一维和二维结构分析的随机小波有限元方法

摘要

本文提出了一种基于区间上b样条小波的随机有限元方法，用于一维和二维结构的静力分析。取代传统的多项式插值方法，采用BSWI的标度函数构造位移场。利用虚功原理和BSWI方法，得到了梁、板、平面刚架的小波有限元。将蒙特卡罗方法与构造的BSWI单元相结合，建立了BSWI- sfem模型。所构建的bsw - sfem能够解决材料特性变化、静载荷幅值变化等引起的结构响应不确定性问题。以广泛应用的Timoshenko梁、Mindlin板和平面刚架为例，数值结果表明，该方法比传统的随机有限元方法具有更高的精度和更好的收敛性。

1.介绍

有限元法(FEM)目前已被许多工业领域广泛接受[1-4.］.然而，模型中引入的参数的不确定性极大地限制了有限元计算结果的有效性。许多因素可能导致不确定性，如无知的后果和空间变异性[5.那6.］.

另一方面，工程结构的可靠性设计和分析也需要一种可以处理可变性和不确定性的FE模型。例如，设计变量的微小变化可能导致结构特性的尖锐变化。作为计算随机力学中的强大工具，出现了随机有限元方法（SFEM）。

SFEM是古典有限元素到随机框架的延伸。SFEM最重要的因素是不确定性建模。在过去的几十年中，许多方法与FEM结合以近似上述不确定性。Chakraborty和Dey研究了基于Neumann扩展的随机有限元模拟，不确定结构受到地震的情况[7.］.康奈尔提出了一阶二阶矩(FOSM)方法[8.];事实上，它是摄动法的一种特殊情况[9.那10］.Valdebenito等。研究了一阶扩容考虑介入变量来估算随机有限元分析的二阶统计分析[11］.Karhunen-Loeve [12展开，可以看作是一种正交级数展开，也是SFEM场的重要表示。坂本和加尼姆[13[提出了一种基于多项式混沌扩展的方法，用于呈现变异性。Pulpe对卡勒琴 - 宽夫扩建的随机有限元问题实施了多分辨率分析[14］.Yang等在Karhunen-Loeve级数展开和递阶方法的基础上，将递阶随机有限元方法应用于结构分析[15］.另一种方法是蒙特卡罗模拟(MCS) [16];名称“Monte Carlo”在20世纪40年代被洛杉矶阿拉莫斯工作的科学家在20世纪40年代，以指定基于随机数的一类数值方法。与其他技术相比，MCS更直接和广泛使用。采用一定数量的样品作为先验测试数据，MCS可以为随机字段提供准确的近似[17］.此外，Diazdelao和Adhikari还研究了一种基于高斯过程仿真的随机有限元代码降低计算成本的方法[18］.Han和Bang利用SFEM和期望寿命周期成本概念对钢斜拉桥进行了概率最优安全评估[19］.Lang等将扩展有限元法与谱随机有限元法相结合，研究了几何形状不确定的复合材料传热预测[20.］.Augustin和Rentrop为随机常微分方程构造了随机Galerkin技术，并通过数值例子证明了其优点[21］.Shang和Yun在通用有限元分析程序ABAQUS中提出了一个随机有限元来模拟随机材料的概率结构响应[22］.

有限元法的另一个重要因素是有限元单元的性质，它直接影响有限元法的表现。蒙特卡罗模拟被广泛应用于解决复杂的力学和物理问题，特别是涉及多个独立随机变量的问题。蒙特卡罗方法的本质特点是使用了随机数和随机变量。随机变量是一个可重复过程产生的量，其实际值不能确定地预测[23］.一个样本值的出现频率将被视为其概率的近似。有了著名的“大数定律”，蒙特卡罗模拟的正确性很容易理解。通常是样本大小其中30-100个已经可以提供可接受的准确性的估计[24］.另一方面，该规律使得蒙特卡罗模拟的准确性在很大程度上取决于采样计数器。随着采样计数器数量的增加，计算效率显得尤为重要。也就是说，MCS的实现不仅要基于一个有效的计算机系统，更要基于一个有效的算法。针对目前随机有限元分析中存在的问题，提出了一种基于区间上b样条小波和MCS的随机有限元方法。

