文摘
合成的一种新方法规定目标结构固有频率和振型。引入模态近似瑞利商基于目标模式形状提出结构合成的手段从特征向量灵敏度分析问题的解决方案是免费的。固有频率和振型可以调整尽可能接近理想的目标值,同时最小化总质量。几个例子证实了该方法的有效性。
1。介绍
优化是一个动态系统的逆特征值问题的目标调整系统的响应估计所需的设计变量的变化来实现所需的结构的固有频率的变化。不平等频率约束的结构合成与夹杂物被广泛探讨过去在许多不同的作品发表在文献[1];但是仍然需要创建一个有效的方法不仅包括规定的频率还规定模式形状优化过程中。有重要情况给出的固有频率和振型的调整规定的价值观是可取的,如飞机气动弹性约束下的合成或更新模型,分析或数值模型改进的基于模态测试数据(2,3]。
结构设计裁剪广泛应用于简单的质量和弹簧系统已经在文献中报道。例如,Yee和Tsuei [4,5]提出的方法转移所需的学的使用系统的强迫响应和模态分析。质量矩阵的修改提出了实现理想的固有频率(6]虽然集中质量元素的使用将学的提出了矩形板(7]。息汪月和Ram (8)使用正交原则获得修改刚度和质量矩阵。格拉德威尔(9]介绍了逆方法的离散和连续结构。摩特谢德[10)研究了共振的概念和添加质量或弹簧的动态系统。
在其他相关研究,研究报告同时作业模式的频率和形状,通过开发方法基于模态数据(11)和系统物理模型(12]。例子包括固有频率可获得无阻尼系统的分配使用额外的质量由弹簧连接(13),自然频率和电流谐振梁的分配修改(14),和一架直升机尾锥的结构修改15]。格拉德威尔和Movahhedy16)获得的必要和充分条件,以确保潜浮性能积极的质量和刚度参数的案例研究。
在Richiedei et al。17),提出了凸优化方法。一组线性矩阵差分方程是基于满足瑞利商使用线性化系统的刚度和质量矩阵的设计变量。剩余产生的线性方程组在设计变量用于形成一个凸目标函数。方法可以处理一般的有限元模型和没有必要的特征向量敏感但有限的结构合成,因为它是对结构和非结构化大规模动员的解决方案,从而提供一个集成的难度一般结构合成工具;除了它只能处理线性约束。
尽管它可能直接写的声明中规定的模式形状优化问题,解决这样的问题可能不是一件容易的事,因为定向优化特征向量灵敏度分析的要求,这是昂贵的。也,也许主要数值困难可能出现由于复杂的模态结构系统的行为,许多现实生活中有限元离散的共同特征。
理论上一致的结构合成方法规定目标固有频率和振型在文学似乎是不存在的。如果这种方法可以避免使用昂贵的特征向量灵敏度分析,这可能是用于很大的优势。目前的工作的目标是创建一个有效的方法的收敛能力强的结构合成通用系统规定目标自由振动固有频率()和振型(),不使用特征向量的敏感性。虽然不是强制的,也可取的最小质量的结构。
2。基于模态瑞利商近似合成
自然自由振动eigenproblem离散系统可以写成: 在哪里与固有频率相对应的特征值吗。固有频率与相应的模式形状通过瑞利商,这样 瑞利商是经典用来近似系统的基频和算法解决方案。自旋波的征值问题
在这工作规定对目标固有频率和振型,(),对结构。因此,我们寻求一个最优的解决方案这将满足 的特征值。目标形状特征值与目标模式的瑞利商:
符号表明,刚度和质量矩阵计算最优解。它可能会满足(3)和(4)如果我们有适当的参数或设计变量来调整系统中我们正在处理。
我们定义了一个模态近似瑞利商(MRQA),基于目标模式形状和当前的结构刚度和质量如下:
MRQA量化近似目标模式的形状在目前的设计和所谓的计算。这个数量有很大的动力结构系统的行为,可以是非常有益的。
MRQA可以用来定义以下首先声明我们的合成问题,我们想生成一个结构,将其特征值和模式形状最接近可能对规定的目标如下:
