文摘

本研究关注的是克里格元建模为基础本文提出的算法为与参数相关模式预测耦合不稳定性。目前使用的高成本parameter-dependent复特征值分析(CEA)已经引起越来越多的替代方法的必要性。因此,本研究主要探讨克里格的能力元模型是合适的选择。对于这个目标,克里格元模型,提出了预测的稳定行为four-degree-of-freedom机械系统提交friction-induced振动。这个系统被认为是两个配置定义两个与聚结稳定性行为模式下不同的复杂性。克里格然后评估效率配置。在这个框架中,提出了克里格代理方法包括基于模态保证标准模式跟踪方法(MAC)为了遵循机械系统的物理模式。基于数值模拟,证明了比较与参考parameter-dependent东航提出克里格代理模式可以提供高效、可靠的预测模式耦合不稳定性与不同的复杂的模式。

1。介绍

机械系统的研究受到friction-induced振动受益于日益增长的兴趣由于大量的机械工程领域的应用。不同的和复杂的机制,可以负责不良的不稳定性在许多机械系统的动态特性和外观都进行了广泛的研究在过去几十年(1- - - - - -5]。通常有两种不同的机制可用于分析和分类定义的起源friction-induced系统不稳定:第一个是主要是由于摩擦学性能,而第二个依赖几何条件。而摩擦系数的变化被认为是最重要的一个因素的出现第一类(即不稳定局势。在摩擦学的方法)的情况下,friction-induced振动的来源,而相关运动学约束或sprag-slip现象(6),在第二种情况下(即模态耦合。,在case of a structural dynamics approach based on geometrical conditions). In this last case, the emergence of instability can be detected even with a constant friction coefficient. In the present study, this last approach that is based on structural coupling mechanism will be discussed.

如今,两种分析经典被用来进行数值研究friction-induced机械系统振动和动态不稳定:复特征值分析(CEA)检测频率不稳定7,8和时间分析来确定自激振动9,10]。正如前面文章所解释的(9,11,12),这两种方法各有优缺点。然而东航计算的基础方法和自激振动时可能会变得过于昂贵的参数分析和/或不确定性传播需要工程设计问题(13]。在这些情况下,它可能是值得努力的发展基于代理模型的复杂的方法来优化设计或设计空间近似(即执行。模拟)。替代任何复杂模型的主要目的是通过一个合适的代理模型之间提供一个方便的妥协其预测的准确性和成本相关的实施。在目前的研究中,一个是兴趣估计不稳定的发生在一个预定义的设计空间近似。在这种情况下,代理建模的主要目的是生成一个代理尽可能准确的预测不稳定的发生在感兴趣的完整的设计空间,使用尽可能少的仿真评估。这样的近似模型,称为元模型或仿真模拟仿真模型的行为(即。,estimation of all the real and imaginary parts of eigenvalues in our case) as closely as possible while being computationally cheaper to evaluate. It may be noted that the accuracy of the surrogate depends on the number and location of samples in the design space of interest required for its implementation. Moreover, surrogate models are characterized by some tuning parameters that control their accuracy.

friction-induced振动领域,开发了众多的形式来定义代理模型的预测模式耦合不稳定性。代理模型,基于广义多项式混沌(GPC)形式主义14)提出了最后一个十年来处理机械系统的稳定性受到friction-induced振动下的不确定性(15- - - - - -18]。这种方法已经提出了传播的不确定性所描述的概率密度函数在系统提交friction-induced不稳定,一个任务时禁止使用蒙特卡罗方法执行。后者是利用尖叫发生的概率的估计(19)和其他几个研究作为参考方法(15- - - - - -17]。所以治理GPC形式主义的主要思想包括表达系统的自由度或功能空间内的特征值由正交多项式,对概率的措施与系统的设计参数。混乱秩序是最重要的调优参数是固定在一个合适的值从收敛性研究。这个概率代理模型展示了一个有趣的传播效率和量化不确定性等的稳定行为系统。然而,它可能会存在一些限制,当不确定参数的数量相对较高和/或当需要高混乱订单特别是随机的强烈非线性的函数空间。在这最后的情况下,代理模型基于多元素GPC(很有用20.]。响应面方法(RMS)也提出了(21)处理的稳定性、可靠性和灵敏度分析制动系统提交间隔和随机不确定性。使用基函数的提出了代理模型由单项(定义的不确定参数)来表达系统的特征值。相同的代理模型提出了(22]区间下制动系统的优化设计和随机不确定性。另一种方法包括基于微扰原理构建代理模型(23]。在这种特定的情况下,主要的原则在于表达系统的特征值通过泰勒扩张不确定参数的平均值附近。例如,Butlin提出的一阶摄动方法和柴棚24)量化的敏感性friction-induced设计参数不稳定。此外Nobari等的最新研究。25)提出了一种二阶泰勒展开估计特征值的统计特性描述模式耦合不稳定性。尽管它的效率,这种方法有一定的局限性,特别是当标准差的参数是很重要的。

