文摘
在本文中,我们提出一种新颖的控制策略灵活的非线性约束梁的振动。我们主要关注设计相关问题的被动控制梁的几何参数及物理参数的正确选择。由于大变位内振动的地区限制,我们承认一个非线性模型,精确地描述光束动力学。为了设计一组物理和几何参数的光束,我们首先制定一个逆特征值问题。为此,我们线性化梁模型和确定线性假定模式保证振动限制在选定的空间区域,满足梁的边界条件控制。近似的物理和几何参数是基于假定线性模式的正交性的形状。验证策略,我们输入的参数非线性integral-partial描述梁动力学微分方程。梁的非线性频率响应曲线近似使用微分求积法和有限差分法。我们确认使用线性模型,振动隔离的策略仍然是非线性梁有效。
1。介绍
振动的一个主要问题,灵活的结构性能的影响。振动是一种自然现象,无论其规模可能是不可避免的,包括传统的系统,比如飞机机翼,机器人机械手,叶片将发动机,曲轴机制,包括大空间结构和非传统系统,磁盘驱动器筒式定位机制,在微机电系统中微光束。在某些情况下,振动激发的共振的特征是无法忍受的振幅。因为需要控制结构振动和满足安全需求的日益增长,准确性,和这些结构长寿命,研究专注于综合控制策略,分为三种类型:活跃(1,2,被动3,4),和混合5,6]。Allaei [7)表明,振动监禁是一个优越的控制问题在传统控制隔离的敏感部分的结构。它有可能限制振动能量,减少控制工作,优化所需的传感器和执行器。Choura et al。8)提出了一种设计方法在非齐次棒振动隔离。他们建立了条件选择杆的材料和几何属性积极通过构造李雅普诺夫函数的导数空间变量必须是负的。Baccouch et al。3)和Gafsi et al。4)的正交性条件模式形状,用于近似的物理和几何参数的非均匀梁的振动运动的目的在空间域的指定部分。
结构区域,振动局限,经历大的振幅(9]。这些结构必须由非线性模型描述,因为线性模型无法描述其动力学行为。非线性模型的特点是自然的非线性现象,如多个解决方案,跳跃,频率夹带,固有频率的变化,和模态交互导致能源交流模式。
本文的目的是开发一种被动控制策略灵活的非线性振动隔离的光束通过逆特征值问题。这一策略包括确定结构的几何和物理参数来产生所需的设置模式的形状和固有频率有关。在这里,我们考虑几何非线性大挠度梁的。
2。问题公式化和目标
我们考虑一个灵活的梁组成的对振动区域敏感。这些地区的特点是空间子域(),如图1。
本研究的主要目标是找到的空间不同的几何和物理参数,减少振动的振幅在敏感地区封闭区域的其余部分的振动能量。一般来说,振动振幅的振动限制产量增加敏感部位的梁越少,因此,必须考虑非线性模型。为此,我们采用动态模型梁由(10)基于2 d Euler-Bernoulli非线性梁理论(图2)。其中包括三维应力的影响(由于出平面及平面翘曲)和几何非线性以及各向异性和初始曲率,导致线性弹性联轴器。描述的动态行为 在哪里杨氏模量,质量密度,截面惯性矩,截面积,阻尼系数,转动惯量,是外部激励。分别的和点表示,衍生品的空间和时间。我们假设纵向挠曲主要是由横向变形(10];也就是说, 积分(2)对,我们获得 在哪里是由应用相关的边界条件。
3所示。逆特征值问题
在这个工作中,提出了振动隔离策略的基本思想包括改变模式的形状和/或自然频率维持在较低水平的振动振幅敏感地区结构和允许不敏感地区相对更高的水平振动振幅。因此,本研究的主要目的是设计一种方法近似的一组物理和几何参数在非线性结构产生振动隔离。在本文中,我们开发的方法控制振动梁非线性方程组所描述的(1)。振动隔离的策略应用于非线性梁由线性化(1),忽略轴向变形。
为了方便我们定义无量纲变量和参数如下: 在哪里的值是在,分别。
因此,无因次线性模型描述梁挠曲 我们现在应用线性结构振动隔离的策略基于正交线性模式形状的4]。这种策略输出一组物理和几何参数约束的振动控制所需的区域结构。因此,这些参数替换(1)检查动力行为的非线性模型,经验相对较大变位由于围周围的振动能量不敏感地区。
不失一般性,我们考虑的情况下空间不同参数与振动梁两端固支约束在中间。我们考虑的情况下假定模式所构建的自左乘的函数的模式()与空间不变的梁受到相同的边界条件;也就是说, 在哪里 。常数 和 利用边界条件可以确定。为了限制振动梁的中间,我们考虑,例如,围在接下来的高斯分布函数,在那里梁的总长度。这种类型的函数给出了可能的设置位置和振幅峰值所需的监禁。这里的利益是检查振动的影响限制在梁的非线性行为。特别是,我们的研究约束参数的影响频率响应的非线性梁。为此,我们选择一组约束参数由−2−1−0.5,0,0.5,1和2。图3显示第一个四个假定模式的光束形状不同的值。
