模型降阶技术根据梁结构的动态分析移动载荷

文摘

本研究提出了一种技术,使用一个动态响应分析的模型降阶方法移动荷载的梁结构,它可以被建模为一个移动的点力或移动身体。专用的性质冷凝法适合解决移动载荷情况下是主自由度的选择,和压缩模型的系数矩阵是重新计算的负载从一个元素到另一个地方。虽然这个过程增加了计算负担,总计算时间仍是大大减少,因为小规模的运动方程。为了说明和验证方法,该技术最初应用于简支梁进行单点加载沿着光束。随后,该技术应用于一个实际轮轨相互作用模型在铁路工程动态分析。数值例子表明,该冷凝模型可以解决移动载荷问题比一个分析模型或其完整的有限元模型。该模型也表现出高计算精度。

1。介绍

一个结构受到动载荷是一种常见的机械和土木工程的情况。一些例子包括轴工件车刀,汽车和汽车的桥梁,铁路起重机或铁路车辆。提出了各种模型的动态分析。尽管他们可能适用于不同的工程领域,这些模型有着类似的特征。两种方法通常是用来建立一个模型,也就是一个分析方法或有限元(FE)方法。

各种分析一个统一的解决方案与单跨简支梁存在于优秀的Fr的专著英国航空公司(1]。Mamandi和Kargarnovin2建模一个连续梁与得票率最高梁理论适用于梁高跨比。纤细的光束,Bernoulli-Euler梁理论是有前途的。Hayashikawa和渡边3)连续的动态分析方法用于动静力连续梁。郑et al。4)修改梁的振动功能,作为假设分析动静力非均匀梁的振动模式。Lalthlamuana和Talukdar5]调查单拱桥桥之间的动态交互,移动灵活的车辆使用semianalytical方法。分析方法可以提供准确的解决方案简单的移动载荷问题,但它们有时繁琐的建模复杂的实际结构。

另外,有限元方法已被用来作为各种复杂结构通用的数值方法。吴和戴6)用传递矩阵法计算梁的固有频率和振型叠加法和应用模式的移动荷载下梁的动态响应分析。吴et al。7)开发了一个通用分析程序允许标准的有限元分析处理三维结构的动态行为与身体朝着两个维度。雷基et al。8]调查之间的关系模型的准确性和用于离散化的元素数量结构移动载荷分析。

然而,未知的数量经常大参与实际的有限元模型。因此,计算负担可能是伟大的。冷凝法和子结构方法是用来减少操作的规模。杨和林9)建立了一个登车桥耦合模型,桥梁元素和车辆的一部分身体躺在它被视为子结构。自由度(自由度)与车辆相关的身体在通过一个动态子结构被淘汰冷凝法(DCM)基于迭代。他满et al。10)提出了一个变种component-mode train-track-bridge系统模型的合成方法。的条款等。11)定制组件模式的一种变体合成方法处理动静力分解整个结构连续梁的主要和次要的跨越。精确的形式被用作假定本地模式和梁是重新考虑运动学跨度之间的兼容性。

说明采用的方法论模型降阶方法解决移动载荷问题,三种典型的模型降阶方法,即DCM (12),改进减少系统(IRS)方法(13),系统等效reduction-expansion过程(SEREP) [14),介绍了这项研究。他们作为例子来调查是否还原法可以用来加快动态响应分析的移动载荷下梁结构。Guyan还原法(15)在静态情况下表现良好,但不适合这种动态移动载荷情况。扩张型心肌病是一种代表物理模型还原技术。国税局结合Guyan方法和扩张型心肌病。SEREP是一个典型的模型降阶方法。其他方法减少来自这些方法,但他们不讨论了。考虑到负载是沿着光束,主坐标的凝聚模型应该选择;这些坐标都伴随着一个重新计算的系数矩阵。首先,光束集中在一系列的梁元素相等。然后,全球体系完整的有限元模型的矩阵和载荷向量。第二,根据负载的位置,主自由度凝聚模型的选择,和全球体系中的元素排列矩阵和载荷向量。 Third, the transformation matrix that establishes the relationship between the master DOFs and the original coordinates is obtained. The system matrices and the load vector of the condensed model are calculated. The dynamic response is solved using a direct time integration method. Fourth, when the load moves on to the next element, the initial conditions of the new master coordinates are determined. Finally, by repeating the second to fourth steps, the operation is implemented continuously as the load traverses the entire beam. To expound and validate the methodology, the method is applied initially to a moving point load case and subsequently to a moving body case in practical railway engineering. Accuracy and high computational efficiency are discussed through numerical examples.