另一种类型的代理模型可以构建基于克里格方法(26,27]。这种方法利用少量的函数值之间的空间相关性产生一些样品合适的体验计划,预测未知函数的值在其感兴趣的设计空间。基于克里格模型由两个主要部分;回归模型大致代表了全球趋势分析函数,第二部分是定义为一个随机过程表示感兴趣的设计空间的空间相关性。广泛的评论克里格元建模仿真和其他应用程序在灵敏度分析和优化设计过程中可以找到(28,29日]。

在最近的过去,尖叫的预测不稳定在通过代理制动系统建模引入了Nobari et al。30.)和Nechak et al。13)为了构造一个预测尖叫不稳定。然而,这两个有趣的研究仅限于不稳定频率的估计没有考虑到预测的稳定模式或系统的行为出现之前尖叫不稳定。扩展的预测(即稳定和不稳定的行为。,estimation of all the real parts and imaginary parts of eigenvalues) for mechanical systems subjected to friction-induced vibrations via surrogate modeling is proposed in the present study. Furthermore, the construction of a surrogate model for each separated mode is carried out with a careful selection of output data, due to the evolution of the complex eigenvalues and the order of the modes when some specific parameters change. If the surrogate model is not constructed by paying attention to this point, errors due to an improper surrogate model will appear. To overcome this difficulty, a tracking process based on the Modal Assurance Criterion (MAC) is proposed in conjunction with the generation of kriging surrogate models characterized by their tuning parameters, namely, the order of the regression model, the spatial correlation model, and the size of the experience plan. The two previous studies [13,30.)没有详尽分析了这些调优参数的影响在克里格的准确性不稳定的预测机械系统受到friction-induced振动。

主要目的和本文的独创性在于分析性能(精度和成本)的克里格代理模型对其调优参数,当处理的预测不仅模式耦合不稳定性,而且完整的近似的实部和虚部的稳定和不稳定模式。进行这样的研究和验证的方法论构建克里格代理模型与一个跟踪过程,数值模拟将最小four-degree-of-freedom模型上进行。两个特定数值的情况下将调查:第一个将古典基线(即“一个简单的模式耦合机制”。合并两种模式,一个是不稳定和其他不稳定)。第二种情况处理更复杂的模式耦合机制与不稳定的连续出场和失踪,和模式之间的交叉现象。

本研究组织如下。首先,给出了机械系统在研究和经典稳定性分析(即。CEA)简要讨论。然后,构造克里格代理模型的方法。该程序允许不仅模式耦合的预测不稳定,而且预测所有的复杂机械系统的特征值(即。实部和虚部的稳定和不稳定模式)通过执行模式的选择和安排通过合适的MAC标准。本研究的最后一部分致力于数值结果的报告和讨论。

2。机械系统和稳定性分析

2.1。现象学的描述模型

图1显示了最小four-degree-of-freedom模型用于本研究。这个现象学模型都有它的起源在前面提出的两个自由度的模型Hulten [31日,32),被用来指出阻尼的作用和扰动悖论33提交)和预测模式的耦合不稳定性参数的不确定性(15- - - - - -17,34]。在目前的研究中,这个最小Hulten模型的扩展,提出了以multi-instabilities调查此案。模型包括两个群众和举行针对移动乐队处理如图1。联系群众和乐队之间由板块由弹簧和阻尼建模。群众和由一个弹簧(即线性耦合。、刚度)和相关的阻尼。为了简单起见,假设两个群众和三个乐队接触的表面总是由于预加载应用于机械系统。考虑四个板块之间的摩擦力和三个乐队,摩擦系数被假定为常数。它的价值是相同的所有接触和经典的库仑定律。移动的速度带被认为是常数。此外,带速度和位移之间的相对速度的质量被认为是积极的切向摩擦力的方向不会改变。根据库仑定律,切向摩擦力被认为是与法向力成正比(例如,,在那里是摩擦系数)。

