主轴系统的自由振动建模:一个校准动态刚度矩阵

文摘

轴承的影响对机床主轴的振动行为调查。这是通过校准的发展动态刚度矩阵(CDSM)方法,在轴承的灵活性是由无质量的线性弹簧元素可协调的刚度。专用的MATLAB编写代码开发和组装元素刚度矩阵系统的多个组件和应用边界条件。发达的方法应用于主轴系统的一个佐证。当主轴轴承建模为简支边界条件,DSM模型结果在基本频率远高于系统的标称值。然后简支边界条件取代了线性弹簧元素,调整和弹簧常数,这样生成的校准CDSM模型导致名义主轴系统的基频。主轴频率结果也根据实验数据进行验证。该方法可以有效地应用于预测轴承电主轴系统的振动特性。

1。介绍

蓬勃发展的航空航天工业和高水平的竞争迫使企业在坚持不懈地寻找方法来优化他们的加工过程。周期时间是一个主要问题在不同行业处理零部件制造机身。当试图尽快机部分,主轴速度或金属切削率不再是限制因素,而是在加工过程中发生的喋喋不休。良好,喋喋不休直接切割系统的固有频率,包括轴,轴,工具,持有的组合。

第一次提到聊天可以归功于泰勒1907年(1];然而,问题的第一次全面调查被阿诺德出版,1946年(2]。阿诺德对车削过程的实验,他认为机器可以建模为一个简单的振荡器和工具上的力下降的工具相对于工件的速度增加。格尼和托拜厄斯后来的理论现在被广泛接受的信念,喋喋不休是由波模式追踪到工件的表面由前工具传递(3]。波的波前的相位偏移目前跟踪确定是否有放大的工具头运动。如果存在一个相移两个工具之间的路径,然后毛边的芯片横截面积是通过不断的变化着。托马斯和Shabana [4]表明,切削力依赖于芯片横截面积,因此,产生一个不同的切削力。这是通过一个说明性的例子演示了磨床,建模为一个自由度弹簧质点系统,而不是一个振动系统。弹簧-质量系统也广泛使用的建模理论振动工具应该如何今天的特点。

1961年之前,加工过程被认为是稳定状态和离散过程(5]。这种错误观念导致了过于沉重的创建和厚壁机,据信为工具提示提供高阻尼力(假定为静态)。然而,一个人必须注意加工是一个连续、动态的过程,不断波动的工具提示的力量。此外,在相同的建筑,类似机器的动力学和反应可能稍微不同的由于结构缺陷,失衡,等等。因此,每台机器的具体特点和动力学也必须考虑在执行chatter-related计算(6]。机器的结构模式确定的频率和方向,该工具将振动在[7]。会怎样(5和彭等。8)强调,设计师必须调查模式形状,弱点,机器的轴承间隙和self-inducing振动组件减少喋喋不休。Butlin柴棚也调查所需的结构模式产生精确的结果(9]。他们表明,低阶模型,将只有两种模式,足够准确模型的机器。

Tlusty和伊斯梅尔在1981年出版的第一个论文记录了非线性振动系统的发生在喋喋不休(10]。近藤et al。11添加到Tlusty和伊斯梅尔的调查工具的行为发生之后喋喋不休。一个重要的研究,由李等人,1989年帮助喋喋不休的一个更完整的理论(12),他们看着响应喋喋不休的工件。他们建模工具作为一个典型的两个自由度的弹簧-质量系统和工件作为欧拉梁。当反应的工具和工件被整合到典型的弹簧-质量方程,获得的结果远远超过了之前使用方程的准确性。他们观察到大量增加表面光洁度加工时,即使长铣削刀具的使用。

当一组全面的数学模型已经得到解释喋喋不休用弹簧-质量和欧拉梁系统,这导致了戏剧性的增加表面光洁度,喋喋不休加工行业仍然是一个问题的表面公差保持增加。从1990年代起,这使研究人员使用更精确的数学模型来描述机器(13]。随着计算机辅助计算和模拟的兴起,它变得越来越容易执行更复杂的加工过程的分析(14]。刀具磨损是一个常常被忽视的因素,有助于喋喋不休。更强大的计算机的帮助下,这个变量可以包含在模拟。克兰西和胫骨15调查将工具的磨损和如何影响系统的稳定性。发现随着工具变得穿,其局限性的稳定增长。因此,稳定叶已经成为刀具磨损的一个函数。李等人。16)确定两个交叉的相干函数在刀柄的弯曲振动加速度方法统一在喋喋不休的发病。需要设置一个阈值(17)然后发现使用简单的机制,提醒操作员改变加工条件,避免增加刀具磨损。

