文摘

分析框架开发的振动分析环形行业板块与一般的弹性限制在每个板块的边缘。不管位移边界条件,解决方案总是表达为一种新形式的三角扩张和加速收敛。膨胀系数视为广义坐标,确定使用Rayleigh-Ritz技术。这项工作允许建模能力的环形行业板块在各种边界条件下,改变边界条件容易修改材料属性或尺寸的盘子。同样重要的是,该方法普遍适用于环形行业板块的包含角2π。当前方法的可靠性和准确性,充分验证了通过数值例子。

1。介绍

环形行业板块最重要的一个用于工业应用和土木工程结构组件。行业板块的振动特点因此工程师和设计师极大的兴趣。尽管有大量的研究圆形和矩形板的振动1),结果对环形行业板块报道相对较少。

在过去的几十年中,环形的振动行业板块使用各种分析或数值方法,研究了能量法等[2),样条元法(3,4],有限元法[5),积分方程法(6],等等7]。特别是,一个通用技术是由Leissa [1)获得准确的模态频率的盘子只是支持沿径向边缘和任意边界条件在圆周的边缘。该方法利用圆板的著名的贝塞尔函数的解决方案,允许函数noninteger订单。他的工作后8]利用里兹方法主张使用普通的贝塞尔函数的解决方案是不正确的固体部门拥有简支薄板径向边缘和部门角度大于。刘等人。9了许多调查对厚板的振动在1993年出版。结果表明,大部分都集中在经典边界条件(简支、夹紧或自由边缘)。相比之下,其他更复杂的边界条件,如弹性边界支持很少尝试。封闭的解提出了金和柳10)的位移表示三角函数和指数函数在极坐标下系统。Ramakrishnan和Kunukkasseril11解决振动问题的一个环形部门与简支板径向边缘沿圆周的边缘和任意的条件。Aghdam et al。12]介绍了弯曲变形的近似解薄的行业板块的使用扩展Kantorovich方法四阶控制方程转化为两个常微分方程。采用pb2 Rayleigh-Ritz方法,湘et al。13)解决环形部门Mindlin板的振动问题。频率参数对环形行业板块具有不同几何参数和边界条件。刘和陈14)提出了一个轴对称有限元环形和圆板的轴对称振动分析。Civalek和Ulker15)利用谐波微分求积(HDQ)方法研究线性圆板的弯曲特征。Civalek [16微分求积方法相比(DQ)和谐波微分求积(HDQ)。这些方法被用于弯曲、弯曲和薄的各向同性板的自由振动。准确的三维弹性的解决方案提出了环形行业板块的任意边界条件下刘et al。17]。王x和y王(18延长了微分求积(DQ)方法分析薄部门板的自由振动问题。老大et al。19]研究了环形polar-orthotropic部门板自由振动的使用样条函数作为一个容许函数偏转的盘子。在这种方法中,行业板块的弯曲横向偏转表示为一系列的产品分类梁的挠度函数和一个圆形梁满足相似类型的边界条件。环形的三维振动行业板块与各种边界条件研究了周et al。(20.使用Chebyshev-Ritz方法)。环形的解决方案部门提出了板与凹角周et al。(20.)的调查。Baferani et al。21)提供了一个自由振动的解析解功能梯度(FG)薄环形部门盘子搁在弹性基础。盘子被认为是简支沿径向边缘和任意圆周边缘的支持。Mirtalaie和Hajabasi22]研究了自由振动分析,功能梯度(FG)薄环形行业板块DQ方法。

看来之前的调查在环形行业板块大多局限于经典的边界条件。人们普遍认为一个精确的分析解决方案只能是一个环形扇形板简支,至少两个径向边缘。然而,各种可能的边界条件,如弹性限制通常遇到在许多工程应用程序(2,8,23]。此外,现有的解决方案过程通常只对一种特定的自定义边界条件,因此通常需要不断修改的函数和相应的解决方案过程以适应不同的边界条件。结果,使用现有的解决方案的过程将导致非常繁琐的计算和很容易泛滥的各种可能的边界条件。因此,重要的是要开发一个分析方法,能够处理环形行业板块普遍受到不同的边界条件。此外,结果环形板与凹角稀缺。

在本文中,一种改进的傅里叶级数法(IFSM)之前提出了梁和板的振动分析24- - - - - -28是扩展到不同边界条件下环形行业板块,包括一般弹性约束。环扇形板的位移的解决方案,不管边界条件,表示为一种新形式的三角扩张和加速收敛。建议的解决方案的可靠性和准确性技术广泛通过数值例子进行验证。

2。理论公式

2.1。基本方程的环形板

环形部门板(包括两个径向和两个圆周边缘),这次调查中使用的坐标系统如图所示1。这个盘子是不断的厚度、内半径、外半径、宽度板的径向方向,行业角度。板几何和维度定义在一个圆柱坐标系统(,,)。一个局部坐标系(,,)也显示在图1,它将用于分析。通常弯曲运动的边界条件可以指定的两种抑制弹簧沿着每条边(平移和旋转),导致四套任意分布式弹簧刚度值。