four-degree-of-freedom模型的运动方程可以表示为 在哪里位移矢量定义为。和分别相关的加速度和速度矢量。,,分别是质量、阻尼和结构刚度矩阵的机械系统。矩阵对应于四个板块之间的摩擦的贡献和三个乐队。质量矩阵的表达式,阻尼矩阵结构刚度矩阵和刚度矩阵由于摩擦力给出

2.2。基于复特征值分析的预测不稳定

从文学,它是承认,通常有两个不同的和互补的方法来预测机械系统受到friction-induced振动不稳定:CEA和动态瞬态和静止的分析。两种方法各有优缺点,分别可以执行。正如前面解释Sinou et al。9,10),计算非线性瞬态或/和静止的自激振动和噪声的估计35,36定义最相关的过程检测是否存在不稳定的机械系统受到friction-induced振动。然而,计算方法往往是不幸的是太贵了。从这个角度来看,方法基于CEA经常为了预测不稳定在给定的频率范围。即使它可能导致低估或高估的不稳定模式中观察到非线性时间仿真,这是现在常用的行业。的一个主要东航的局限性在于发病的预测不稳定的本地(即有效。附近的一个给定的静态平衡点)。

friction-induced不稳定使用众所周知的东航的预测是基于系统的特征值的数值分析。假设一个解决方案的形式(复杂系统的特征值和对应相关的特征向量),系统(1)成为 所以系统的稳定性可以通过执行调查的一个特征值分析特征方程 由于非对称刚度矩阵的贡献机械系统可能会变得不稳定。基于CEA的稳定性分析是基于系统的特征值由复杂的根源特征多项式。事实上,根据李雅普诺夫理论,系统的渐近稳定性(1)是说如果所有特征值与系统而严格的负实际部分据说是不稳定的(即。,出现一个或多个不稳定)如果至少有一个特征值有正的实部。相应的虚部定义了脉动的不稳定模式。的数量(即不稳定模式。,在stabilities) is related to the number of eigenvalues with a positive real part.

3所示。克里格模型进行稳定性分析

在本节中,使用代理模型的上下文中复杂机械系统特征值的预测受到friction-induced振动将。代理模型的建设将使我们能够复制所有昂贵的模拟输出(即。,the prediction of all the eigenvalues based on the CEA in the present case) while requiring a limited number of simulations and thereby avoiding considerable resources in terms of both computation time and data storage.

在接下来的部分这一节中,特征值的数学公式的克里格预测将首先提出。其次,需要实现一个基于MAC跟踪流程标准都将讨论复特征值。

3.1。克里格的数学公式

克里格,也叫高斯过程,是一个允许估计的插值方法的响应面函数从一个相对较少的模拟在采样点生成的随机或伪随机函数的参数空间。利用原则是基于修正的一个粗略的近似线性或非线性回归模型通过使用一个零均值高斯过程的特点是空间相关函数估计参数空间中的两个点的相似度。克里格的基本思想是通过考虑在续集的响应表面特征值的估计。从这个角度看,我们考虑采样点在维空间参数和相关的特征值。每个输出从解决parameter-dependent获得特征方程: 在哪里,系统的矩阵评估吗th样品的参数。

基于克里格理论(26,27,37),一个parameter-dependent特征值可以表示为 第一项在哪里吗多项式基函数加权的回归参数。它描述了全球趋势近似函数的参数。第二项是一个高斯过程的实现,认为为值和协方差函数由 在哪里过程方差和吗尺度参数的空间相关函数吗,被期望算子。相关函数是单调函数取决于之间的距离和。这个函数是两个相同的点建立这样一个统一的关联当两个无限分离点零相关。它具有以下形式: 基本功能表1。

