子域精细积分法用于周期性结构

文摘

子域精细积分方法开发周期结构的动力响应由许多相同的细胞结构。该方法是基于精确的集成方法,子域名方案和可重复性的周期性结构。在该方法中,每个结构单元被视为一个超级元素,解决了使用精确的集成方法,考虑结构细胞的可重复性。计算该方法的努力和内存大小减少,而计算精度高。因此,该方法尤其适合解决周期性结构的动力响应。给出了两个数值例子验证了该方法的准确性和效率,通过比较与纽马克和龙格-库塔方法。

1。介绍

周期性结构由相同结构的细胞连接在一起的端到端形成整个结构。正是因为重复性的周期性结构,这些结构表现出许多有趣的和有用的物理性能和广泛应用于许多类型的工程,如铁路工程(1],pantograph-catenary系统[2),和光子3,4和声子5)晶体。目前,由于周期性结构的重要性,许多相关研究报道。在[1),一个基于辛数学方法提出了方案和舒尔分解的随机响应车辆移动一个无限长的周期轨道上。在[4),多布森应用有限元离散化,再加上一个预处理子空间迭代算法周期性电介质光子晶体。1993年,Kushwaha et al。5]介绍了第一个完整的能带结构计算周期,弹性复合材料。他们的工作引入了一个新领域的研究周期结构声子晶体。钟和威廉姆斯进行重复结构的波传播问题[6,7)和高频振动模式的本土化现象不完全重复的结构(8)使用一个类比计算结构力学理论和最优控制理论。王等人介绍了一个集中质量的方法研究弹性波的传播,9)和二维(10周期系统。王等人。11]调查某些周期性结构使用的自由与强迫振动的性质结构周期性结构的模式。米德(12)开发的一般理论multicoupled的强迫振动,一维周期结构。理论从单个multicoupled周期性的动态刚度矩阵元素和大小的矩阵方程的特征谐波部队自由波兴奋和/或位移作用在一个周期性结。丁等。13]分析了波传播的周期性elastic-piezoelectric axial-bending耦合梁采用李雅普诺夫指数的方法。在[14),一个高效的算法计算了一维周期结构和周期性结构的动态响应与缺陷。在[15),具体解决方案周期泉和大规模结构的动态响应。解决方案涵盖任意初始条件多项式和谐波外部力量。虽然很多报道关于出版周期结构,开发一个有效和准确的方法计算周期结构的动力反应仍然是一个值得关注的问题。

本文的主要目的是探讨集成方案的时间周期结构的线性动力方程用有限元方法。解决动态方程,常用的方法如龙格-库塔(实际)方法(16- - - - - -18)和纽马克法(19可以使用)。1994年,钟和威廉姆斯(20.]开发了精细积分法(PIM)的基础上,准确计算的指数矩阵,它被广泛应用于许多类型的问题,因为其精度高。方法的高精度来源于精确计算矩阵的指数,然而,需要大量的计算工作。提高计算效率的PIM,许多作品被报道。在[21),精确的集成的一种自适应算法自动生成相关参数的原始PIM的所需的精度。在[22),高等人提出了修改快速精密集成方法(FPIM),利用系统矩阵的稀疏性质和结构动力学问题改善的物理特性的指数矩阵的计算效率而不损失精度。后,FPIM被扩展的双曲型热传导问题[23]。摘要子域精细积分方法(SPIM)提出了周期结构的动力反应和许多相同的细胞结构。SPIM基于PIM,子域名方案(24- - - - - -26),周期性结构的可重复性。这种方法减少了计算的努力,减少计算所需的内存。

2。精确的动力系统的集成方法

子域精细积分方法是基于原始的PIM;因此,简要介绍本节给出了最初的PIM。

假设一个周期结构的动力学方程(见图1)用有限元法(FEM)可以写成 与初始条件 在哪里,,是周期性结构的质量、阻尼和刚度矩阵,分别是数量的自由度(自由度)的周期性结构。,,是位移、速度和加速度向量,分别点在变量表示分化对时间。是负载向量,然后呢表示初始时间。