在介绍BSWI- fem之前，有必要简要介绍小波分析和BSWI。小波分析是近年来发展起来的一种新方法[25］.小波方法可以看作是一种方法，在这种方法中，近似函数是由基于尺度或小波函数的多分辨率技术定义的，类似于那些在信号和图像处理中使用的方法。小波方法以其多分辨率特性和多种结构分析基函数等可取的特性，不仅在数值分析领域受到许多研究者的热烈讨论[26-28]，也在结构分析领域[29-31］.BSWI基作为小波的一种，除了具有多分辨率分析外，还具有支撑紧凑、平滑、对称等特点。而且，它具有显式表达式，不会给微分和积分带来任何麻烦。所以它是现有的所有小波中在数值计算近似方面最好的一个[32］.基于BSWI的良好特性，一些研究者尝试将BSWI与FEM结合起来解决实际问题[33-37］.然而，上述方法都是在确定的小波空间中构造的，很难对结构不确定性的影响做出满意的近似。

本文提出了一种新的bsw - sfem方法。将BSWI单元与蒙特卡罗方法相结合，建立了BSWI- sfem公式，用于一维和二维结构的静力和振动分析。以Timoshenko梁、Mindlin板和平面刚架为例，计算结果表明，该方法比传统的SFEM方法具有更高的精度和更好的收敛性。

2. BSWI元素的建设

２.１.区间上的一维BSWI

Goswami等构造了BSWI的标度函数，并给出了尺度下的小波配方1995年(39］.任何规模， 这s阶BSWI尺度函数必须满足以下条件[39]为了在间隔内至少有一个内部小波：

然后规模BSWI（BSWI）缩放功能以及相应的小波可由以下公式计算:

让是满足(1）;然后让我们在(2),为任何;根据0比例的阶尺度函数和小波39，我们可以得到规模三阶尺度函数与小波。有边界缩放功能和小波，内部缩放功能，和内小波。缩放功能和间隔上的小波可以写成矢量形式: BSWI4对应的11个尺度函数和11个小波_3.如图所示1．

2．2.区间上的二维张量积BSWI

通过张量产品，2D BSWI可以从1D BSWI轻松扩展。以可分离的小波半甾体正式为单位的是由多分辨率近似空间的张量积构造的和，所以张量产品子空间可以表示为，标度函数可表示为 在哪里，表示一排矢量组合阶尺度函数．，表示由阶尺度函数．小波函数是 在哪里和是bswi的小波在(4.）.数字2（a）给出了二维张量积BSWI的所有尺度函数，张量积BSWI的小波如图所示2（b）那2（c）,2（d）．

２.３.BSWI Timoshenko梁单元

考虑到剪切变形的影响，Timoshenko梁元件的势能的广义函数可以作为[32] 在哪里为抗弯刚度，横截面旋转，剪切模量,为横截面面积，为块力，是块的弯矩，和是剪切变形系数。根据Timoshenko光束理论，和可以被BSWI尺度函数独立插值为

翻译（7.）进入间隔和服用（8.) (7.),让，则弯曲问题的单元求解方程为: 在哪里

振动问题的元解方程为 在哪里为一致质量矩阵: 为刚度矩阵: 是密度和为发动机振动值。

２.４.BSWI Mindlin平板元件

根据Mindlin Plate理论，位移和旋转是独立地插值的，然后是Mindlin Plate弯曲问题的广义势能功能是[32] 在哪里为集中负荷。考虑 在哪里和旋转是有方向的吗和那是Mindlin Plate的厚度，和是泊松比。其他符号与（7.）.以BSWI尺度函数为内插函数: 提交(16) (14），根据广义变分原理，可以如下获得求解方程的BSWI元件制剂： 我们表示以下内容： 类似于如果元素的长度设在那那,被替换为那那,,分别。然后（17)可以写成