在大多数现有的稳定性预测方法、频率响应函数(降维)获得使用影响测试是需要提取系统基频,用来执行计算。为了进行准确的影响测试,这台机器需要关闭,允许冷却和冷却剂滴完。这个过程可能导致几个小时的停机时间。离线方法,获得了结构可以大大受益制造企业通过减少测试所需的停机时间的影响。而稳定性叶图表变得更加准确,行业趋势对计算机模拟和数值分析。计算能力变得相对便宜和容易获得,这种方法已经成为可行。提供最准确的结果由于其不断更新稳定计算,这个研究领域的工程师将最有可能的进展。李等人。18)表明,整个系统包括机器、工具和工件可以使用有限元方法(FEM)建模分析。计算机模拟可以预测误差在加工过程的所有阶段。部分是机加工,空气越稀薄,其振动响应显著变化。大多数现有的研究论文假设了结构在整个生产过程中保持不变。然而,不断更新结构将允许准确、实时稳定计算。

为了数值模型的整个主轴系统振动建模和分析,将轴承的影响,曹和Altintas19)建模的主轴轴承和机床系统的虚拟仿真铣削操作,他们提出了一个将军,主轴轴承和机床系统的集成模型,由一个旋转的轴,刀架,角接触球轴承、住房、和机床安装。该模型,实验也证实,允许虚拟切削加工材料的轴的数值模型在设计阶段,预测轴承刚度、模形状、频率响应函数(降维),静态和动态变位沿着刀具和主轴轴和轴承接触力与模拟切割部队之前身体上构建和测试纺锤波。研究表明纺锤波的性能预测的准确性需要集成的建模元素和安装在机床主轴。琼斯的轴承模型,它考虑了轴承球和环弹性部分,和赫兹接触理论被用来计算接触力和位移。帕特瓦瑞et al。20.)提出了一个详细的实验和分析模态分析技术,系统的过程来评估结构动力学的立式加工中心。Abuthakeer et al。21)进行高速电动主轴的动态特性分析。最近,Delgado et al。22)用有限元法来研究thenonlinear高速机床主轴的动态行为。

众所周知,有限元预测和数值结果往往不同于测试和实验结果。然而,基于模型更新在有限元模型,修正可以通过处理测试结果的记录。Motthershead和Friswell23)提出一项调查在结构动力学模型的更新。后来,母马et al。24使用稳健估计]调查模型更新,最近摩特谢德et al。25)提出了一个基本的介绍最重要的程序计算模型更新,包括教程的例子和大规模的模型更新的例子直升机机身和讨论了灵敏度方法在有限元模型更新。

作者的最好的知识,除了作者的作品(26,27在校准/更新),没有研究主轴系统的动态刚度矩阵(DSM)模型出现在公开文献。DSM方法(28)提供了一个自由振动问题的解析解,通过结合耦合控制系统的运动微分方程为一个高阶常微分方程。寻求最一般的解决方案产生的高阶的颂歌和执行最终的位移和载荷通过广泛的矩阵操作导致的DSM结构元素。与有限的节点自由度在常规有限元法(29日],DSM-based元素建模为一个连续的系统,无数的自由度内的元素。DSM配方已经证明提供精确的频率(理论)的范围内对各种梁配置和梁结构,每航段使用一个连续的元素(见,例如,28,30.- - - - - -33])。本研究的目的是确定机床主轴的固有频率、振动特征系统通过开发相应的动态刚度矩阵(DSM) [31日,32)和适当的边界条件。这些结果将比现有的结果为共同削减系统验证/优化模型。耦合bending-bending (b)一个旋转梁的振动。MATLAB代码开发组装DSM矩阵元素为多个组件和应用边界条件(BC)。轴承首先被建模为简支(s)无摩擦的别针,然后取而代之的是线性弹簧元素将轴承到模型的灵活性。与现有的数据相比,轴的基本频率,轴承刚度系数,,然后实现校准(或更新)的动力刚度矩阵(CDSM)振动模型。拟议的配方还可以扩展到包括扭转自由度(自由度)为进一步建模的目的。