可以使用许多方法来解决(1),比如纽马克法,实际气体的方法,和PIM。如果使用PIM解决(1),它应该首先被重写状态空间: 在哪里 在(4),表示速度矢量,是单位矩阵,是一个零矩阵。

时域数值积分,分为一系列时间间隔相等的长度;也就是说, 通过让 的解决方案(3)是由离散的倍 在这

矩阵定义为(8)被称为矩阵的指数。评价右边第二项(7),加载向量首先可以使用拉格朗日插值多项式近似(27在时间间隔)。因此,如果我们选择插值点,用的时间间隔,负载向量可以近似 的 在哪里是拉格朗日插值多项式,。的(7)和(9),状态向量得到: 的 和可以使用数值积分计算方法,如高斯求积方法(28),已研究和证明是一种有效的方法确定PIM中的积分项。的(8)和(12),它可以很容易地观察到计算矩阵指数的有效和准确是关键问题时计算动力系统的响应,这是最有可能被克服使用PIM。基于加法定理,PIM使用只计算的增量部分的想法提高计算精度。

实现PIM的计算矩阵的指数和时间步可以得到如下。让,在这是一个整数;(8),那么就 如果足够大,这样的无限规范满足,然后可以用泰勒级数近似的秩序;也就是说, 从理论上讲,如果两个和足够大,(14)产生一个非常精确的近似。然而,舍入误差在数值计算可能是重要的,因为单位矩阵之和剩下的小。因此,在PIM,指数矩阵分为两部分;也就是说, 然后,使用(13),(14)和(15),可以写成 在哪里 后计算,可以由

PIM是一个精确的算法计算矩阵指数。然而,PIM的计算工作,这是非常大的周期性结构的有限元模型的自由度大。为周期性结构由许多相同的细胞结构,质量、阻尼和刚度矩阵的结构细胞都是相同的。增加结构细胞的数量,质量,阻尼,和整个结构的刚度矩阵过大,导致大量计算和内存需求的计算矩阵指数。这个问题限制了PIM的应用。在下一节中,周期性结构的可重复性结合PIM的子域名技术来提高效率。

3所示。子域名的PIM

假设一个周期结构组成相同的结构细胞,和质量,阻尼和刚度的相同的结构单元,,,分别。的自由度的数量th细胞结构,用位移和荷载向量和,分别。的动力学模型结构单元是由

每个结构单元的自由度都包含在整个周期结构的自由度。因此,位移矢量的th细胞结构在位移矢量可以找到整个结构;也就是说, 在哪里是一个矩阵,其元素是0或1。描述之间的关系和和满足 在这是一个单位矩阵。增加双方的19)和替换(20.)(19)的动力学方程结构单元可以写成 的(22),整个整个周期性结构动力学方程可以写成 在哪里

实际上,(23)是一样的(1)。为周期性结构包含大量相同的细胞结构,整个动力学方程太大直接使用PIM解决由于计算所需的努力和存储。然而,每个结构单元的动力学方程的规模很小的规模相比,整个动力学方程。此外,结构细胞的动力学方程是相同的,除了结构细胞周期性结构的边界附近。因此,使用动态方程的PIM (19)结构的细胞可能是一个更好的方法有两个原因。第一个原因是,细胞动力学方程的大小远小于整个动力学方程。因此,成本计算的指数矩阵对应于结构单元与成本相比是微不足道的,对应于整个周期性结构。第二个原因是,可以利用周期性结构的可重复性。因为结构细胞相同,相应的指数矩阵也是相同的。一旦矩阵指数的计算结构细胞,其余也获得。因此,所需的存储将会大幅减少。与此同时,一个大时间步可以选择保证准确性,因为使用PIM计算矩阵指数。指数矩阵结构细胞的参与可以计算使用FPIM [22,23),由高修改等人基于最初的PIM进一步提高计算效率。