2。移动载荷有限元模型

2.1。完整的有限元模型

构建统一的截面简支梁说明的方法。梁是恒定负载。负载位置的指示遍历的梁以恒定速度从左端开始,旅行结束,如图1。

有限元方法离散化光束,显示在图2。

离散简支梁节点连接1 d Bernoulli-Euler梁元素(梁上的小圆圈表示节点菲斯,而不是他们的铰链)。单梁元素的长度,这是由。梁下的阿拉伯数字表示节点的序列号,而梁上面的序列号两个相邻节点之间的元素。每个节点有两个自由度,即翻译和旋转,。因此,每个梁单元有四个自由度,和整个梁自由度(两个梁端点的垂直位移也计算在内,虽然他们总是等于零)。梁的运动是由以下方程: 在哪里 的订单结构动态或有效刚度矩阵。和是结构质量和刚度矩阵,分别。的订单位移响应向量,给出的是哪一个 和的订单是外部负载向量。考虑到外部负载只能应用于节点有限元模型,重点移动载荷必须转化为等效节点力和时刻基于广义力的平衡条件。流程见图3。

相当于部队或时刻,,,由外部负载评估和,它是沿着元素的应用点距离。因此,整个外力向量 在哪里 矩阵的条目(不包括,,,,零元素所代表的象征”⋯。“右边的变量的列向量表示向量的非零元素的位置。的序列号是梁元素外力所在地。集中力沿着光束。因此,四个非零项的值变化的周期性变化。当移动到下一个梁单元的力,这些条目的位置在相应的列向量的变化。

2.2。浓缩的有限元模型

使模型计算有效解决上述问题,凝聚模型制定使用专用的变异的两个模型降阶技术根据负荷情况。

考虑到梁上的外力施加相当于两个力量和两个时刻对四自由度,四个坐标保存在压缩模型。这些坐标的自由度梁单元所提出的发挥力量。其他的自由度被视为奴隶。当力量移动到下一个梁单元,主自由度必须选择相应的;即四自由度下选为主自由度梁单元,如图4。

大胆的梁模型的节点图4的维护。因此,大胆的列向量中的条目选择四个主自由度。选择的四自由度下梁单元的主自由度当负载移动到下一个元素。

2.2.1。扩张型心肌病

假设位于力量梁单元,(1可以划分为)主自由度(),奴隶自由度形成两个方程写成矩阵形式如下: 在哪里 的频率压缩模型的矩阵形式。因此, 在哪里上标指的是序列号的梁元素的力量所在。相当于力向量,可以写或者如下: 在哪里

鉴于等效负载只对主自由度,无载作用于奴隶自由度。因此,在(6)。第二个方程可以写成: 这可以解决奴隶自由度的位移如下: 这个方程可以获得操纵 介绍(13)(6),自左乘双方,考虑的运动方程,当荷载作用于压缩模型th梁单元推导如下: 或 在哪里,,动态刚度、质量和刚度矩阵的压缩模型,分别。这些变量决定如下:

