主共振的范德堡尔振荡器在分数阶延迟反馈和强迫激励

文摘

主共振的范德堡尔振荡器在分数阶延迟负面反馈和强迫激励进行了研究。首先,基于平均方法得到近似解析解,它可以发现,分数阶延迟反馈不仅推迟了速度反馈的性质也推迟的位移反馈。此外,幅频方程建立了稳态解,和它的稳定性条件也得到了。然后,近似解析解和数值积分的结果进行比较和分析。两种方法之间的协议非常高,这样的近似解析解的正确性和准确性进行了验证。最后,所有参数的影响在分数阶延迟反馈的幅频曲线进行了分析。可以得出的结论是,分数阶延迟反馈有重要影响范德堡尔振荡器的动力学行为,这是非常重要的优化和控制一个类似的系统。

1。介绍

作为一个重要的数学分支,分数微积分已经研究了300多年。近年来,它已经吸引了更多的关注在很多研究领域,如物理、化学、力学、生物学、电磁学、材料科学和控制工程(1- - - - - -11]。这是由于这样的事实,许多功能在时间和空间分数阶微积分模型可以解释的,如内存和非定域性。目前,分数阶微分系统的形式可以分为两类。第一个是简单地将分数阶导数项添加到原始integer-order系统,以便建立一个分数阶系统。例如,沈et al。12- - - - - -16]研究了几个线性和非线性分数阶振子的平均法或增量谐波平衡法,发现分数阶导数都阻尼和刚度对这些振荡器的动力学响应的影响。陈等人。17,18]研究了响应的非线性分数阶高斯白噪声激励下振荡器。杨et al。19,20.]研究了非线性系统的随机响应Caputo-type分数导数受高斯白噪声。徐et al。21)提出了一种新的技术来处理具有分数导数的强非线性随机系统阻尼和随机谐波激励。另一个是动力系统的经典integer-order衍生品直接扩展到分数阶的,这样一个分数阶微分系统在状态空间。这种系统包括分数阶洛伦茨,范德堡尔,和杜芬系统,和一个可以学习的稳定区域,分岔,混沌,其控制(22]。例如,李和彭23陈]发现,混乱中存在的系统,利用分数阶微积分部分技术。艾哈迈德et al。24)提出了一些Routh-Hurwitz一些分数阶系统稳定性条件。李、吴(25]研究了混沌霍普夫分岔行为和在一个新的分数阶超混沌系统基于洛伦兹系统。Čermak和Nechvatal26]讨论了稳定性条件和洛伦兹系统的混沌行为涉及卡普托分数导数在0和1之间。

时间延迟是更常见的和不可避免的动力和控制系统,它可能导致不稳定的动力系统和损伤控制性能(27- - - - - -29日]。目前,一些研究已经进行分数阶和时间延迟系统。例如,邓et al。30.)的稳定性研究n维线性分式与时滞微分方程。史和王31日]介绍了分数阶延迟系统的BIBO稳定性判据。Babakhani et al。9)在社区学习解决方案的存在的平衡分数阶延迟微分方程和霍普夫分岔。

近年来,研究分数阶范德堡尔振荡器吸引了越来越多学者的关注。例如,郭et al。32,33]研究了稳态解的部分范德堡尔系统通过剩余谐波平衡技术与时间延迟。刘等人。34]分析了稳态响应的渐近行为分数范德堡尔振荡器的同伦分析方法和空闲内存的原则。谢和林35]研究了渐近解的范德堡尔振荡器与小分数阻尼通过使用双刻度扩张的方法。沈et al。36)获得了近似解析解的极限环范德堡尔振荡器与两种分数阶导数对振幅和频率和分析它的属性。温家宝et al。(37)的影响研究分数阶延迟控制parameter-excited Mathieu-Duffing振荡器的振动开关的基础上稳定。

不同于上述引用的主共振范德堡尔振荡器在分数阶延迟反馈和强迫激励分析研究了均值法。特别是在分数阶参数的影响延迟反馈范德堡尔系统的主共振进行了研究,计算过程的平均分数阶系统的简化方法。本文组织如下。节2主共振的近似解范德堡尔振荡器在分数阶延迟反馈。用等效刚度和阻尼系数的反馈增益,分数阶,定义了时间延迟等等。节3稳态解的稳定性条件。然后,近似解析解和数值积分的结果数值模拟比较的部分4。此外,在分数阶参数的影响延迟反馈的幅频方程给出。最后,取得的主要结论部分5。

2。近似解析解的范德堡尔振荡器在分数阶延迟反馈

范德堡尔振荡器在强迫激励和分数阶延迟负面反馈被认为是如下: 在哪里 , , , , ,和系统的质量、刚度系数线性非线性刚度系数、时间延迟、激励幅值、激励频率,分别是p阶的导数 来t ,和 是部分反馈增益。这里我们采用卡普托的定义22]: 在哪里是伽马函数满足 。

介绍以下转换: 方程(1)成为 在哪里自然频率和是一个小正的无量纲参数。我们专注于主共振的均值法(12- - - - - -15,37),这意味着 。因此,人能介绍 为了说明近似程度,是去谐因素。

然后,(4)可以写成

让 的解决方案(5)可以被假定为 的振幅和相慢变化函数的时间吗 。

用(6),(6 b)和(6摄氏度)(5),可以获得 在哪里

应用平均法(7一个)和(7 b在时间间隔 ,可以获得 在上面的方程中,是选为 如果 时间是一个函数 ,或 如果 是一个周期。人们可以获得的简化形式(第一部分9)和(9 b)