使用前PIM的细胞动力学方程(19),首先应该讨论一些问题。第一个问题涉及力向量。在(19),力矢量实际上包含两个部分,用和。是力所产生的外部因素,如重力,然后呢的力是由邻近的细胞结构。整个周期结构,是所谓的内力,这意味着什么 力向量,,也可以近似 通过选择拉格朗日插值点(27在时间间隔)。在(27),,,是力向量的th插值时间点是一个不确定的向量。用(27)(19)的收益率 也可以写成

请注意,是已知的,是不确定的。选择力矢量插值点近似意味着有未知向量(即,= 1 ~ 2),应确定。确定这些向量,衍生品(29日)关于时间: 在哪里 然后,将PIM应用于(31日)的收益率 在哪里是由 可以计算使用高斯求积方法(28]。的(33),我们有 为了方便起见,我们(35)被重写 在这 在哪里是一个方阵,产生的力矢量邻近结构细胞的插值点。因此,在这个向量,相对应的元素结构单元内的自由度都是零。为th结构细胞,细胞内的自由度的位移和速度是用和,分别。自由度的位移和速度上细胞的边界是用和,分别。下标的和分别表示内部和边界自由度。与此同时,让状态向量被分割成 和重写(36块矩阵形式) 在这对应于结构单元内的自由度,对应于边界上的自由度;也就是说, 的(39),我们有

方程(41)可以被视为动态刚度方程th细胞结构可以被视为边界力产生的邻近细胞。的(41),只有响应信息边界自由度;也就是说,动态刚度方程(41)的th细胞结构减少,th细胞结构视为一个超级元素。让自由度的位移和速度的边界结构细胞是用和分别,我们有 在哪里描述之间的关系和和是一个单位矩阵。结合(38)和(40)和(43)的收益率 在哪里 用(44)(41)和相乘(41),收益率 的(46),我们有 表示边界力产生的邻近细胞;也就是说,它是所谓的整个周期结构的内力;因此,我们有 结合(47)和(48)的收益率

的(49),可以计算。一次获得,向量可以计算使用(44)。然后,也可以计算通过应用(42)。当和决心,所有自由度的位移和速度在每个结构单元,这意味着在时间间隔计算就完成了。以同样的方式,所有的自由度的位移和速度可以计算每个时间节点一旦初始条件。

周期性结构由许多相同的细胞结构,质量、阻尼和刚度矩阵的结构单元是相同的除了结构细胞受到边界的约束。因此,对于同一结构单元,涉及指数矩阵只需要计算一次。它可以观察到,该SPIM尤其适用于周期性结构的动力问题。数量插值点的近似可能影响SPIM的性能。如果在SPIM插值点太多,可获得精度高;然而,计算效率会不满意。在下一节中,的影响SPIM将讨论使用性能的两个数值例子。

4所示。数值例子

例1。考虑到周期性结构质量和弹簧组成的描绘在图2。整个周期结构是由50个细胞结构,如图2(一个)质量和刚度(公斤),(公斤),分别(N / m)。对于每个结构单元,有50个自由度。整个周期结构包含2500个自由度(见图2 (b)),两端是固定的。初始条件的初始位移th景深是团结,其余的初始位移自由度是0,所有自由度和初始速度为零。外力是不被认为是在这个例子。

研究数量的影响插值点SPIM的准确性,和使用。调查的性能SPIM,纽马克法(即。,the average acceleration implicit scheme) and the variable step R-K method (ODE45 in MATLAB) are employed. The interval of the integration is set to be年代。SPIM的时间步年代,两个时间步年代和用于纽马克法,用于实际气体的绝对和相对公差法(数值)。数值结果采用数值计算被认为是参考解决方案测试SPIM结果的准确性。SPIM和纽马克的相对误差被定义为方法 在哪里和是使用实际的位移和速度矢量计算方法,分别。和分别是位移和速度矢量,计算使用SPIM或纽马克的方法。向量的下标2代表2-norm。

在本例中,该方法的顺序也是测试通过使用不同的时间步长。如果订单的一个算法为时间步长,数值误差是,在这是一个常数。因此,错误和两个不同的时间步骤和可以由 可以显示的顺序算法