2.2.2。国税局

压缩模型的系数矩阵通过国税局再次推导,结合Guyan方法(15)和DCM通过添加一个术语的静态转换考虑惯性力。

Guyan削减计划。忽略惯性项(6),考虑到静态形式的运动方程,收益率

假设上的部队奴隶自由度为零,第二个方程可以解决奴隶自由度的位移如下: 可以操纵获得吗 用(19)(6),压缩模型的特征值问题基于Guyan方法介绍如下: 或 在哪里和减少模型的固有频率和相应的特征向量在主自由度,分别。和是浓缩的质量和刚度矩阵获得使用Guyan方法,分别。这些变量决定如下: 利用二项式定理,(12)可以改写如下: 在哪里表示一个错误的订单。介绍(21)(23)和忽视条款收益率 因此,有关主自由度的关系可用的全套自由度如下: 在哪里 这种转换可以被视为一个扰动转换从静态还原法。因此,使用变换矩阵,凝聚国税局获得的质量和刚度矩阵分别写如下:

2.2.3。SEREP

当压缩模型的系数矩阵导出使用SEREP,原始的物理坐标在模态空间模型可以表示如下: 或 在哪里是模态矩阵包含的列模态向量。是模态坐标向量。只考虑主坐标(29日)收益率如下: 在这种情况下,保留模式的数量被认为是比主自由度的数量探讨高频抑制悬臂梁的振动。因此,矩阵排名是有缺陷的。采用非奇异的,作为一个可选择的解决方案来克服这个问题。方程(30.)解决了模态坐标向量如下: 用(31日)(28)产生一个完整的表达式坐标向量的主坐标向量,如下: 因此,浓缩获得的质量和刚度矩阵SEREP可以分别写如下:

动态压缩模型的时间响应,例如,位移,可以用直接求解运动方程得到的逐步积分法,如中央差分法。

因此,梁的位移在接触点可以用四个节点位移计算的埃尔米特插值函数,给出的是哪一个 在哪里是形状函数确定如下:

主自由度时,必须重新当选提到的力移动节点和一个新元素。压缩模型的刚度和质量矩阵也应该重新计算坐标的重排在原始模型。

中心差分积分法是一个两步算法。因此,在时刻的位移只能计算与已知的位移在前两个时刻,也就是说,和,这是由 在哪里,,表示主自由度的位移时刻,,当力影响,分别梁单元。,,是常系数矩阵函数的刚度、质量矩阵的压缩模型和力向量,分别。

方程(36)是适用于大多数情况下,除了在两种情况下的力量刚刚穿过节点和移动到下一个元素后只有一个或两个步骤。这两种情况在理论上是相同的。因此,只有第一种情况是本文中讨论。情况如下。力是一个时间步的左节点th元素,如图5。

这一次,和在(36)不能因为这两次主自由度计算步骤是左边的四个节点自由度梁单元(或之前),,。因此,不能直接计算。

作为一个例子来确定和。传递矩阵是用来建立数值之间的关系和。完整的有限元模型的位移矢量(条目不正确的顺序)可以通过自左乘通过;也就是说,。四项向量第三,第四,th,th条目的向量,分别。向量以矩阵形式可以表达如下: 在哪里是一个4矩阵这是决定如下: 上面的序列号矩阵表示矩阵的非零元素的位置。矩阵的条目,不包括四个单位条目,条目是零。

同样,转换的时刻如下: 用(37)和(39)(36),是可以解决的。

的计算过程正式的一样吗。

因此,浓缩的反应力模型可以解决不断从一个元素。时间集成方法除了中央差分法,如纽马克和威尔逊-方法,也可以用来解决这个问题。不同之处在于主自由度的坐标变换时,力从一个元素的相邻元素。

3所示。轮轨接触有限元模型(移动身体模型)

模型降阶方法模型可以扩展到移动载荷问题的情况下,实际的铁路工程。在这种情况下,集中运动力被双质量弹簧阻尼系统代表了铁路车辆轮和簧上质量,这是假定在水平方向以恒定速度运行被称为“移动身体。“模型如图6。在这个图中,,,,表示铁路质量每米,铁路密度,杨氏模量的铁路、铁路的惯性矩,分别。指的是铁路路基间距。