执政的自由振动微分方程给出了一个环形行业板块 在哪里,弯曲位移,是角频率,,,是弯曲的弯曲刚度、质量密度和板的厚度。

弯曲位移、弯曲和扭转力矩和横向剪切力可以表示为 在哪里泊松比。

弹性约束的边界条件给出环扇形板 在哪里和(和)平移弹簧常数,和(和)转动弹簧常数和(和),分别。所有经典的齐次边界条件时可以简单地视为特殊情况大幅弹簧常数非常大或者小。平动和转动弹簧的单位N / m和Nm / rad,分别。

解决环扇形板的振动问题通常可以用贝塞尔函数的形式1]: 在哪里,和贝塞尔函数的第一和第二种,分别和和修改后的贝塞尔函数的第一和第二种,分别。的系数,,确定的形状模式,需要解决的边界条件。

如果对称边界条件对一个或多个板的直径,涉及条款不需要和解决方案(4)简化为

特征方程推导出用解决方案到边界条件和设置生成的系数矩阵的行列式等于零。获得的特征值都是使用一个适当的非线性特征方程的根寻根的算法。特征值也可以发现大约自从贝塞尔函数列表在许多数学书或手册。不管采取什么程序了,结果依赖于特定的边界条件是可以理解的。环形板的模态特性全面综述(1为各种边界条件或复杂的因素。然而,环形行业板块很少在文献处理。这是明显的事实审查的振动行业板块中只占不到两页的经典专著(1]。

2.2。加速三角级数表示的位移函数

在前面的文章(26,29日),每个矩形板的位移分量表示为一个二维傅里叶余弦级数辅以八辅助条件,介绍了加速收敛的级数展开。在这项研究中,一个类似但更简单和更简洁的级数展开形式是用来扩大挠曲位移环扇形板的局部坐标系(,,): 在哪里表示级数展开系数,

的基函数在方向也由(7)除了。正弦条件在上面的方程介绍了克服潜在的不连续性,板的边缘,位移函数的周期性扩展时,寻求以三角级数的形式扩张。因此,吉布斯效应可以消除和收敛的级数展开可大幅改善。

为了阐明这一点,考虑一个函数有连续性的间隔和导数是绝对可积(导数在某些地方可能不存在)。表示三角级数的部分和作为

它可以从数学上证明级数展开系数满足 如果负索引系数,计算,从

更明确,收敛估计(9)可以表示为 这意味着

看到,收敛性可以大大提高几乎没有额外的成本。应该指出,级数的收敛速度(8)可以通过设置控制任何适当的值。然而,在现实中,所需的解决方案的平滑度给定的边值问题在数学上由最高的衍生品出现的顺序控制微分方程。以当前板问题为例。板方程要求三阶导数是连续的和无处不在的四阶导数存在的表面积。因此,需要设置在寻找一个强大的解决方案,或为解决方案在一个弱的配方。因为平滑(或者明确,收敛速度)当前级数展开的管理,在将解决方案域,未知的级数展开系数可以从弱或获得强大的配方。在寻求一个强大的形式的解决方案中,这个系列是必须同时满足控制方程和边界条件完全基于逐点地。因此,膨胀系数不完全独立;他人负索引相关系数是通过边界条件。在疲软的配方如Rayleigh-Ritz技术,然而,所有的膨胀系数视为广义坐标相互独立。强和弱的解决方案是数学等价的如果他们采用同样的解决方案域的平滑程度。Rayleigh-Ritz技术以来,本研究将采用的解决方案可以很容易获得。更重要的是,这种解决方案过程更适合未来的组合结构的建模。

2.3。最终系统的环形板

纯弯曲板的总势能可以表示为

忽视了转动惯量,动能的环形板是由

潜在的能量存储在边界弹簧计算

拉格朗日环形行业板块通常可以表示为

用(6)(16)和最小化拉格朗日对所有未知的级数展开系数,能够获得一个线性代数方程组,在一个矩阵形式 在哪里是一个包含所有未知向量级数展开系数,然后呢和分别是刚度和质量矩阵。简洁性、刚度和质量矩阵的具体表达式是这里没有显示。

的特征值(或自然频率)和特征向量环形部门盘子现在可以轻松地和直接决定从解决矩阵的标准特征值问题(17)。对于一个给定的固有频率,相应的特征向量实际上包含了级数展开系数,可用于构建物理模式基于形状(6)。虽然这个调查集中在环扇形板的自由振动,环形板行业的反应应用负载可以很容易地认为只要包括“功”在这个负载在拉格朗日,最终导致强迫项的右边(17)。由于位移是由平滑一样需要一个强大的形式的解决方案,其他感兴趣的变量如剪切力和功率流可以直接计算,或者更准确地说,通过应用适当的位移函数的数学运算。