三个参数需要确定定义克里格模型(6),即回归参数,这个过程方差和尺度参数。自和是端依赖,后者必须首先估计。这是由解决以下最大似然函数: 在哪里相关矩阵的行列式吗给出的是谁的条目与和。然后,通过考虑培训矩阵定义在生成的回归函数的评价样品和定义的条目之一(与和),回归参数向量被定义为 如下回归的最小二乘解的问题: 在哪里包括特征值获得的样本parameter-dependent特征方程的解决方案(5)与生成的样本与。相关的方差是由 因此,根据(26),可获得最佳线性无偏预测的一个特征值如下: 在哪里是向量包含的值之间的关系的输入采样点与和参数变量。

在目前的研究中,代理克里格模型通过使用Matlab工具箱鲦鱼由桑德迦et al。27]。

3.2。有效的代理模型基于模式形状的尖叫声不稳定判据

因为复杂的演变特征值和相关联的顺序模式可以改变参数改变时,必须遵循所有的进化分离特征值和相关的特征向量计算通过东航为了构建一个可靠的代理模型复杂的特征值。

最有效的方法之一,允许一个精确的跟踪模式进化是比较两组模式和执行这些套模态向量之间的配对使用MAC。MAC,对应于一个测量线性或一致性程度的模态和模态向量是由另一个参考 在哪里指定复杂的共轭转置向量。和定义了模式(即形状。,eigenvector) of the baseline system and the mode shape of the modified system. This criterion can be used for both real-valued and complex-valued vector and is insensitive to the phase and to the norm of和。也适当的情况下单相向量。因为MAC标准是基于平方误差的最小化两个向量之间的空间,一个主要的缺点使用MAC的标准是其敏感组件模式形状(即较大的值。特征向量)。此外,低敏感性降低组件的数量特征向量时另一个潜在的限制在两组之间进行配对。

这个经典的MAC曾经成功地使用Nobari et al。30.)为了确保相同的不稳定模式用于构造预测。作者提出了相关的修改不稳定模式形状随机输入(由于随机化的材料属性参考系统)与基线确定的设计。

4所示。数值结果

本节讨论表演的克里格元模型对他们的调优参数(即。,the order of the regression function, the spatial correlation function, and the size of the experience plan) in the prediction of the parameter-dependent stability and instability regions in the design space. In this perspective, two configurations are considered with the set of parameters presented in Table2。

的两个研究配置不同于对现象的复杂性中观察到的耦合模式,主要是由于耦合刚度参数定义的程度两个物体之间和。第一个配置可能被视为古典基线与“一个简单的模式耦合机制”:它对应于两个解耦的聚结的两种模式(每个合并一个模式是不稳定的,另一个是稳定的)。第二个配置产生一个更复杂的合并模式包括更复杂的模式耦合机制与不稳定的连续出场和失踪和稳定和不稳定模式之间的交叉现象。这些行为主要是由于两个物体之间的“高耦合”和。考虑两种构型的主要目的是观察的影响提出系统的复杂性不断增加(克里格表演。

此外,两个,三维参数空间的影响被认为是为了分析参数空间的维数在克里格的性能。所以两个研究和分别执行。

为读者理解,以下提出的研究和相关的结果如下:(我)“参考”是没有任何代理模型计算。一个经典参数研究与基于CEA的稳定性分析方法与配置和两组执行。结果构成了数据库用来评估的有效性和性能所构造的克里格元模型。他们是通过考虑摩擦系数和刚度系数和周围群众的名义值。(2)计算使用克里格执行元模型预测的复杂特征值。在这种情况下,所选样本的克里格模型被均匀的设计空间。这个选择并不一定是最优的,但使研究更具体地说不同的回归模型的订单(0,1,两个)和不同的空间相关性模型(线性、高斯指数、立方和球)。(3)计算基于克里格代理模型使用拉丁超立方体抽样(lh)进行。本研究的主要目的是分析效率的克里格元模型结合减少样本数据集。

4.1。参考模型

如前所述,基于CEA的稳定性分析方法是由抽样维空间参数(即。,产生的样本集为解决,对于每一个样本,特征方程(5))。这种方法的主要缺点是它引起的高成本高一些覆盖整个参数空间所需的解决方案,从而确保自信的稳定性分析。还必须指出的是,这个成本是更重要的在处理大规模系统(见[13])。在这项研究中,样本的数量是固定的如果(例如,100两个参数的值的离散化和),如果(例如,离散化的100的每个参数的值,)。

