基于啁啾自适应分解的线性时变系统瞬时模态参数辨识

摘要

时变动态系统的瞬时模态参数辨识是一项有用而又具有挑战性的工作，特别是在阻尼比辨识方面。提出了一种将自适应时频分解与信号能量分析相结合的线性时变系统模态参数辨识方法。该框架采用自适应线性啁啾变换对能量集中较高的加速度响应进行时频分析，并通过自适应卡尔曼滤波器对各模态响应进行自适应分解。然后，基于分量响应信号的能量分析，识别时变系统的阻尼比。该方法不仅提高了瞬时频率提取的精度，而且保证了识别阻尼比的抗噪声能力。首先通过一个三自由度时变结构的数值模拟验证了该方法的有效性。然后，将该方法与传统的小波和时域峰值法进行了比较。识别结果表明，该方法能够在低信噪比场景下获得更准确的模态参数。

1.介绍

在过去的几十年里，系统识别技术在民用、航空和机械工程中受到了极大的关注[1］．其中大多数假设分析的系统是线性时间不变（LTI），即，这种系统的输出不会随输入的延迟而改变。然而，实际上，这种假设对于许多损坏或受到强烈激励的许多工程结构无效。因此，传统的模态分析方法和实验技术不适用于这些线性时变（LTV）系统[2］．在这种情况下，为了健康监测或损伤识别的目的，有必要发展可靠的方法来识别时变特征。

就LTV系统识别而言，已经为各种时变案件开发了许多方法。这些方法通常属于两类：时域方法和时间频率域方法[3.］．

在时域，由于LTV系统的时域描述非常方便，基于状态空间模型、时间序列模型等时变模型的辨识方法成为主要的研究对象。刘(4]提出了一种基于子空间的识别技术，并利用估计转移矩阵的特征值来表征动态特性。利用奇异值分解(SVD)构造子空间，但奇异值分解计算时间较长。作者在5- - - - - -7，进一步提出了改进算法以克服这一缺点。庞等人[7]采用投影逼近子空间跟踪(PAST)技术代替SVD。Zhou et al. [8]提出了一种改善识别质量的后处理方法，导致低信噪比场景。同时，基于自回归移动平均（ARMA）模型建立参数识别，该模型可以匹配现实世界过程的结构。为了处理非间断的信号并识别时变结构的参数，还基于时间依赖的自回归移动平均（Tarma）模型提出了许多方法[9］．TARMA模型简单有效，可以作为揭示非平稳信号动态特性的有效工具。然而，一个持续的挑战是如何建立一个精确的TARMA模型。典型地，递归最小二乘(RLS)方法和卡尔曼滤波器[10来解决这个问题。最近，Spiridonakos和Fassois [11]提出了一种用于非平稳信号建模的自适应函数序列TARMA模型，该模型采用b样条函数对TARMA系数进行自适应和结构化建模。Yang等人[12[]提出了一种矢量TARMA模型的移动Kriging形状函数模型，该模型在突变方面具有优势。

此外，由于LTV系统的响应是典型的非平稳信号，需要通过时频分析(TFA)工具对其进行处理，因此对时频(TF)估计进行了更广泛的研究，即采用Hilbert变换(HT)和小波变换(WT)。同时，随着TF理论的发展，TFA工具在求解时变方程方面也变得更加有效。Shi et al. [13首先解决了希尔伯特变换和经验模式分解（EMD）方法，以识别时变多程度（MDOF）系统。加恩姆和罗密欧[14提出了一种基于小波的辨识方法，该方法将控制微分方程投影到由有限小波张成的子空间上，并用伽勒金方法辨识参数。此外，Xu等人提出了一种基于小波的状态空间方法用于LTV系统识别。15］．侯等人[16，17[提出了一种基于小波的基于瞬时模态参数的连续小波技术。dziedziech等。［18利用基于小波的频响函数(FRF)对时变系统进行模态识别。Xin等人提出了一种基于经验小波变换(EWT)的LTV系统识别方法。19］．