2。问题描述和控制方程

电脑数值控制(CNC)机器成为全球制造工厂的标准。这些机器通常3 -,4 -或5轴,根据二自由度设备的数量。工具翻译的,,占前三个自由度的方向。旋转的主轴轴占任何进一步的景深。典型的轴包含马达转动轴连接到工具持有人,轴承,工具,所有的机制,保持工具(见图1示例主轴配置)。正如前面所提到的,这个系统的基本的自然频率决定切削参数的限制。如果超过这些限制,系统会震动导致喋喋不休。同时,轴承磨损,系统特点和主轴的固有频率变化。

接下来,控制微分方程的推导耦合bending-bending转轴旋转梁的振动是首先简要地讨论了。轴承控制主轴的旋转运动系统在五个自由度,即位移,,方向和旋转和的方向。梁的抗扭刚度,足够大,这样的扭转振动可以忽略31日,32]。图2显示了一个圆柱梁在一个右撇子矩形笛卡尔坐标系统。梁长度用,单位长度上的质量,极地单位长度质量惯性矩,轴弯曲刚性两架飞机。在任意截面设在,和位移是一个点吗在和的方向。允许截面旋转或扭曲轴。位置矢量的点由变形后(参考数据2和3) 在哪里和单位向量在吗和的方向。点的速度是由 动能和势能的梁(和)是由 利用哈密顿原理一般符号状态, 在哪里和是在动态轨迹和时间间隔是变分运算符。用动能和势能梁的哈密顿原理,收集同类项和分部积分,下列微分方程得到: 管理bending-bending (b)梁的振动耦合的旋转速度。由此产生的负载,同时力边界条件自由结束,然后发现在以下形式,书面为剪切力 和弯矩

如果简谐运动, 和替换(8)(5),他们可以写成 在哪里振荡频率和吗,,的振幅,。介绍和无量纲长度和微分算子,并返回替换成(9)导致

3所示。控制方程的解决方案

3.1。动态刚度矩阵(DSM)的解决方案

所显示Banerjee和苏31日,32),上述方程(10)可以组合成一个8阶微分方程写成 ,“”表示两个横向位移和和 微分方程的通解形式 用(13)(11)导致 在哪里,,,,

基于Euler-Bernoulli梁弯曲理论,对应的弯曲旋转,即斜率,设在和设在,和分别给出了进一步的细节(见附录) 通过类似的替换负载(3)和(4),一个发现 用控制方程的边界条件,在执行(),(),导致 在哪里 用同样的力方程的一个发现 在哪里

频率相关,动态刚度矩阵(DSM)的旋转梁,,可以通过消除。我们也知道力振幅有关的位移矢量 显式的矩阵形式的,,在附录中给出。

3.2。经典有限元法(FEM)

进行验证和比较的目的,传统的有限元公式的问题,开发了基于matlab有限元代码进行主轴系统的自由振动分析33]。加权残差的伽辽金方法(29日,33)是用来开发控制方程的积分形式(10)。对结果进行分部积分积分方程会导致疲软的积分形式的方程,也满足虚功原理。然后离散系统使用梁元素有四个自由度每个节点(即。,两个横向位移,和两个斜坡,和,总共八个自由度)。介绍立方Hermite-type多项式近似(29日,33]弯曲位移的元素弱积分形式,经典的有限元公式。这个配方导致常数(或静态)元素刚度,质量,和耦合矩阵,然后组装发现全球矩阵。最后,强制边界条件导致线性特征值问题,这是解决提取系统固有频率和模式。也有人试图开发一个动态有限元(DFE) [34)制定的问题,使用频率相关插值函数,初步结果被发现是有前途的35]。

4所示。理论和数值结果的应用

DSM制定首次验证各种分析和数字频率数据在文献[31日,32为各种制服简单梁配置)。DSM频率数据也与获得商业有限元软件ABAQUS和各种元素类型对收敛的影响也被检查。此外,传统的有限元公式(29日,33)是用于进一步的比较;然而,随着内部有限元代码和商业软件都导致类似的结果,有限元结果在这里省略了简洁。