这个模型可以用来研究轮轨接触问题,这是一个基本的主题在铁路工程。为突出接触行为的研究,采用独轮模型。主簧上质量减少到一个集中质量。轮对是建模为刚体,这是与通过一个主悬吊。

铁路被建模为一个统一的Bernoulli-Euler梁编织成一个一维梁单元(两个铁路之间的铁路部分床也同样集中在四梁元素,如图6)。轨是由离散的粘弹性轨床描述为一系列弹簧和阻尼器。减少技术用于浓缩的铁路模型是一样的,移动负荷情况在前一节中讨论。

移动的身体和铁路之间的交互通过轮轨接触力是实现接口兼容性考虑瞬时的钢轨踏面车轮失去了联系。的接触力可以被描述为非线性赫兹理论中常用的轮轨相互作用问题,给出的是哪一个 在哪里轮位移,的位移矢量的四个节点自由度梁单元的力施加(主自由度),然后呢是前面定义的形状函数。因此,在接触点的位移是铁路。代表铁路不规则。赫兹接触系数确定是吗(16]。

凝聚系统的运动方程如下: 在哪里和簧载质量的刚体位移和轮副,分别;和是向量的主自由度铁路模型。在(42)乘以2,这意味着两条平行的铁轨轮组下存在。压缩系数矩阵的推导过程,,几乎是一样的移动载荷模型。然而,两个原始模型的系数矩阵不同,因为铁路下的弹簧和阻尼器。详细的推导过程省略。可以表达的(9)当的表达式,,,取而代之的是,这是由

整个系统的运动方程是通过组装(41)(43)成矩阵形式如下: 的功能是和所示(40)。这个函数可以改写如下: 用(46)(45)的收益率 方程(47)是一组复杂的非线性二阶常微分方程。因此,模式叠加法无法解决的方程。相比之下,直接时集成方法很容易解决这个问题。例如,显式积分方案提出的翟(17)可以用来解决这个问题,效率高。此外,主自由度可以选择和系数矩阵(47)会被重新计算。这个过程是一样的,在移动载荷的情况。

4所示。验证模型

4.1。验证移动载荷模型

验证了模型的有效性通过比较获得的压缩模型的动态响应使用DCM,国税局、和SEREP与全铁和分析模型。介绍了原始模型部分2.1。分析模型的运动是由偏微分方程,采用叠加模式和中心差分方法来解决这个问题。仿真中使用的参数表1。四个模型的时间响应曲线比较图7。

在图7,动态梁的挠度响应曲线几乎完整的有限元模型预测的分析结果是一致的。三种压缩模型提供分析结果接近的结果,如图7。这个图展示了三种压缩模型的有效性在给定的情况下。关于准确性和效率,国税局和SEREP提供高精度的模型压缩的结果接近的分析模型。三种方法的计算时间大约是相同的。在可靠性方面,SEREP的要求更严格的比国税局。SEREP所涉及的两个参数,即保留模式的数量和总梁元素,是有限的在一个小范围内,必须精确地选择以确保精度高。因此,SEREP不如国税局,适合处理这个问题和国税局被证明是更可行的DCM和SEREP解决动点的负载问题。

4.2。验证轮轨接触模型

预测移动身体的反应可以被认为是检查提出的可靠性理论和发达的计算机程序。例如,以一个恒定的速度通过钢轨接头可以与分析模型的反应相比,铁路的运动由偏微分方程,和最初的几个模型。制定分析模型在理论上是一样的翟模型(16]。钢轨接头不规则模型采用了在这种情况下提出了(18]。这个模型作为励磁电源检查模型的动态响应。

仿真中使用的参数表中列出2。计算的动态响应三个模型呈现在图8。

如图8国税局,动态冲击响应计算是在良好的协议与分析模型。接触力影响的预测国税局略高于分析模型。最大接触力的相对误差的基础上,分析解决方案,国税局是8.4%。铁路在冲击点的最大挠度计算国税局几乎是一样的分析结果,但一个轻微的错误。动态响应曲线的波动与分析结果不一致。