首先,演进系统的特征值(包括实部和虚部)两个参数和绘制在图2两种构型。两个不同的机械系统显然是观察到的行为。如数据所示2(一个)和2 (c),第一个产生两个独立的(即经典模式耦合现象。两个分离的单质量Hulten系统)。可以观察到两个独立的双特征值。为每一对对应的频率近似彼此当摩擦系数增加,直到聚结。这个点附近的真正部分特征值分开。首次检测到不稳定而第二个出现不稳定。的相关频率不稳定的模式赫兹和分别赫兹。每个合并模式似乎不受其他模式耦合。它也观察到,增加刚度参数的值提出了幽灵的接合点。图3 (e)显示了实部和虚部与演进和在复杂的计划。为读者理解,值得记住的是,所有的数值结果通过东航不使用跟踪过程基于MAC标准这些最初的案例研究。然而,我们选择使用MAC标准为了画出四个不同的颜色映射的实部和虚部。在这个框架中,MAC标准仅用于图形表示的结果。

然后,数据2 (b)和2 (d)第二种情况说明合并模式。演进的实部和虚部与和在复杂的计划也显示在图3 (f)。虽然“经典简单的模式耦合现象”观察第一配置第二个案例研究提出了更复杂的合并模式。三个模式耦合发现:第一个出现不稳定模式的频率等于赫兹;检测到第二个和第三个模式耦合和,分别。相关的不稳定模式的频率等于赫兹和分别赫兹。此外,观察到的模式参与几个连续耦合聚结(见,例如,两种模式代表的橙色和黄色的地图)。最后,稳定和不稳定模式之间的交叉现象也观察到(参见两种模式代表的橙色和黄色映射图2 (d))。

为了研究克里格代理模型的效率和提供方便的查看元模型对实部和虚部与参考基于东航相比,我们建议把信封(即。的最小值和最大值)为每个特征值的实部和虚部的同时保持表示根据控制参数变化。例如,数据3(一个)- - - - - -3 (d)显示每个信封的表示为实部和虚部的前两个案件。此外,演进的特征值在复平面都是用来比较结果通过克里格代理模型和参考。这些结果为参考模型在数据绘制3 (e)和3 (f)而不稳定的模式特征的稳定和不稳定的设计空间也显示与图的两个设计参数4两个配置。

此外,跟踪系统的特征值的数值研究对三个设计参数是为了执行调查构建克里格的潜在代理模型:摩擦系数在和刚度和的围绕其平均值。结果显示在图5 (e)和5 (f)代表的进化特征值的复杂计划假设的变化,,。演进的信封(即。,the minimum and maximum values) versus the control parameter如数据所示5(一个)- - - - - -5 (d)。所有这些结果通过CEA执行将被用作参考数据,以评估的准确性了克里格代理模型在以下研究。

4.2。克里格代理模型

表演的克里格预测基于元模型的模式耦合不稳定性评估对他们的调优参数,即回归秩序,空间相关性模型和训练数据的大小。同时使用的两套参数配置之前也考虑。此外,两个经历计划用于生成训练数据。第一个是一个线性网格。第一部分的目标是进行一项研究,而专用的调优参数的影响通过考虑设计空间均匀输入数据。第二个计划是基于lh的经验,是一种广泛使用的方法来生成控制随机样本。这里的最终目标是分析克里格的能力元模型来处理复杂性水平不同引起的输入参数的维数空间和各种合并模式。

4.2.1。准备研究从线性:训练数据网格

二维线性采样网格生成的二维参数空间定义的摩擦系数和线性刚度(例如,)。生成的样本用于建立培训矩阵和相关矩阵与不同的回归模型相关的订单(0,1,两个)和不同的空间相关性模型(线性、高斯指数、立方和球)。我们有兴趣的演进围绕系统的特征值(实部和虚部)和摩擦系数。

想象的和实际的二次平均误差部分的每个特征值和相关的最大绝对误差为不同的回归和相关性克里格函数给出了表3,4,5,6第一配置(在表7,8,9,10第二个配置)。二次平均误差的虚部用以及二次平均误差对实体零件用计算平方根的方块的意思如下: 在哪里定义样本的数量。和对应的脉动参考模型和克里格代理模型,分别。和对应一个特征值的实部参考模型和克里格代理模型,分别。