目标函数包含目标频率特征值之间的残差()相关的特征值与系统固有频率()和MRQA ()。的和是适当的加权因素。在定义的合成(6)- (8)我们将调整设计变量,因此刚度和质量矩阵,这样和都将收敛于目标规定的自然频率特征值,。例如,在优化迭代中承认MRQA将收敛于目标频率特征值()意味着模式形状也会收敛于;我们会有。
上面的问题是构成,它将有一个高概率的产生一个解决方案是最好的完成指定的固有频率和振型,但它没有提及限制结构或非结构大规模动员在解决方案,所以概率存在这样一个nonoptimal结构的质量和结构重量可以创建。限制群众可以替代被利用,但现在这将是作为一个开放的问题。
包含的问题陈述可以修改一个术语包含目标函数的结构和非结构化的质量,这样我们可以合成一个最适合的系统规定的目标固有频率和振型,但它与最小消耗的质量。以下新的增强语句的问题然后提出的质量()也在目标函数和约束条件的频率范围特征值和MRQAs:
使用大规模增广目标函数(9),而不是(6)可能会导致一个妥协方案的系统质量最小化但固有频率和振型之间的调整规定的值可能不是最好的。因此,添加约束范围(10)- (11),这样的问题陈述现在(9)- (13)。约束是用来代替严格等式约束范围有两个原因。首先,满足规定的平等的固有频率和振型目标值不可能取决于设计变量用于合成(3]。此外,由于数值优化解决方案往往是更加严格的等式约束,甚至对他们的情况是可实现的。这里的乘数和参数定义范围;例如,和,在那里在优化调整,离开说什么说,和关闭。简单的情况下现在的经验表明,获得了良好的解决方案调整范围顺利,通过解决连续优化和减少这样的范围th优化问题,在那里;例如,。因为新的约束我们可以选择权重和是零,所以清洁质量只定义一个目标函数。
3所示。简支梁
简支梁的长度矩形截面(),如图1。它有五个集中质量设计变量,沿着其形心轴定位。梁高,是一个设计变量。梁的行为包括平面弯曲遵守Euler-Bernoulli理论,没有转动惯量的影响。梁自然自由振动分析是通过Rayleigh-Ritz方法,使用正弦级数的变位十项。梁的长度= 5 m,弹性模量Pa,材料密度公斤/米3。
优化梁的最小总质量,我们有六个设计变量。三个研究病例定义不同于对方主要是由于规定的目标值的固有频率和振型。
3.1。案例1
在这种情况下,梁截面宽度毫米。目标是那些在表的频率值1,而表2有目标模式的形状。
表的固有频率和振型1和2被选出的是相同的,可以获得当梁具有以下属性:米,公斤,公斤,公斤,公斤,公斤;这将被称为参考设计。
目标模式形状见图2,倾向于对称模式1的存在而模式2和3是一个对称矩阵和反对称矩阵的混合部分,使结构合成问题困难相比,只有纯粹的对称或反对称模式。
优化问题被定义为(9)- (13);但是我们使用简单的目标函数对应的质量最小化,即,。顺序优化的解决方案是使用不同的实现和,表中给出的迭代的历史6,这将在稍后讨论。
六个设计变量的最优值用于最小化质量和满足目标表给出了固有频率和振型3和对应的总质量公斤,公斤的集中质量。最优波束的深度m。最优解显著减少的观点的结构和非结构化的质量相比,参考设计,梁高0.020米,非结构质量是380公斤。
表4特征值()和MRQA的值()获得最佳的设计,一个几乎完美的匹配与目标的价值观与偏差,只有0.01%左右。
表5提出了最优模式获得的形状,有与目标模式的表非常接近协议2。这可能是预期从MRQA之间的亲密关系(),的表4。事实上,实现这一目标的可能性匹配解决方案的基础上提出了这项工作。
优秀的协议最优形状可以看到从图和目标模式3。最优模式曲线形状的标志和目标无名几乎可以从其他杰出的一个。