一个典型的主轴系统模型(见图4),然后构造使用多个段。的名义基本频率可用nonspinning主轴,因此旋转速度的影响是通过简单的设置在有限元模型中为零。然而,值得注意的是,设置旋转速度完全为零将导致DSM配方崩溃。这是由于这样的事实,DSM配方为核心,结合两个表达式(10)成一个单一的(11),通过耦合条件有关(31日,32]。然而,一个非常小的数字可用于模型的固定轴。

整个系统被认为是由相同的材料,模具钢材。最初还以为系统简单支撑在轴承的位置,也就是说,轴承建模为无摩擦的别针,严格附加到主轴套管与零灵活性,只允许在各个方向旋转。这个系统是使用上面描述的DSM方法建模,以及有限元分析(FEA)有限元分析商业软件评估第一个六个主轴系统的固有频率。几种不同的元素类型和网格尺寸检查以确保收敛(表1);梁单元B33使用2-node立方梁内部(类似于有限元代码),C3D20R通用二次砖元素,C3D10M是一个通用的四面体元素(见表1结果)。与传统的有限元公式,DSM方法结果精确解为所有旋转均匀梁的固有频率31日,32]。因此,作为手的主轴系统是由12个统一的部分,只有12-element piecewise-uniform(走)DSM模型是必需的。正如预期的那样,结果使用梁单元类型B33取得了最好的协议与DSM的结果,随着3 d和剪切效应被忽视。然而,基频值被发现与标称值不同,相比1393 Hz赫兹,由制造商提供。

为了解决这个问题,DSM和有限元模型校准考虑轴承系统的灵活性。为此,简支边界条件进行了修改,取而代之的是简单的线性弹簧元素附加到主轴轴和方向,代表通用轴承的灵活性系统(见图4)。轴承都认为是相同的,相同的弹簧系数,。弹簧刚度值,,然后不同的校准模型配备弹簧常数的元素N / m,结果发现一个基本弯曲频率1004赫兹,密切相当于系统的标称值(图5)。旋转速度的影响,在系统的基频也被调查。没有旋转的速度,系统表现出非耦合行为(见(7)和(8)),已经经历过两次弯曲位移和的方向。因此,对于一个圆轴模态分析结果,重复频率值,出现在双(表1)。通过引入旋转速度,,弯曲固有频率和方向耦合,改变了两个不同的重复频率(见表2),(图一下降,接近零6从他们的非耦合值),另增加。进一步提高纺丝速度会使一个弯曲频率趋于零;旋转不稳定,也报道和讨论31日,32]。第一个重要的主轴转速,在校准模型,被发现RPM,远高于主轴的运转速度,也就是说,3.5×10⁴RPM(见图7)。

为了进一步验证该CDSM模型,利用实验测试方法被用来收集的频率响应函数(降维)主轴系统,安装在相应的机床。一个1英寸直径空白的工具,2英寸突出,在一个典型的冷缩配合使用刀架。工具和持有人被插入到轴。将水平(即轴。,neutral) position and an accelerometer (352A21, 0.8 g) was then attached to the edge of the tool holder. The spindle was struck 10 times in the方向用锤子(086 c04 5000 N),平均降维图生成光子(SIM3模块+数据采集)。同样,主轴也在进行测试方向。nonspinning主轴的固有频率提取降维图展示在表3,除了CDSM结果。可以看到,前三个最大区别CDSM弯曲固有频率和实验评估数据,分别为8%,0.07%,和14.3%方向,8.4%,0.06%,和13.3%方向。平均差异是发现是7.4%左右,这是在可接受的范围之内的。

5。讨论和结论

已经建立,服务我们的生活改变主轴的振动行为系统,也就是说,固有频率的时间缩短,与轴承磨损。因此,为了生成一个主轴模型更新,必须包括系统中轴承的影响。一个多节的旋转主轴的分析模型,基于动态刚度矩阵(DSM)的制定和具体范围内Euler-Bernoulli梁弯曲理论,开发了。光束展品bending-bending耦合振动和(b),正如所料,其基本耦合频率被发现以提高纺丝速度降低。轴承是使用两个不同的模型:包括在模型刚性,简支,无摩擦的别针,和灵活的线性弹簧元素。简单支撑轴承模型被发现产生过度的刚性系统固有频率远高于系统的标称值。取代了简支边界条件和线性弹簧元素,弹簧刚度,,然后校准系统的基频与名义值,也就是说,一个更现实的和主轴系统的精确表示。提出的准确性校准动态刚度矩阵(CDSM)方法是通过比较证实数值和实验结果。相比传统的有限元方法(FEM), CDSM频率被发现与那些从立方获得最佳匹配梁有限元(B33有限元分析)。此外,与实验数据相比,CDSM结果被发现是在可接受的精度;前三个弯曲固有频率的平均误差小于8%。