3所示。结果和讨论

证明该技术的准确性和有效性,几个数值例子将在本节中。首先,考虑一个完全夹紧环扇形板。公元前一个夹可以看作是一种特殊情况当两组约束弹簧的刚度常数变得无限大(由一个非常大的数字,5.0×10¹³在数值计算)。前六无量纲频率参数,都列在下表中1与参考结果(22)和一个有限元预测。

接下来,考虑一个环形部门与简支板径向边缘。三种不同边界条件(自由、简支、固支)是按顺序应用于圆周的边缘。产生的简支条件只是设置平动和转动弹簧的刚度分别和0和自由边界条件通过设置两个刚度为零。前六无量纲频率参数如表所示2。当前结果比较与那些来自[22,30.]。

说明当前解的收敛性和数值稳定性,几集的结果表1和2提出了使用不同的截断数据:。高度期望的收敛特点是(A)观察到足够可以获得准确的结果只有少量的系列的扩张和(b)解决方案是不断提炼更多的条款包含在扩张。而当前解决方案的收敛性是通过建立数学(11)和(12),实际会case-dependent(截断)错误,不能完全确定先天的。然而,这不应构成一个问题在实践中因为人们总是可以验证解决方案通过增加截断数量的准确性,直到所需的数值精度。事实上,这种“质量控制”计划很容易自动实现。在模态分析中,高阶的固有频率模式往往收敛慢的(见表1)。因此,一个适当的截断数量应该由所需的最大的利益自然频率的准确性。针对当前解决方案的优秀的数值行为,将简单地设置为截断数据在接下来的计算。

在非常有限的现有研究中,该行业角度通常认为是小于指定的是一个整数。尽管目前尚不清楚数学解决行业本质上构成一个枢轴点板的问题,它一直是限制实际定义前面的调查。然而,该行业的价值角度对当前解决方案似乎没有约束力程序如前所述。来验证这种说法,说明该技术的多功能性,板块与全方位的部门角度在各种约束条件下进行了研究。表中给出3前六频率参数,,对环形行业板块他们所有的边缘是完全免费的。由于缺乏解析解,数值结果计算使用有限元法(有限元分析)模型给出了比较。环形自参考解决方案行业板块不是现成的,板块与其他经典边界条件也研究系统和相应的结果列在表中4和5一系列的行业角度。这样的结果可以在基准测试其他解决方案方法特别有用。在确定边界条件,信件,,被用来表明夹,简支,分别沿着一条边和自由边界条件。因此,板的边界条件与第一个完全指定用四个字母表示的公元前第一个边缘,。剩下的(第二至第四)边缘命令在逆时针方向。在所有这些情况下,目前的解决方案是充分利用有限元分析模型的有限元结果进行验证。还包括之前给出的结果(13)对小部门的角度,和。前六个模式的模式形状绘制在图2为完全夹紧环扇形板用剪碎的比率和部门的角。这些模式验证了有限元结果虽然他们将不会显示在这里简洁。

所有上面的例子涉及到古典齐次边界条件被视为特殊情况(弹性限制边缘)当刚度常数取极值。我们现在把环形行业板块与一般弹性克制的边缘。首先考虑一个环形板简支,但统一的转动约束,沿着每条边。展示在表前六频率参数6一起使用一个有限元分析模型计算的结果。第二个例子悬臂环形部门板(夹在担忧在其他边缘)和相同的弹性约束。虽然平动弹簧的刚度是固定的N / m,转动弹簧将被指定不同的刚度值:,10⁴,10⁸,10¹²Nm / rad。相应的频率参数如表所示7。在所有的情况下,一个好的协议之间观察到当前的解决方案和有限元分析的结果。

最后,考虑可重入环形行业板块弹性约束所有四个边。平移和转动约束刚度的选择N / m和分别Nm / rad。前六频率参数如表所示8对三种不同的断路比率。绘制在图3的模式形状的板吗。

4所示。结论

振动分析的分析方法提出了环形行业板块沿着每条边与一般的弹性约束,它允许把所有经典的齐次边界条件的特殊情况时,为每个约束弹簧的刚度等于零或无穷。不管边界条件、位移函数是不变量表示为一种改进的三角级数的一致收敛的速度越来越快。由于位移构造解决方案连续性,目前的解决方案,尽管寻求从Rayleigh-Ritz过程弱形式,数学上相当于一个强大的解决方案,同时满足控制微分方程和边界条件基于逐点地。

目前的方法提供了一个统一的方法来预测环形部门板的自由振动特性与各种边界条件和任何部门角度。的效率、准确性和可靠性提出了自由振动分析方法充分说明了环形支持和模型参数与不同行业板块边界半径比和部门等角度。数值结果得到目前的方法是在良好的协议与文献中可用。虽然每个约束弹簧的刚度在这里假定为制服,任何非均匀离散,或部分刚度分布很容易被修改相应的势能。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢匿名评论者的非常有价值的评论。这项工作是支持由中国国际科技合作项目(2011 dfr90440)和关键项目的国家自然科学基金(50939002)。第二作者也感激支持从中国奖学金委员会(2011668004)。