从以上分析可以看出，传统的TFA方法适合处理LTV系统的这类非平稳信号。然而，由于其固有的限制，它们不足以提供高分辨率的TF表示。HT只有与EMD结合才能处理多分量信号，但EMD存在模态混叠和端部摆动现象的不足。对于短时间的TFA工具，如WT [20.，21，它们建立在所考虑的信号在短时间内分段平稳的假设上。这意味着它们本质上使用水平线来近似IF特征。为了提高TFA方法的性能，人们提出了许多有效的方法。一种相对有效的同步压缩变换(SST)策略[22就是将TF系数压缩到瞬时频率轨迹中。然而，强调制频率成分和噪声会严重破坏信号的原始TF表示。另一种被称为参数化TFA的策略是受到在小波变换中使用自适应窗口函数(如在基函数中加入啁啾率)可以获得更高的TF分辨率的启发。因此，由Deng等人设计了chirplet transform (CT) [23］．通过使用一个额外的参数，啁啾率，CT能够为线性调制信号创建一个集中的TF表示。为了根据非平稳信号的TF特征寻找最佳的啁啾率，Yu和Zhou [24]开发了一种名为GLCT的自适应算法。从振动响应的TF特性来看，LTV系统的响应通常表现为多分量调幅(AM)和调频(FM)信号。因此，CT特别适合于识别时变信号的瞬时频率。此外，对于带有噪声的非平稳信号，Vold-Kalman (VK)滤波器可以更有效地分解多分量信号[25与EMD相比。

本文提出了一种从LTV系统自由响应信号中提取独立模态的时频分解方法。基于GLCT提取中频作为信号的复载波，然后构造VK滤波器对信号进行自适应分解。利用该方法可以更准确地识别各时变分量的中频，并得到各信号分量的幅值包络。因此，提出了许多基于振幅包络的阻尼比识别方法，如时域法[26，27］．阻尼比的识别对于飞机颤振分析等工程应用具有重要意义。但由于振幅包络线容易受到噪声的干扰，导致阻尼比的识别精度远低于频率，因此该任务具有一定的挑战性。考虑到这一缺点，基于能量分析的改进[28，使识别方法对噪声不敏感。利用相邻半周期信号的能量比识别阻尼比，有效地消除了噪声对幅值的影响。本文的目的是提高瞬时模态参数的识别精度，即瞬时频率和阻尼比。

基于这一首要目标，本文组织如下:本节简要介绍了基于GLCT和VK滤波器的时频分解理论2．本节介绍LTV系统阻尼比识别的能量分析3.．部分4给出了一系列比较数值仿真实例来说明辨识的性能。在这些比较例子中，选择Morlet小波和时域峰值法进行比较，分别识别瞬时频率和阻尼比。最后,部分5提供关于识别结果的讨论和结论。

2.理论背景

采用自适应TF方法对振动信号进行分解，主要分为两个步骤:(1)利用GLCT对目标振动信号进行TFA，提取各时变分量的TF脊;(2)基于提取的TF脊构造滤波带，然后将目标振动信号分解为多分量的调幅和调频信号，得到幅度包络。将该方法应用于LTV系统，可以分别基于频域脊识别瞬时频率和基于振幅包络识别阻尼比。

2．1．广义线性啁啾变换(GLCT)

GLCT是对时变中频信号获得最佳解调算子的一种方法，在生成TF表示方面优于任何单独的CT。

根据Ville理论，具有时变IF的解析信号可以写成 在哪里为振幅为信号的中频。

在短时间内 ， 可近似视为线性方程，可通过泰勒展开: 在哪里IF在什么时候和是当时的一阶衍生物 ．

信号的CT其中认为时变解调算子可以写成 在哪里是窗口函数和为时变解调算子。

中频CT振幅（ ）可以通过

从方程(4)，可以看出，当在CT上与对被分析的信号，其CT幅值将达到最大值，从而得到能量浓度较高的较好的TF表示。但对于多分量信号，中频特征无法预知，因此很难准确地确定解调算子。

一个可行的解决方案是使用一系列离散解调算子来近似最佳解调算子[24］．解调算子实际上也是信号在TF结果上的旋转算子，旋转度为 ．所以一个参数引入来表征参数作为 在哪里取样时间和为采样频率。

以离散的方式，参数分为TF飞机上的值 到作为

然后，等式（3.)可以重写为

由此可以将高能量浓度的TF谱定义为 在哪里当CT振幅在TF点达到最大值时是离散值吗 ，哪一个可以计算

为了证明GLCT具有更好的TF表示，分别使用小波变换和GLCT对时变信号进行TF分析。结果如图所示1．结果表明，GLCT可以自适应跟踪不同TF点的瞬时频率轨迹。与小波变换相比，GLCT采用自适应窗口函数而不是矩形TF窗口来实现更高的TF分辨率。因此，该方法比传统的TFA工具更能自适应、准确地估计中频，特别是对于中频时变的信号。