在这个例子中,位移向量的错误是由(50);因此,该方法被定义为 四个时间步骤年代,年代,年代,年代选择来确定该方法的顺序。

数据3(一个)和3 (b)给所有自由度的位移和速度计算使用该方法年代,分别。位移和速度的相对误差计算使用SPIM和纽马克所示数据的方法4(一)和4 (b)。图5显示错误的位移向量的变化与时间步。所有方法的精确度和CPU时间的表1。

数据4(一)和4 (b)证明使用SPIM与获得的结果更准确的获得比使用SPIM当时间步用于两种情况下都是年代。从图5和表1,可以得出结论,SPIM大约的精确度。然而,在表1,SPIM需要稍微比SPIM与CPU时间。与纽马克法相比,SPIM结果更准确,虽然时间步用于SPIM用于纽马克法100倍。它可以观察到从表1CPU时间的实际方法SPIM的8.9和10.7倍和,分别。此外,与纽马克法相比,SPIM仍然更有效率,因为CPU的纽马克法两种不同的时间步骤7.5和SPIM的74倍,分别。从图可以得出结论4和表1SPIM使用大量时间步可以实现高精度和效率。

例2。考虑两种不同的材料组成的二维声子晶体。相应的材料参数爸爸,爸爸,公斤/米³,公斤/米³,,。结构单元和整个结构的模型图所示6和7,分别。整个声子晶体组成细胞结构。声子晶体的底部是固定的。在声子晶体均匀加载行为N / m,这是独立的时间。在使用节点线性矩形元素声子晶体的总自由度的数目是11400。结构单元的有限元模型如图8。

SPIM,纽马克法(即。,the average acceleration implicit scheme) and the variable step R-K method are used for this example in the time interval年代,SPIM的时间步年代,当、2和3是用来研究插值点的数量的影响SPIM的准确性。四个时间步骤年代,年代,年代,年代确定SPIM的顺序选择。纽马克法、两步骤的时间年代和使用,用于实际气体的绝对和相对公差法(数值)。采用数值计算的数值结果是用作参考解决方案,和SPIM和纽马克方法的相对误差是由(50)。

数据9(一)和9(b)的位移分布年代的和使用该方法方向计算,分别和数字9(c)和9(d)的速度分布。位移和速度的相对误差计算使用SPIM和纽马克方法给出的数据10 ()和10 (b),分别。图10显示错误的位移向量的变化与时间步。所有方法的精确度和CPU时间的表2。

的数据10 ()和10 (b)和表2,它可以观察到,SPIM有最好的精度,需要最多的CPU时间。因此,提出SPIM,提高精度,但计算效率降低和增加插值点。从图11和表2,可以得出结论,SPIM大约的精确度。然而,纽马克和实际方法相比,SPIM提高计算效率,根据表2。SPIM的CPU时间是年代,远低于实际的方法或纽马克法的时间步年代。尽管SPIM的CPU时间是略大于纽马克法与时间步的年代,SPIM比纽马克法结果更准确,如图所示的数据10 ()和10 (b)。它也可以观察到当SPIM已经接近的精度,获得了纽马克的时间步方法年代。然而,请注意,当CPU时间的方法是用纽马克的方法获得的大约0.015倍的时间步年代。

5。结论

子域精细积分方法(SPIM)已经被开发来解决周期性结构的动力响应由许多相同的细胞结构。SPIM不需要整个质量、阻尼和刚度矩阵的周期性结构。用最初的精细积分法的结构单元和考虑周期性结构的可重复性,所涉及的方法避免反复计算和存储许多相同的指数矩阵。因此,该方法不仅继承了原方法的精度也提高了计算效率方面的CPU时间和存储。数值例子表明,该方法比实际更有效的方法或纽马克法和比纽马克法更精确。可以得出结论,该方法尤其适用于周期性结构包含许多相同的细胞结构。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢中国自然科学基金的支持。11272076),基础研究基金为中央大学(没有。DUT13LK12),中国的国家基础研究计划(2011 cb711105和2010 cb832704号)和辽宁省重点实验室基金(没有。L2013019)。