值得注意的是,该CDSM也可以调整与主轴实验基本频率,而不是名义价值。进一步的研究正在进行中改善CDSM通过使用更多的准确的材料属性不同段的轴。发达校准模型可以利用为了考虑轴承磨损的影响主轴的服务时间,数值计算等效切削力,并计算更新稳定叶,用于实现chatter-free削减。

附录

解决方案的和(见表达式(13)相应的弯曲旋转设在和设在,和分别是由 通过类似的替换我们发现(见表达式(3),(4)和(14)) 在哪里 获取动态刚度矩阵我们引入了控制方程的边界条件。对位移,在, 在, 和力量,我们有以下:在, 在, 用边界条件为我们找到的控制方程 在哪里 也 用同样的力方程, 在哪里

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢提供的支持加拿大自然科学和工程研究理事会(NSERC)和瑞尔森大学。

引用

1. f·w·泰勒,”切割金属的艺术。”美国机械工程师学会的事务卷28日,31 - 350年,1907页。视图:谷歌学术搜索
2. r·阿诺德”讨论的机制振动钢的切削工具,”美国机械工程师学会学报》上卷,154年,第432 - 429页,1946年。视图:谷歌学术搜索
3. j·p·格尼和s . A .托拜厄斯”的图解法确定机床的动态稳定性,”国际机床设计和研究杂志》上,1卷,不。1 - 2、148 - 156年,1961页。视图:谷歌学术搜索
4. 托马斯b和a . Shabana“柔性多体机床机制的颤动,“机制和机器理论,22卷,不。4、359 - 369年,1987页。视图:谷歌学术搜索
5. f .会怎样,”慕尼黑技术大学,机床研究”国际机床设计和研究杂志》上,1卷,不。4、249 - 274年,1961页。视图:谷歌学术搜索
6. 安德鲁c和s . a .托拜厄斯”,在横向铣削振动国际机床设计和研究杂志》上,卷2,不。4、369 - 378年,1962页。视图:谷歌学术搜索
7. t . Insperger g .斯捷潘·诉Bayly b·p·曼,“多个喋喋不休在铣削过程中,频率”杂志的声音和振动,卷262,不。2、333 - 345年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. z z . k .彭m·r·杰克逊·l·郭,r·m·帕金和g .孟”轴承间隙对颤振稳定性的影响铣削过程,”非线性分析:现实世界的应用,11卷,不。5,3577 - 3589年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. 案例与t,她和j·柴棚”Friction-induced振动:低阶模型应该相信吗?”杂志的声音和振动,卷328,不。1 - 2、92 - 108年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. j . Tlusty f·伊斯梅尔,“基本非线性加工喋喋不休,“CIRP Annals-Manufacturing技术,30卷,不。1,第304 - 299页,1981。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. y近藤,o .【和h .佐藤”自励喋喋不休的行为由于多个再生效果,”工业工程杂志》上,卷103,不。3、324 - 329年,1981页。视图:谷歌学术搜索
12. A.-C。李,c。刘,S.-T。蒋介石”,分析cutter-workpiece颤动的系统”,国际机床制造杂志》上没有,卷。31日。2、221 - 234年,1991页。视图:谷歌学术搜索
13. 即迷你裙,e . b . Magrab和i . o . Pandelidis喋喋不休的预测方法将改善,第3部分。一个广义线性理论”,工业工程杂志》上,卷112,不。1,28-35,1990页。视图:谷歌学术搜索
14. h·李和李x”,造型和仿真使用预测铣削力模型的喋喋不休,“国际机床制造杂志》上,40卷,不。14日,第2071 - 2047页,2000年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. b·e·克兰西和y . c . Shin”全面喋喋不休面临将操作包括刀具磨损预测模型效果,”国际机床制造杂志》上,42卷,不。9日,第1044 - 1035页,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. x问:李、黄y s和a . y . c .娘家姓的“刀具磨损和喋喋不休检测使用两个交叉的相干函数的加速度,”国际机床制造杂志》上,37卷,不。4、425 - 435年,1996页。视图:谷歌学术搜索
17. m·拉赫曼和y Ito检测颤动的发生。”杂志的声音和振动,卷109,不。2、193 - 205年,1986页。视图:谷歌学术搜索