2．2.Vold-Kalman过滤器

在非平稳信号分解方面，已经发展了各种有趣的方法，如EMD [13]，经验小波变换[19和卡尔曼滤波[29］．但是考虑在低SNR场景中具有时变的多组分信号，VK滤波器更适合分解该信号[30.］．针对VK滤波器首先需要对中频信号进行估计的问题，提出了一种新的时频分解方法。本节详细阐述了分解过程。

考虑由式中分量信号组成的多分量解析信号(1)，带有随机噪声，可以写成 在哪里信号的分量是多少是零均值白噪声。

用离散的方式，信号被改写为 在哪里和N为采样点的总数。

通过在多分量信号的TFA中使用GLCT，可以估计出各分量的中频。因此，复值载波可以构造。

2.2.1。结构方程

假定振幅包络是复载波的低频调制吗 ．换句话说，包络是由一个低阶多项式局部逼近的，并以某种特定的方式进行过滤。这个条件可以用一个带有非齐次项的结构方程来表示 ．多项式阶数表示滤波器极点的数目。的方程 -给出了极点滤波器

采取作为一个例子，给出了相应的方程

包含所有样本的结构方程组形式如下，可以写成矩阵形式:

2.2.2。数据方程

考虑测量噪声，测量方程以矩阵形式写入： 在哪里 ， ， ， ，和是抽样点的数量。

2.2.3。全球解决方案

方程组(15)和(16)是未知振幅包络的欠定系统 ．方程解的附加条件是非齐次项的方差和噪音必须是最小的，同时保持它们之间的给定关系。

方程的加权和(15)和(16)给出损失函数: 在哪里是一个权重因素。选择一个较大的数值作为权重因子导致频率域的高选择性过滤。相比之下，在低频分辨率下，通过选择较小的值来实现快速收敛价值。的极限值［30.]如表所示1．

方程的一阶导数(17)给出了该函数的最小值的一个条件，称为正规方程:

因此未知的包络线由方程式(18)．

3.线性时变系统的瞬时模态参数辨识

3．1.时变结构的模态响应

a的运动方程 -自由度LTV结构为 在哪里 ， ，和分别为时变质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;为位移响应向量，和分别为速度和加速度响应向量;和为结构上的激励力矢量。

结构加速度响应可以由的叠加得到振动模态响应[31，当脉冲力作用于 -自由度，加速度响应 -广义模态坐标为 在哪里和 ， ，和表示 -分别为模态阻尼比、模态频率和固有频率。它可以进一步写成多分量调幅调频信号的叠加。

时变结构的加速度脉冲响应信号类似于式(10)．利用本文提出的TF分解方法可以对其进行自适应分解，从而重构出各分量信号，即 ．

然后，可以通过使用以下估算器来识别瞬时模态参数：

３．２．识别阻尼比的能量分析方法

如已经注意到，IF的识别的更高精度是可以从建立的良好的TF表示中获得，而是基于等式中的幅度包络的阻尼比识别（21)，由于振幅包络线易受噪声干扰，识别精度较低。为了提高LTV系统阻尼比的辨识精度，提出了一种基于信号能量分析的LTV系统阻尼比估计器。

可以假设信号是在短时间内的时间不变（即，信号的频率在采样周期中不改变）。对于大多数信号而不快速时变，如果此假设真的有效。考虑一个时变信号，如图所示2；这个信号的零位置表示为 ，并认为在一个采样周期内IF为常数周围 ．也就是说，信号的中频来自于时间时间表示为 ．通过计算得到前半采样周期和后半采样周期的信号能量和 ，分别。它们是由

根据 ，方程(22)可以重写为 在哪里和 ，哪个可以通过实部来计算 ：

根据振动系统的固有特性，可以满足以下条件:

然后,可以重写为

同理，式(23)可以重写为 在哪里可以通过实部来计算 ：

由上式可得关系如下:

因此，当中频已被识别时，可以通过信号能量之间的关系来识别瞬时阻尼比和信号能量 ：

这样，阻尼比在每一点可以使用相同的方法识别。与基于幅度包络的识别方法相比，基于能量分析的方法可以有效地提高对噪声的鲁棒性。

4.仿真例子

为验证所提方法的有效性，对具有时变刚度和时变阻尼的三自由度质量-弹簧-阻尼系统进行了数值模拟。LTV系统如图所示3.．

初始参数由 给出了这种情况下的刚度和阻尼变化

假设瞬时脉冲激励作用于质量上在最初的时候利用该算法计算了结构的自由响应。采样时间为3s，加速度响应数据为质量如图所示4．然后对数据进行识别。

为了进一步验证基于GLCT的TF表示的自适应性和改进性，选择Morlet小波作为TFA工具提取IF作为对比。TFA结果如图所示5和6， 分别。可以看出，响应信号包含三个组件。第一个组件的IF随着时间的时间变化，并且其他两个组件的IF迅速变化。对于点周围的TF表示 ，基于GLCT的瞬时频率轨迹更加清晰和明显，基于GLCT的TF表示具有更高的分辨率。但是，在TF间隔 和 ，Morlet小波对于快速时变中频信号分量的TF表示似乎是不够的。