结果显示影响的回归和相关功能基于克里格预测的准确性。此外,他们是不同的配置。每个特征值需要一个克里格元模型与特定的回归和相关函数(不一定是相同的所有特征值),以确保合适的精度水平。事实上,第一配置为例,它可以观察到,克里格预测的准确性测量的二次平均绝对误差是比较适合所有的元模型。然而,对于相同的特征值实部和虚部,平均精度是弱敏感调优参数(回归秩序和相关函数类型)。相对变化预测的准确性,而克里格之间观察到不同特征值的元模型。的最大绝对误差表明,克里格元模型构建与一般的指数函数预测最好的和敏感的精度在所有特征值实部和虚部。的确,最大错误记录的总和为所有特征值是固定的(实部和虚部)。基于克里格预测(通过使用通用指数函数二阶回归函数)和参考预测信封的特征值(实部和虚部)参数的变化引起的策划与摩擦系数在数据6(一)和6 (c)。此外,图6 (e)显示演进特征值的第一个配置复杂的计划。显然表明,基于克里格预测全球显示相同的倾向作为参考,这样整体稳定的行为特点是考虑参数区间内的聚结模式是忠实地代表。事实上,克里格预测,建立了利用通用指数相关函数和二阶回归函数,有适当的建模的影响第一不稳定参数的信封尺寸是合适的估计。否则,克里格基于元模型还预测的任何影响位于第二不稳定和相关联的耦合模式。

其次,演进的特征值(实部和虚部)策划第二配置使用一般的二阶回归函数的指数函数。比较的参考模型和选择克里格代理模型见图6。更具体地说,数字6 (b)和6 (d)给信封特征值与想象的和现实的部分。图6 (f)给演进特征值的复杂的计划。显然说明复杂的合并模式与三个模式耦合:很好复制的模式参与几个连续耦合聚结稳定和不稳定模式之间的交叉现象。信封中相应的不稳定维内间隔和,分别。此外,复平面的参考和克里格代理模型非常相似。所以增加了系统的复杂性(如提出了第二个配置)通过增加耦合刚度没有强烈影响的平均精度基于克里格预测(见表7和9)。最后,它还指出,一般指数相关函数也让不那么敏感的准确性对特征值(实部和虚部)和回归秩序。这是固定金额表示的最大绝对误差在克里格预测(实部和虚部),表中给出8和10。否则,它指出从图7的数量不稳定模式和设计参数和是克里格预测的模型构建两个考虑配置。事实上,引用的比较确定的结果显示了合适的稳定和不稳定区域的准确性了克里格估计的元模型。从所有这些结果,提出了克里格代理模型的效率得到了明确的论证。最小和最大信封是适当近似为所有真正的零部件和频率。所以克里格模型不仅能够再现经典基线(即第一个配置。,coalescence of two modes, one being unstable and the other stable) but also the more complex modes coupling mechanism with the successive appearances of instabilities and the crossing phenomenon between modes (as proposed for the second configuration).

4.2.2。研究从一个拉丁超立方体抽样:训练数据

在前面的部分,生成的克里格的训练过程元模型是由使用数据生成的线性参数空间的烧烤。事实上,线性网格并不一定是最优规划一个有效的培训给予合适的准确性和成本之间的妥协(训练数据的大小)。因此,在本部分中,使用基于lh的伪随机抽样。它是一种广泛使用的方法来生成控制随机样本。它是基于基本的想法使采样点分布概率密度函数。相反的线性网格,培训过程的性能不仅取决于大小的lh计划还在的位置生成样本参数空间的样本是伪随机生成的。因此,为了分析克里格的表现对lh的大小计划考虑样品的位置在参数空间中,我们已经考虑了克里格的收敛性研究从统计角度。这是由生成lh规划不同的大小。相对误差的平均值和标准差与特征值的预测信封(实部和虚部)与lh计划使用的大小决定的。结果显示在图8。