DCM,模拟最大的振幅高频接触力很低,而低估了高频振动振幅的轮轨相互作用。的振动周期略延长。最大接触力的相对误差。然而,铁路位移响应曲线并不是良好的协议分析的解决方案。

SEREP展品几乎相同的准确性国税局。然而,在SEREP保留模式的数量也必须精确地选择,因为数量大或小的保留模式可以使结果不准确。因此,SEREP不适合实际应用。此外,SEREP的计算时间是39.4秒,这是远远大于国税局的计算时间(即。,7.6秒)。这种差异是由于特征值问题的解决当大众的身体移动到一个新元素。因此,SEREP是无意义的,因为打算方法减少计算时间。

是否在移动载荷或移动身体的情况下,美国国税局提供结果接近速度的解析解。相比之下,DCM不能有效预测移动身体的动态响应情况,及其对移动载荷情况下精度低于国税局。SEREP也计算效率低下,方便工程应用。因此,浓缩的轮轨接触模型获得使用国税局可以使用作为一个有效和高效的工具来模拟轮轨相互作用的动力响应问题。

5。讨论计算效率

5.1。移动荷载模型的计算效率

模型降阶技术的主要目的在实现这个问题是减少计算时间。在前一节讨论的基础上,模型由国税局浓缩执行最好的三个冷凝的方法之一。因此,在多大程度上得到使用的压缩模型国税局能减少计算负担必须进行调查。计算时间的比较原始和凝聚模型之间具有不同(i)梁长度或数量(ii)的梁元素采用如表所示3。和表示原来的计算时间和压缩模型,分别。

表3列出了模拟的计算时间由原和浓缩的移动载荷模型在不同参数和的百分比减少它们之间的计算时间。没有数据的空间精度较低的情况下。节中讨论这个问题6。凝聚模型可以减少大约四分之三的原始模型的计算时间当元素的数量是30和梁是5米长。大量的元素显示在很大程度上压缩模型可以减少时间。然而,结果略有不同梁长度的变化。

5.2。轮轨接触模型的计算效率

轮轨接触模型的计算精度或移动体模型如表所示4。

解决最初的轮轨接触模型需要相当长的时间,因为它相对较大的自由度。数据没有显示在表中4。这个表提出了两种情况下不同的铁路长度。两种情况提供几乎相同的模拟动态结果。可以减少计算时间与分析模型相比,67.8%和47.7%。保持较高的计算精度,讨论了部分4.2。该模型可以提供良好的模拟结果与最小自由度。因此,浓缩FE模型获得使用国税局可以使用作为一个高效的工具来模拟轮轨相互作用的行为。

6。讨论移动集中荷载模型

根据前一节的结论,讨论了高度精确的压缩模型,国税局如下。

模型的准确性可能受到多种因素的影响,例如,(i)元素用于网格梁的数量,(2)梁长度和(iii)的速度移动负载。

浓缩FE模型预测的响应(IRS)是由离散与解析解相比不同的价值因素找到他们的最优值。这些因素对精度的影响也调查,见图9。一个相对误差引用作为参数,描述了模型的准确性。这个参数被定义为之比的绝对值挠度响应差异解决方案两个模型的挠度计算的分析模型,并给出的 在哪里和动态梁的挠度值计算的分析模型和凝聚模型(IRS),分别。

规范化移动载荷的旅行时间在水平轴图吗9。天平0和1表示一开始和结束时间,分别。在图9,大的错误发生在开始和结束时间的最小值的结果,梁的挠度计算的分析模型,因为这个值是接近零和函数的分母相对误差表达式,可以计算发散。

图9(一个)显示了相对误差与4、7、10、13梁元素相同的频率和速度。解决方案的准确性最高当光束集中在7到10梁元素。模型与其他元素的准确性较低,因为两个原因。首先,网格密度低的移动load-type问题不能正确反映节点之间的变形和连续梁的性质。第二,高网密度可以克服上述缺陷,但主自由度的数量比原来的小模型。因此,浓缩的表示模型原始模型的影响。解决方案通常变得准确的比例高时,除了在情况下,原始模型自由度的数量太小了。