因此，可以通过TF脊提取来识别时变系统的中频。使用Morlet和GLCT提取的各模式的IF如图所示7- - - - - -9．图中黑线为理论值，红虚线和蓝虚线分别为GLCT和Morlet识别结果。结果表明，GLCT比Morlet具有更好的快速时变IF跟踪性能。

一旦识别了每种模式的IF，可以通过VK滤波器完全分离加速度响应的三个时变分量。分解结果如图所示10．

此外，还计算了三分量的幅值包络，可用于时变阻尼比的识别。为进一步验证基于能量分析的方法的鲁棒性，将式(21）用于估计作为比较的时变阻尼比。确定的结果显示在图中11- - - - - -13并且通过使用等式中的估计器观察到显着波动（21)．通过比较，基于半周期积分的能量法能有效地抵抗噪声，获得较高的识别精度。由于LTV系统的阻尼比识别具有挑战性，并且大多数模态识别方法都是无效的，因此在利用能量分析进行瞬时模态参数识别方面进行了重要的改进。为了研究识别方法的性能，进一步计算了总采样时间的均方根误差(RMSE)，以量化识别结果的准确性为 在哪里表示采样点的个数和和分别表示理论和识别的瞬时模态参数，即瞬时频率和阻尼比。因此,计算瞬时频率和阻尼比的值列于表中2．

为了进一步研究该方法的性能和可靠性，在结构响应中加入了不同的噪声信噪比。按照上述步骤识别瞬时模态参数，并进一步计算总采样时间内的平均绝对百分比误差(MAPE)，以量化识别结果的准确性为 在哪里表示采样点的个数和和表示理论和辨识的瞬时模态参数。

因此,计算测量噪音影响下的数值载于附表3.和4．

通过对比价值观和结果表明，该方法具有较好的时变参数跟踪性能。结果表明，该算法具有良好的自适应能力，即使在低信噪比的情况下也具有较高的精度。特别是在阻尼比识别方面，能量分析算法优于传统的时域方法。

在实际应用中，仅使用单次输出的一组数据即可识别瞬时频率和阻尼比。然而，对于LTV系统的模态振型估计，在该算法的执行过程中存在两个难点问题。首先，需要多输出的多组数据来建立模态振型矩阵。其次，需要识别每个时间点的时变模态振型，这将导致大量的计算。因此，需要进一步研究模态振型的估计，提高算法的效率。

5.结论

提出了一种基于自适应TF分解的LTV系统瞬时模态参数识别方法。该方法包括两个主要步骤。第一步是基于GLCT的中频提取算法。应用该算法进行VK滤波，将LTV系统的自由响应分解为多个模态响应。其次是基于各阶振型响应的能量分析算法，用于识别瞬时阻尼比。根据数值模拟的结果，可以得出如下结论:(1）对于LTV系统的响应信号，GLCT是一种比WT更有效的TFA工具。该方法能以较高的能量浓度获得较好的TF表征，从而提高中频提取的准确性。（2）由于小波变换本质上是一种信号滤波，应用高能量集中的TFA工具可以增强参数识别的抗噪声能力。采用GLCT进行VK滤波，不仅提高了分解的适应性，而且具有良好的抗噪声能力。从误差分析的结果可以看出，我们的方法具有良好的抗噪声能力。（3）通过加入不同的噪声信噪比，讨论了基于时域算法和能量分析算法的瞬时阻尼比识别方法。能量分析算法可以消除时域振幅波动的影响，提高阻尼比的识别精度。结果表明，与传统方法相比，能量分析算法具有更好的识别精度、收敛性和抗噪声能力。

数据可用性

用于支持这项研究结果的原始数据尚未提供，因为这些数据也是正在进行的研究的一部分。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家自然科学基金面上项目(no . 11172131, no . 11232007);江苏省高校学科优先发展计划项目资助。关键词:岩石力学，力学性能，数值模拟，数值模拟