振动问题的元解方程为 在哪里以下是以下一致的大规模矩阵： 为下面的刚度矩阵: 是密度和为发动机振动值。

2．5．BSWI平面刚架单元

BSWI平面刚架单元可以看作是轴杆单元和欧拉梁单元的简单叠加。单元节点位移、求解域及对应坐标如图所示3.．

从图中可以看出3.有一个元素的DOF。局部坐标中BSWI平面刚性元件的物理DOF是 虽然全局坐标中的相应DOF（)

为了构造BSWI平面刚架单元，需要得到整体坐标与局部坐标的关系。考虑 在哪里 因此,

因此，在全局坐标中弯曲问题分析的BSWI平面刚性框架元件是

在整体坐标下分析振动问题的BSWI平面刚架单元为

然后，通过引入BSWI轴向杆元件和BSWI欧拉梁元件[40，则可得到BSWI平面刚架。

3.基于区间上b样条小波的随机有限元

MCS-FEM在大规模结构的应用是不可能的，因为几年前由于计算量庞大的计算成本。让我们考虑随机变量的事件可以取离散值吗概率,分别。相应的概率分布函数可以表示为 在哪里为狄拉克函数，其累积分布函数可表示为

由于离散分布被用来近似真实事件中的连续分布，采样计数器应该足够大。

而bsw - fem具有高精度、高效率的特点[26]，将该技术与MCS技术相结合，可以进一步缓解MCS- fem应用于大型结构的局限性。

因此，将蒙特卡罗方法与bsw - fem相结合，提出了区间上基于b样条小波的随机小波有限元方法。第一步是选择初始化参数，比如元素类型和元素编号。然后是采样计数器应确定，变量的概率模型也需要选择。有了这些输入，bsw - sfem的计算就可以开始了，如图所示4.．然后刚度矩阵力矢量用bsw - sfem计算。最后，通过bsw - sfem方法得到了结果。这个过程将不断重复，直到融合。考虑到程序的鲁棒性，采样计数器在课程中被设置为变量;这可以保证收敛。

4.数值例子

对于随机分析问题，很难定义一个精确的解。但在某种意义上，由大量样本得到的解可以是真实精确解的一个很好的近似。在本文中，我们将这种样本精确解作为评价所构造的bsw - fem性质的指标。此外，我们将在bsw - fem分析之前给出传统的有限元分析结果，以验证本文方法的准确性。

所有程序在MATLAB环境下实现。在所有随机模拟中，使用的都是配备2.5 GHz英特尔CPU和2g内存的计算机，操作系统是32位的Windows XP。我们假设所有的参数服从正态分布:长度的平均值是1000毫米(1000毫米×1000毫米板)时,梁的截面的平均值是20毫米×12毫米,板厚度的平均值是10毫米,中值加载幅度为100 N,密度的平均值是7917公斤/米^3.，杨氏模量平均值为206mpa。这些参数的标准偏差为其平均值的5％。

4．1.季莫申科梁的弯曲

一个夹具支持Timoshenko梁下的均匀载荷(如图所示5.在这个例子中考虑了。上面提到了参数。它在表中展示1建议的BSWI元素与确切的解决方案有良好的协议[38］.

4．2.Timoshenko梁弯曲的随机分析

如图所示，在均布荷载下钳位支撑Timoshenko梁的随机分析5.在这个数值例子中考虑。bsw - sfem计算结果如表所示2与传统有限元法进行了比较。可见，1个bsw - sfem单元可以达到与320个常规Timoshenko单元相似的精度。然而，本文方法建立计算只需要0.078 s，而传统方法需要154.875 s，如图所示6.．

数字7.呈现梁中心的偏转的平均值，与样品柜子变化。可以看出，与传统方法相比，1 BSWI-SFEM元件获得了中心偏转的良好近似。虽然传统的方法可以通过网格细化近似得到样品的精确解，但时间消耗急剧增加。当它在大规模结构中使用时，这种增加将导致传统方法的不可接受的时间消耗。然而，由于BSWI-SFEM的效率和准确性，可以大大缓解这个问题。