我们现在用的逆特征值问题的价值确定梁不同几何空间。为此,和写成简单的多项式的线性组合(4]: 为了获得准确的结果,逆特征值问题数值解决使用第一个5假定模式()[4]。数据4和5显示生成的无量纲刚度和质量功能。
参照Nayfeh和派10),的表达clamped-clamped梁是由 因此, 使用(9),我们减少(1)成一个方程;运动方程的无量纲形式给出 与。
为了研究梁的非线性行为,我们建议离散化(10)一个有效的数值方法,它通过对变截面梁(11,12]。为此,我们使用微分求积法(DQM)将integral-partial微分方程转换为一组常微分方程和有限差分法(FDM)非线性梁模型计算一个极限环的解决方案。
使用DQM解决空间相关的偏微分方程转化成常微分方程描述的运动梁对时间预选的网格点 后Najar et al。11),挠度关于空间变量的导数表示为加权线性偏转的总和所有网格点;也就是说, 积分项是使用Newton-Cotes公式在同一网格离散点: 使用边界条件,忽略了转动惯量,并保持条件只有三阶,我们得到以下常微分方程: 得到极限环的解决方案与ODE系统(14),我们必须解决方程得到DQM的集合。使用问题的对称性,我们结束了常微分方程描述的运动系统。极限环的解决方案是通过假设周期轨道有相同的频率(比激发)。时间归一化到100然后沿着一个周期离散时间的步骤。FDM现在应用于离散化。此外我们执行条件,沿着轨道的第一个和最后一个解决方案是相等的;这将满足极限环的周期性条件的解决方案。最后一个代数非线性系统是解决使用牛顿迭代法(12]。
在继续之前与模拟非线性梁的频率响应不同我们测试的收敛DQM-FDM离散化方案。为此,我们,,。由此产生的频率响应曲线具有不同DQM网格点和固定FDM网格点在图所示6。我们注意到的频率响应曲线21岁,23具有可比性。网格计算的原因,19点采用的模拟。为时,振动振幅小迫使频率远离第一共振频率()的线性空间不同的光束。然而,迫使频率接近时(),振幅较高而发生频率曲线向右倾斜,表明硬化行为的光束。
我们现在调查的影响在空间变化的梁的非线性行为。结构非线性成为重要的时空间不同梁大变位的经历。这种非线性可能会引入大量的现象,如参数共振,多值响应和跳跃,二级共振(13]。图7显示相关的频率响应曲线的线性和非线性模型统一梁()。我们观察到两种模型描述类似的振幅的振动基频。随着频率的方法要么从左或右,频率响应曲线改变对方。非线性模型引入了两个跳跃频率响应曲线在两个cyclic-fold分岔点导致滞后。图8显示的最大挠度中点为不同的值当激励频率是附近的不同相应的基本频率(24.568,23.058,22.757,22.431,24.193,25.145,和40.937)。
为了比较产生的频率响应曲线在不同的值,我们迫使频率间隔长度维持在12。我们现在所有频率响应曲线通过改变线性固有频率为零。我们注意到,更负,增加最大振幅和频率响应曲线扩大社区的第一个线性固有频率和向右弯曲更多。量化这些观察表1提供的每个值的频率和对应两个分叉点,他们的差异,最大振幅。
我们得出结论,振动更负的局限,这导致更多的集中模式形状在中间。力的降低值振幅、线性和非线性频率响应几乎是类似的(相应的振幅和非线性频率曲线略向右弯曲)。
4所示。结论
在这项研究中,我们解决振动问题监禁在一个非线性弹性梁。特别是,我们考虑的设计几何参数的梁的动力学非线性integral-partial微分方程描述。这些参数的设计是基于线性动力学与非线性梁相关联,因此,设计开发的线性结构Gafsi et al。4)采用近似梁的几何形状。由此产生的参数然后输入到非线性integral-partial微分方程。为了近似非线性频率响应曲线梁的约束参数的函数,我们离散非线性方程在时间和空间上使用DQM和FDM,分别。在所有模拟,我们考虑振动隔离中间的非线性梁。我们确认振动隔离和抑制的策略仍然有效的非线性梁。我们还得出结论,有更高的振幅更大的频率间隔与显著水平的振动限制在一个较小的区域空间域提供了一个可行的设计能量收获。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。