看表是很有意义的6不错的优化迭代的历史。每一个五迭代对应于给定的约束范围的参数值和很快就发现,通过试验和错误。第二行从第三行有初步设计和优化了相应的最优结果和参数。第四列的表中给出的总质量6衰减在第一个迭代,然后生长快速的收紧和。优化的行为非常好,允许使用速降约束范围。此外,优化将会失败如果收紧和非常尖锐或起始值的和太紧了。在第五列的最大约束违反约束的标准化形式(10提出了如下:
同样的结果6列对应于(11)。约束在每次迭代的最优总是满意。表的第二行6初步设计(),与约束违反了54%和,的值用来解决第一个迭代,最后成为满意的约束。获得的解决方案是在Excel中解算器。
提出的解决方案,可调节范围的约束是非常有效的,导致结果如果等式约束,对应。
3.2。案例2
在这里m和目标频率较小,在桌子上7桌子的形状,与目标模式8。
的问题(9)- (13)具有相同的六个案例1的设计变量。梁高是限制,m。这次这两个解决方案会检查:无(2例)和范围(案例2 b)的约束。
对于没有范围限制,我们使用的权重。获得的最优设计,使用相同的初始设计案例1,表给出9。
这一运行获得的最优频率和MRQA表10,显示一个非常满意的协议目标的最优值和,误差小于2%。
最优模式形状的情况下没有范围限制在表11。
在图4最优模式形状描述的曲线是对目标模式的无名曲线形状。我们可以看到,匹配是合理的但不是完美的。
情况下的最优解与范围限制在表2 b12。这是获得使用案例2的初始设计解决方案和范围的限制。可以观察到的解决方案是非常不同的从一个表9设计变量的值。此外,现在总最佳类型的质量是相当大的。
最优频率和MRQA表13,显示一个几乎完美的目标之间的匹配的最优值和。对比表10和13表明,在例2 b解决方案是相当精确的。
表中给出最优模式的形状14和图中所示5有着密切的协议与目标表的值8。值得比较图5从范围约束的情况,图4,从没有他们。很明显,更好的调整范围限制结果的解决方案模式的形状。
3.3。案例3
现在,梁具有相同的目标模式的形状2(见表8根据表),但不同的目标频率15。
目标频率设置试图让情况3比2。这样做是通过保持相同的目标模式的形状2但实施目标频率不是可伸缩的第二种情况。有鉴于此,表15创建看表7,执行以下操作:增加第一目标从1.76赫兹2赫兹频率,减少第二目标频率从8.08赫兹到7赫兹,和减少第三从16.19赫兹到14.5赫兹。
现在的优化是通过调整参数和,导致表中所示的迭代16。可以减少相应的参数;低于这个值不会产生一个可行的解决方案。的值和用于解决连续优化,备注的值计算的最大约束违反的目的只有在最初的设计。
表17表明,该特征值和MRQAs优化设计可以调整合理的目标值,最大误差为3%。
在图6连续线规定的目标模式与标志形状和线条形状最优模式。第一个模式几乎是相同的目标模式;第二个模式似乎是一个更好的拟合规定的目标模式比第三模式。这是情况下获得更好的第二个和第三个模式调整,需要更多的设计变量,如额外的点质量或最终梁变量深度。然而,重要的重点是,这个结果将非常接近最好的近似解的问题使用相同的六个设计变量用于提出的解决方案。
4所示。结束语
提出了一种新的方法,在理论上是一致的规定目标的合成结构固有频率和振型。它避免了使用特征向量灵敏度和似乎有很好的收敛的潜力。应用一个简单梁导致非常令人鼓舞的结果。必须测试更复杂的合成模式和频率调整的问题,我们预计它将提供显著的优势相比,许多方法在文献中提出的。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者表达自己的感谢Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de含量优越。