18. A.-C。李,c。刘,S.-T。蒋介石”,分析cutter-workpiece颤动的系统”,国际机床制造杂志》上没有,卷。31日。2、221 - 234年,1991页。视图:谷歌学术搜索
19. 曹y, y Altintas。”建模轴轴承和机床系统的虚拟仿真的铣削操作,“国际机床制造杂志》上卷,47号9日,第1350 - 1342页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. a·帕特瓦瑞美国w·f·法里斯,a . k . m . Nurul阿明和s . k . Loh,“动态模态分析立式加工中心组件”,先进的声学和振动文章ID 508076卷,2009年,10页,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. s . s . Abuthakeer p v Mohanram, g . Mohan Kumar“高速电主轴的动态特性分析”,年报的教师工程Hunedorar-International工程》杂志上第九册,2011年,第2分册。视图:谷歌学术搜索
22. a . s . Delgado大肠Ozturk, n . Sims“非线性分析机床synamic行为,”第五制造工程学会学报》国际会议2013年6月,西班牙萨拉戈萨。视图:谷歌学术搜索
23. j·e·摩特谢德和m . i Friswell”在结构动力学模型更新:一项调查,”杂志的声音和振动,卷167,不。2、347 - 375年,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. 母马,麻省理工学院Friswell, j·e·摩特谢德“使用稳健估计模型更新,”机械系统和信号处理,16卷,不。1,第183 - 169页,2002。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. j·e·摩特谢德m .链接,m . i Friswell”有限元模型的灵敏度方法更新:一个教程中,“机械系统和信号处理,25卷,不。7,2275 - 2296年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. s . m . Hashemi和o . Gaber“自由旋转的主轴振动分析:校准动态刚度矩阵方法,”振动工程和结构动力学的发展f . Beltran-Carbajal,艾德。第四章,p。369年,InTech, 2012年。视图:谷歌学术搜索
27. o . Gaber和s . m . Hashemi”机床主轴的振动建模:校准动态刚度矩阵方法,”先进材料的研究卷,651年,第716 - 710页,2013年。视图:谷歌学术搜索
28. j·r·巴纳吉”结构元素的动态刚度公式:一般方法,”计算机与结构,卷63,不。1,第103 - 101页,1997。视图:谷歌学术搜索
29. K.-J。洗澡,元素的过程美国新泽西,Prentice Hall,恩格尔伍德悬崖,1996。
30. j·r·巴纳吉和f·w·威廉姆斯,“确切Bernoulli-Euler动态刚度矩阵为一系列锥形光束,”国际期刊工程中的数值方法,21卷,不。12日,第2302 - 2289页,1985年。视图:谷歌学术搜索
31. j·r·巴纳吉和h·苏”,动态刚度公式和旋转梁的自由振动分析,”学报第六届国际会议上计算结构技术(ICCST ' 02)Civil-Comp出版社,页77 - 78年,布拉格,捷克共和国,2002年9月。视图:谷歌学术搜索
32. j·r·巴纳吉和h·苏,”发展的动态刚度矩阵旋转梁的自由振动分析,“电脑和结构,卷82,不。23日,第2197 - 2189页,2004年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. ,m . Marciniak博士审查刀架系统的模态分析五轴铣床(大麻的论文)航空航天部门Eng。,Ryerson University, Toronto, Canada, 2012.
34. s . m . Hashemi旋转射线结构自由振动分析:一个动态有限元方法[博士。论文)拉瓦尔大学,机械工程系,魁北克,加拿大,1998。
35. s . Samiezadeh“自由vibratial纺丝复合梁的分析,使用动态有限元(DFE)方法,”内部报告航空航天部门Eng。,Ryerson University, Toronto, Canada, 2012.视图:谷歌学术搜索

版权

版权©2014奥马尔Gaber和赛义德·m·Hashemi。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。