结果显示一个明确的减少平均相对误差的大小与lh的计划。越来越多的点诱发的减少意味着相对误差以及相关的标准偏差。例如第一特征值固定政权的平均相对误差和标准偏差达到点。在这个层次上,克里格预测的准确性是弱依赖于参数空间中的训练数据的重新分配。达到固定误差水平的实部虚部虽然较低。否则,它可以指出大小收敛所需训练一个韩计划强烈小于所需的一个线性网格()。然后图9显示,基于两个考虑配置,克里格预测特征值通过使用一个lh的信封,显示已经以少量的分好的结果。然后,数据9(一个),9 (c),9 (e)说明聚结模式(即第一配置。“经典简单的模式耦合现象”)。显然表明,lh的克里格模型能够有效地复制和准确稳定行为和聚结模式的参考模型(即。,实部和虚部与演进考虑到参数的变异性)。此外,数据9 (b),9 (d),9 (f)显示结果为第二个配置。稳定的行为分析和两个参数和。这是由决定的数量不稳定模式。后者是克里格估计的模型,和相对于参考的结果显示在图10。它可以观察到,稳定和不稳定区域是准确地预测。否则,它可以指出,即使被认为是更复杂的合并模式,仍有可能再现连续稳定系统的行为和模式耦合与lh利用克里格模型。

总之,提出克里格代理模型与lh的效率得到了明确的论证。所以,几乎相同级别的错误,大小训练数据的lh计划相比,大大降低了线性网格(参见前面的部分4.2。1)。

4.2.3。研究

在这最后一节中,克里格元模型是预测模式耦合三维参数空间定义为内的不稳定。之前的调优参数确定二维研究保存在下面。增加了复杂性的影响的维度空间的参数就可以进行分析。所以一般使用指数相关性和二阶回归函数。训练数据生成3 d lh计划参数和与群众平等在他们的价值和意义在统一的时间间隔。它的大小已经固定。信封系统的特征值引起的群众认为参数估计和策划维度。结果呈现在图11两个配置。数据11 (c)和11 (d)有比较的数据吗5 (c)和5 (d),分别。

第一配置比较数据(11日)和11 (c)的数据5(一个)和5 (c)分别刚度的变化会影响特征值和两个低脉动而不是别人。这敏感的参数是由克里格使用元模型建模以及稳定的行为。聚结模式适当预测参数空间的维数增大,没有负面影响克里格元模型的性能。

对于第二个配置,比较数据11 (b)和11 (d)的数据5 (b)和5 (d)分别特征值更传播的信封和一个特征值能有积极的实部,系统总是不稳定的。在这种情况下,克里格元模型还预测在信封的传播特征和由此产生的不稳定的行为。增加所涉及的参数空间的维度的增加lh的大小的大小,因此训练数据捕获诱导对特征值的影响。

为了调查的贡献利用克里格元模型比较经典的参数东航,计算成本由两种方法给出了稳定性分析表11和12。这些结果强调该方法的计算成本越少与lh和使用克里格元模型的不可忽视的贡献。此外东航的数量实现为了执行克里格元模型的稳定性分析是大大降低,如表所示13。减少水平更重要的是当使用lh的克里格代理模型确定的计划。

5。结论

基于潜在的克里格元建模预测的模式耦合不稳定性进行了分析研究。分析进行了为了提出一个合适的替代的parameter-dependent CEA在大多数情况下是过于昂贵。在这个角度看,four-degree-of-freedom机械系统受到friction-induced振动和模式耦合不稳定性被认为是两种构型。这些收益率两个不同的稳定的行为模式耦合的特征合并模式与不同的复杂性。克里格元模型的目的是评估性能稳定行为的复杂性。结果表明克里格元模型的一个有趣的效率比较parameter-dependent CEA方法以来,相同级别的准确性,结石的数量已被证明是大大降低了。这个效率是不过是依赖于稳定行为的复杂性。事实上,在所有的克里格调优参数,经验计划是最影响的大小。大小密切依赖于聚结点数的数量,因此模式耦合不稳定性需要预测。因此,在本研究结果给强大的指标克里格的能力有效地用于预测一项正在进行中的工作的尖叫声。 Otherwise, the design space of the used system has been defined to capture some complexity patterns related to mode coupling instabilities, the main aim being the assessing of kriging abilities to model and predict these instabilities. Other phenomena with different complexity levels are not necessary captured with the considered parameter set. This issue will be addressed in a future study.

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是在标致雪铁龙Stellab program-OpenLab(电子邮件保护)((电子邮件保护))。j j。Sinou承认法国大学医疗研究所的支持。