相同的硬件(处理器配备3.2 GHz Intel Core i5 - 6500 CPU和16 GB内存),大约需要4.2秒来计算2000频率步骤使用这种方法,在有限元计算时间消耗的10倍以上。此外,本文计算模型不需要改变网格元素的数量或再啮合时的有限元模型尺寸等参数的长度曲梁结构改变。可能需要大量的计算弯曲梁结构的参数分析。本文提出的方法具有明显的优势,因为它的低成本和多种应用。

3.2。工程应用实例

上述讨论和大部分研究对象的引用假设曲率,横截面,和其他参数不变,但这种假设可能不合适在实际工程的应用。本文计算模型仍然适用,当面临这样的问题。这里有一些例子来介绍如何处理这些问题。

3.2.1之上。曲率连续变化结构过渡曲线(旋转线)结构

在工程中,常常需要连接一个线性结构与圆弧结构。这时,过渡曲线通常选择松弛曲线的曲率半径逐渐变化无穷。曲线要求产品曲线坐标下的弧长,曲率半径的点是一个常数,然后旋转线主要是用作缓和曲线。

回旋线的基本公式

在上面的公式中,作为是回旋线参数。它通常是定义旋转的起点线年代₀= 0,曲率半径R₀是无限的;端点年代₁=l_年代,曲率半径R₁是任意常数。

证明本文模型可以应用于结构不同曲率,本文将旋转直线结构长度l_年代1.4849和曲率半径R₁1米的端点为例,比较该方法的固有频率计算结果和有限元法在不同边界条件。相关参数如横断面形状和材料的结构仍然是前面的模型一样。

比较的结果表5,可以看出本文的计算模型也具有良好的准确性在处理慢变曲率结构。

3.2.2。横截面突变结构

在实际工程中,结构往往不是由单一材料或子单元特征几何尺寸。在处理这类问题时,即使子单元之间的曲率是连续的,有必要单独模型单元,然后构建一个基于连续位移的耦合模型单元之间的条件。本文将弧结构突然横截面尺寸作为一个例子介绍如何使用这个方法来解决这些问题。一个例子是一个半圆形结构由两个1/4圆弧,如图6,这两个保持圆形截面不变,和横截面半径R_b1= 0.01米,R_b2= 0.02 m。与之前的模型材料参数是一致的,曲率半径是0.9549米。

如图6,当处理梁1和梁2之间的连续条件,本文还将引入一个人工弹簧系统类似于模拟的边界条件。弹性势能V_c的耦合人工弹簧组可以表示为

在上面的公式中,是弹簧连接切向位移u₁和u₂在耦合点,其余的弹簧的定义是相似的,所以我们不会重复它们。l_年代1梁的弧长是1。

如果认为梁1和梁2焊接在一起,也就是说,相应的位移的两个耦合点应严格保持连续,然后耦合弹簧可以设置为一个更大的刚度值为10¹²在这个时间。比较该方法的固有频率计算结果和有限元法在不同的边界条件。

从表可以看出6引入耦合人工弹簧组之后,本文中的模型可以准确计算结构的振动特性与突然的截面。此外,如果该值的旋转约束弹簧的耦合弹簧设置为0,可以模拟实际项目中的清晰度,每年春天的小刚度值可以用来模拟弹性连接。

3.2.3。曲率突变结构:s形结构

在实际的工程结构,如锁和桥梁往往采取一种突然的曲率,s形。一般来说,这种结构的子单元的曲率曲率相等但方向相反。本文还将s形结构如图7由两个1/4圆弧为例,展示了如何使用此方法来处理这种类型的问题。在这个时候,弧的半径部分R_b1= R_b2=0.01米其他参数保持不变。

当处理s形结构的连续条件,耦合弹簧的弹性势能

同时,比较本文方法的固有频率计算结果和有限元法在不同边界条件下的焊接连接。

如表所示7本文的计算模型也可以计算曲率突变(年代)结构。同样,不同的春天值也可以模拟不同的连接条件。

4所示。结论

本文基于能量变化的原理,建立了弯曲梁的振动分析模型通过引入一种改进的傅里叶级数作为允许的振动位移的函数。基于广义壳理论,考虑剪切和惯性效应和位移之间的耦合组件的动能和应变势能曲线梁结构。随后,使用人工弹簧系统模拟可能在曲梁的边界约束条件,和约束效应转化为相应的弹性势能。弹簧系统不仅适用于弹性边界也为模拟各种经典边界条件。同时,通过引入相应的能量项整个弯曲梁系统的能量函数,方便考虑集中质量点或集中点激力在任何位置。与常见的(半)分析方法相比,改进的傅里叶级数和的计算模型构建人工弹簧系统是一个统一的模型与广泛的适用性。

然后,曲线梁的有限元计算结果对比,模型在不同边界条件下显示了本文计算模型具有良好的精度。此外,由于改进的傅里叶级数的收敛性好,刚度矩阵和质量矩阵的尺寸由本文方法很小。本文的方法具有较高的效率计算受迫振动时,这使得它易于使用参数的研究。

最后,常见的结构工程等缓和曲线曲率(旋转线)结构,横截面突然结构和s形结构作为例子展示方法的广泛的应用前景。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果都包含在这篇文章,可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金资助(合约号。51839005和51839005)和中国基础研究基金为中央大学(没有。2019 kfyxmbz048)。