4．3．Timoshenko梁振动的随机分析

数字8.给出了钳位支撑Timoshenko梁的振动分析结果。将BSWI计算结果与传统有限元方法进行了比较。可以看出，与传统方法相比，1个bsw - sfem单元可以获得较好的固有频率近似。虽然传统的方法可以通过网格细化近似得到样品的精确解，但时间消耗急剧增加。在本算例中，提出的BSWI方法建立1个单元的计算只需6.005 s，而传统方法建立320个单元的计算结果需要240.758 s。

4.4。Mindlin板的弯曲

在这部分中，Mindlin板的弯曲问题如图所示9.用于测试BSWI Mindlin板单元的精度。选取相应的参数作为上述随机参数的平均值。数值结果见表3.表明该方法与确切的解决方案有良好的协议[38再一次)。

4.5。Mindlin板弯曲的随机分析

矩形Mindlin板夹紧和简支边界条件受均布荷载的随机分析如图所示9.在这个数值例子中考虑。采用bsw - sfem结合蒙特卡罗模拟方法对该板进行了随机弯曲分析。两种边界条件的中心挠度见表4.和5.．结果表明，与常规方法相比，bsw - sfem方法能较好地逼近样品的精确解。此外，时间消耗如图所示10和11表明bsw - sfem方法比传统方法更有效，使所提方法可以用于大型结构。进一步的比较见图12和13．使用输出变量的平均值，之后可以执行可靠性计算。

4.6。Mindlin板振动的随机分析

卡箍支撑Mindlin板的振动分析结果如图所示14．与常规元素进行比较BSWI元素的前三个自然频率结果。从结果可以看出，1个BSWI元素可以以320个传统元素获得类似的准确性的结果。然而，1个BSWI方法仅需要10.397 S来建立计算，而传统方法需要4320.385秒以获得与320个元素类似的准确度的结果。

4.7。平面刚架弯曲的随机分析

如图所示15，在该示例中考虑由15个组分组合的平面刚性框架。我们假设所有参数都遵守正态分布。相应的材料参数是弹性模量 N/m²， 宽度米,高度m,密度公斤/米^3.,分别。这些参数的标准偏差为其平均值的5％。

如图所示16，将BSWI单元在A点和B点上的弯曲分析结果与BEAM3单元进行了比较。虽然BEAM3单元通过网格细化可以获得高精度的结果，但计算时间会比较长。而平面刚架的相同求解域仅由15个BSWI单元离散;在480个BEAM3单元的情况下，可以获得相似精度的结果。验证了bsw - sfem平面刚体单元的求解效率和精度。

4.8。平面刚架振动的随机分析

本算例采用bsw - sfem结合蒙特卡罗模拟方法对平面刚架进行了随机振动分析。分析结果如图所示17．BSWI元素结果与光束3元件进行比较。从比较可以看出，尽管光束3元件可以通过网格细化获得高精度的结果，但花费更多的时间。BSWI-SFEM优越，只有15个元素，可以实现高效率和准确性的结果。

5.结论

基于区间上的b样条小波和蒙特卡罗模拟，建立了随机有限元方法。该方法可以处理由结构材料特性的空间变异性引起的响应变异性。以Timoshenko梁和Mindlin板为例，建立并求解了相应的模型。数值算例表明，该方法在求解随机问题时具有较高的解析精度和高效的收敛性。虽然本文只构造了三种随机BSWI单元，但基于相同的插值函数和方法，很容易为解决结构的屈曲和振动问题建立更广泛的工作。采用bsw - sfem方法进行大型工程结构可靠性分析是可行的。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

特别感谢应该向编辑和裁判表示。中国天然科学基金（第51335006号和51225501），由中国博士后科学基金会资助的项目（NO.204M552432）资助的这项工作得到支持（No.200552432），中央大学的基础研究，国家科技重大项目中国（2012年ZX04002071），以及大学长江学者和创新研究团队的计划。

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