图9 (b)显示了相对误差与梁长度的2、5、10和15 m相同数量的元素和速度。高精度时获得梁长5米到10米。当梁长度增加,精度下降。

图9 (c)显示了相对误差与移动荷载速度100,200,300,400 km / h为相同数量的元素和频率来构造模型。精度最高的负载移动时生成的速度200公里/小时到300公里/小时。

采用的元素数量是最重要的影响因素。最优的元素数量取决于采用梁的长度和速度的移动载荷。数值例子表明,长束长度允许的最小数量总元素被采纳。

因此,这三个因素的联合效应的影响在凝聚模型的准确性进一步调查以确定最优的元素数量要求在实际应用中,如图10。三个坐标轴梁长度、加载速度移动,和元素的数字。点的大小代表平均相对误差,,定义如下: 在哪里)的相对误差时间步长。是时间的总数确定步骤如下: 的系数定义如下: 和的数量是值为1。的在梁的双方并不认为因为造成的数值误差小梁的挠度太大的价值,这样,计算相对误差变得毫无意义,正如前面所讨论的。

在图10,点的大小正比于平均相对误差,,这是计算使用(49)。小点表示平均相对误差或高计算精度。图表显示,当元素数量大约是8或10,计算精度通常是最高的,它提供了一个类似的结果,上述声明。

图实际上是很重要的,因为它可以帮助确定最优值元素的数量,当一个特定的梁和移动载荷速度。例如,如果梁长10米,负载是300公里/小时的速度移动,然后计算精度达到最高时,光束集中在10梁元素对应于最小的点沿着垂直辅助线。

7所示。结论

为了提高计算效率,减少三个专用模型技术介绍了凝结的有限元模型的动态响应分析要移动荷载的结构。使用相同的方法来减少移动体问题的大小作为一个实际模型在铁路工程研究轮轨接触行为。

应用该模型还原法对移动负荷情况不同于应用的固定负荷情况几个方面。首先,主自由度凝聚模型的负载时,必须选择旅行从一个元素到另一个,而它保持不变。相应地,系数矩阵应该重新计算基于坐标的重排在响应向量的原始模型。第二,非零值的条目的力矢量变化周期性地沿着光束随着负载的旅行,和他们的立场变化的负载转移到下一个梁单元。第三,保证业务的连续性,凝聚模型的初始条件时必须重新定义负载移动到一个新元素的重新选择主自由度。

说明了模型的有效性,提供了数值例子比较浓缩FE模型的模拟解决方案获得通过三个模型降阶技术,即DCM,国税局和SEREP,分析解决方案。结果表明,压缩模型获得使用国税局通常表现最好的三凝结模型和可以提供可靠的结果,在给定条件下计算速度快。

压缩模型的计算效率获得使用国税局调查。移动载荷情况下,凝聚模型可以减少计算时间,大约四分之三的原始模型的前提,它确保了足够准确的解决方案。在移动身体的情况下,完整的有限元方法的计算负担太高了。相比之下,凝聚模型可以减少计算时间一半以上的分析模型的准确性。

提出移动载荷模型的不足是,低精度时表现出主自由度的数量比原来的模型低,光束延长。然而,这些变量之间的定量关系是难以实现的。这个精度低等问题可能解决增加主自由度的数量或添加几个自由度固定节点的主坐标。这个问题将在以后讨论工作。

模型降阶技术只应用到梁元素在这个研究。然而,这种技术理论上可以广义和适应任何元素类型。因此,必须进行更进一步的研究之前,这种方法可以被认为是适用于广泛的应用程序。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金支持下批准号U1234208和开放项目基金会下的牵引动力国家重点实验室的批准号TPL1310。作者想扩展他们的感谢所有赞助商的慷慨的财政援助。