为了计算(第二部分9)和(9 b在文献[),可以使用公式3] 然后,它的收益率 因此, 类似的计算后,可以获得 这个计算过程是简单的比文献[37]。

结合(10)和(10 b)和(13)和(13 b),可以获得 用参数与原的,(14个)和(14 b)可以写成 因此,我们可以得到系统的近似解析解。重组(15一个)和(15 b),它的收益率 在哪里 分别定义等效阻尼系数和等效刚度系数。

从(16一个),(16 b),(17一个)和(17 b),我们可以得出结论,反馈增益 ,分数阶 ,和时间延迟有重要的影响和 。自反馈增益线性相关和 ,它会影响响应振幅和共振频率同时在范德堡尔振荡器。当分数阶 ,分数阶延迟反馈的功能延迟位移反馈和延迟速度反馈。当 ,分数阶延迟反馈几乎相当于推迟位移反馈。然而,它几乎是一样的延迟速度反馈的时候 。此外,我们可以发现振幅和共振频率周期性的变化的影响 。

3所示。幅频方程近似解的稳定性条件

现在我们研究稳态解,在振动控制哪个更重要和有意义的。通过将 和 在(16一个)和(16 b),我们可以得到 在哪里和稳态解的振幅和相位,分别。

消除从(18一个)和(18 b),得到幅频方程如下:

为了简单起见,可以定义一个 然后,另一个等价的形式(19)可以写成 从(24),我们可以看到,可能有一个或三个稳态解的主共振。接下来,我们研究稳态解的稳定性。让 和 和线性化(16一个)和(16 b) ,它的收益率

结合(18一个)和(18 b),可以消除从(22)和(22 b),得到特征方程如下: 也就是说, 在哪里 基于赫维茨判据,可以获得稳定的充分必要条件的稳态解如下:

用(25)(26),可以获得稳定的条件

4所示。数值模拟和系统参数的影响

4.1。比较近似的分析和数值解

为了验证的正确性和精度的近似解析解,数值结果(1)提出了比较近似解析解和数值解之间的差异。一个说明性的例子研究这里所定义的系统参数: , , , , , 。

这里我们选择时间延迟 、2.25和1.5,分别可以获得三种不同的反应模式的幅频曲线如图1稳定的解决方案,实线和虚线是不稳定的。

下一个数值公式(22采用如 在哪里 是时间采样点,步长,的分数二项式系数的迭代关系

让 ,在那里是自然数,可以获得(37]

基于(28)- (30.),一个可以得到的数值迭代算法(1)如下: 在哪里 位移, 是速度, 位移的分数阶导数。在这里,我们选择 ,总计算时间通常是300年代。省略额80%的响应,取最大值后20%响应稳态振幅的数值结果。作为比较,数值积分的幅频曲线也显示在图1用小圆圈。从图1,它可以发现近似解析解非常同意数值结果和达到满意的精度在所有三个反应模式。

4.2。部分参数对幅频曲线的影响

现在考虑到系统参数 , , , , ,可以得到幅频曲线如图2当分数反馈增益各不相同。从图2,可以发现部分反馈增益时响应幅度减少逐渐减少,这意味着系统的等效阻尼的增加而减少 。此外,共振频率将增加与减少的部分反馈增益 ,这是因为等效刚度系数也变得更大。在这个过程中,系统的幅频曲线左移。从图2(一个),可以发现甚至幅频曲线的拓扑结构改变的变化 。可以看出,分数阶反馈增益的降低导致共振频率的增加(即。,natural frequency) of the system, and the amplitude-frequency curve is shown to be shifted and its topology structure is also changed.

接下来,我们选择系统参数 , , , , 。当分数阶变化,可以得到幅频曲线如图3。它可以发现分数阶越大 ,最大振幅越大。原因是等效线性阻尼系数随着分数阶的增加将减少 。此外,共振频率会随着分数阶的增加更大 ,这是由于等效刚度系数也变得更大。在这个过程中,系统的幅频曲线左移。从图3(一个)它可以发现,幅频曲线的拓扑结构的变化将会改变 。

然而,上述分析只适用于这种情况 。当时间延迟需要另一个值,分数阶的影响在这个系统上可能会有所不同,这是由于分数阶耦合与时间延迟吗三角函数在分数阶延迟反馈。

最后,系统参数选择 , , , , , 。幅频曲线如图所示4当时间延迟需要一些不同的值。从图的观察4(一),可以发现系统的响应幅度逐渐增加,当时间延迟从0.5增加。同时,系统共振频率降低,系统的幅频曲线变化从右到左,及其拓扑结构的变化。从图4 (b)我们可以看到,系统的响应幅度开始逐渐降低,当时间延迟继续增加。此外,共振频率增加,系统幅频曲线左移。如图4 (c),它可以发现系统的响应幅度又开始逐渐增加随着时间的延迟继续增加。与此同时,共振频率降低,系统的幅频曲线逐渐转移到正确的。很容易看到,图的幅频曲线4 (d)随时间延迟如图4(一),这是由于等效阻尼和等效刚度包含三角函数(17一个)和(17 b)。人能获得 。因此,时间延迟定期会影响系统的幅频曲线(见图5)。

5。结论

范德堡尔振荡器的主要共振根据平均分数阶延迟负反馈和强迫激励方法研究,和获得的近似解析解。稳态解决方案和稳定性条件。分数的影响反馈,分数阶,和时间延迟的解决方案进行了分析,以等效阻尼系数和等效刚度系数。此外,它是发现,分数阶延迟反馈参数的变化可能会改变振幅和拓扑结构的幅频曲线。这些结果有重要影响的动力学行为和可能具有重要意义的优化和控制一个类似的系统。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者感谢中国国家自然科学基金委的支持(没有。河北省11672191),几百人才创新项目(SLRC2017053),和领导人才的培训大学河北省创新研究团队(LJRC006)。

引用

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