文摘

多目标优化问题是一个普遍的问题在各个领域在现实社会。因此,解决多目标优化问题的一个重要问题是近年来许多研究人员研究。近年来的研究,可以看出,仍有很大的发展空间的粒子群算法解决多目标优化问题。本文提出了一种新颖的多目标粒子群优化结合超立方体和距离,称为HDMOPSO。本文中的粒子速度更新部分使用超立方体和距离的组合。为了防止算法陷入局部最优,也使用非线性部分减少相反的变异策略,使粒子探索更多的区域。最后,控制策略用于外部存档来改善算法的收敛性和多样性。算法是模拟在22个测试问题并与多目标粒子群优化算法(MOPSOs)和多目标进化算法(MOEAs)。结果表明,HDMOPSO可以有效改善收敛性和多样性,因此它是一个有效的改进。

1。介绍

在现实生活中,许多问题是由多目标冲突和相互影响。当一个目标是找到最好的解决方案,它不能保证其他目标也同时最好的解决方案,但可能导致退化。科学家通常想让这些目标达到最好的状态在一个封闭的区域,这是多目标优化问题(拖把)。

近年来,它已成为一个重要的方法将生物信息集成到metaheuristic算法来解决多目标优化问题的进化算法。典型的多目标进化算法(MOEAs)遗传算法(1),多目标粒子群优化(2),多目标蜜蜂蜂群算法(3),多目标蚁群算法(4),和多目标微分算法5)等等。粒子群优化(PSO)类似于遗传算法。也是一种算法发明了基于人口的行为。因为它的简单原理、搜索效率高、快速收敛等,广泛应用于工业生产的各个领域。

当使用PSO拖把,我们不应该只考虑常见的困难的过程中传统的多目标优化,但也考虑拖把PSO应用目标的问题。有四个主要问题:(1)粒子的最优选择策略(即。,how to select the “leader” particle to lead the entire population to quickly approach the Pareto front while retaining some individual information); (2) Mechanisms for maintaining diversity (i.e., how to guide particles out of the local optimal solution); (3) Convergence improvement means (i.e., how to improve the search efficiency while maintaining the diversity of the population when the external archive set increases sharply, and strengthen the advantage of the algorithm in terms of convergence velocity); and (4) The balance method of diversity and convergence (i.e., how to dynamically coordinate the relationship between development and local search at different stages of the optimization process to obtain the best optimization results).

为了解决上面的四个问题,科学家们提出了各种解决方案。其中,“领袖”粒子如何选择?宋庆龄朱et al。6)提出了选择一个领导者从外部存档设置和分解的多目标优化问题转化为一个优化问题。这种方法大大减少了算法的计算复杂度,也提高了算法的收敛速度。快速收敛速度和收敛精度高的算法往往会导致多样性表现不佳。将人口划分为多个组(7和各种外部档案维护策略8)可以有效地提高算法的多样性。为平衡多样性和收敛的方法,结合多种策略(9)是必需的。一般来说,“领袖”的选择结合外部档案的更新策略可以有效地平衡算法的收敛性和多样性。因为一个好的“领袖”选择策略能更有效地引导人口收敛于帕累托前沿,和一个好的外部存档控制策略可以更好地保持种群的多样性。然而,形意拳Zhang et al。10)提出了一种多目标粒子群优化竞争机制。这种方法不同于大多数多目标粒子群优化算法(MOPSOs),因为它不使用外部存档。这是更有竞争力在平衡多样性和收敛与大多数MOPSOs相比。意味着改善收敛,虽然选择好“领袖”的策略可以有效地改善算法的收敛性,随着维数的增加,算法的收敛性将受到影响。因为惯性权重可以有效地影响算法的收敛性在科学领域,一些假设惯性权重可以有效地改善算法的收敛性。例如,彭光et al。11)提出了一个动态学习的因素。当然,不仅仅是上面的方法,解决多目标优化问题,而且更广泛的科学领域的探索。因此,本文的主要贡献如下:(1)提出了控制策略的外部存档。在连续迭代算法的更新,产生的非惯用的解决方案将逐渐增加,这不仅增加了算法的复杂性,但是也会影响算法的收敛性和多样性。因此,当非惯用的总数的解决方案和新生成的非惯用的解决方案在外部档案超过预定阈值,超立方体技术用于外部存档控制预设阈值内的非惯用的解决方案。首先,超立方体中创建一个外部存档。然后,创建一个超立方体在最密集的超立方体。最后,一个非惯用的解决方案是随机删除。这种循环会一直持续下去,直到非惯用的数量和解决方案和新生成的非惯用的解决方案的数量内的外部档案预设阈值。该方法可以有效地保持解的多样性,改善算法的收敛性。(2)提出了一种非线性递减相反的突变。这一战略执行非线性递减相反变异的粒子非惯用的解决方案生成的每个迭代更新后,可以有效地防止算法陷入局部最优解。采用非线性下降的方法可以平衡算法的全局探索和局部开发能力,是一种有效的方法来平衡多样性和收敛。(3)提出了超立方体和距离的组合方法来设置粒子速度更新社会一部分。首先,基于目标函数值建立的超立方体非惯用的解决方案在外部档案。其次,计算非惯用的解决方案集的平均值在每个超立方体。我们称之为“广义地位”的价值。这个值是学习的位置的社会集团的一部分。最后,欧氏距离方法允许每个粒子从广义位置接近本身。这一策略是一种有效的手段来提高算法的多样性和收敛。

本文的其余部分组织如下:在部分2,介绍了本文的相关背景知识。部分3给HDMOPSO的细节。部分4验证的性能HDMOPSO通过比较与现有MOPSOs MOEAs。最后,部分5介绍了本文的结论和未来的工作。

2。背景

2.1。拖把

拖把是组成一个优化问题n维决策变量,米目标函数,P+问约束。拖把通常可以转换为最小问题,所以拖把的数学形式表示如下: 在哪里x= (x₁,x₂、……x_n)^T∈X∈Rⁿ是n维决策变量;y= (y₁,y₂、……y_米)^T∈Y∈R^米是米维目标变量;P是不等式约束的数量;问等式约束的数量;和[l_我,U_我的边界我th粒子的尺寸。

在拖把,帕累托统治地位的定义,帕累托最优解决方案,和帕累托最优解集如下。

定义1。(帕累托的主导地位12])。两个决策向量 x_v占主导地位这是表示为 ,当且仅当

定义2。(帕累托最优解12])。x ∈X是帕累托最优的解决方案X,当且仅当

定义3。(帕累托最优解集12])。帕累托最优解的集合成为帕累托最优设置( )。数学定义如下:

定义4。(帕累托前沿(PF) [12])。所有目标函数对应于非惯用的解决方案构成了惯用的最优目标域,也被称为帕累托阵线(PF)。数学定义如下:

2.2。算法

算法进行首次提出的埃伯哈特和肯尼迪(13]1995年,其概念源于对鸟群觅食行为的研究。马瑞医生Ven穴(14]分析证明了算法的稳定性和收敛从理论的角度来看。2002年,coello et al。15应用该算法解决拖把,称为多目标粒子群优化(MOPSO)。想象这样一个场景,一群鸟儿随机寻找食物在一个封闭的区域。在这个领域有很多的食物,但是所有的鸟都不知道食物在哪里。他们只知道食物有多远从当前位置。因此,最简单和有效的策略是需要找到快速有效的食物。算法使用一个无质量的粒子模拟鸟在一群飞鸟。粒子只有两个属性,速度和位置。代表粒子的运动速度,速度和位置代表了粒子的运动方向。粒子使用下列方程来更新它的速度和位置:

右边的方程(6)由三个部分组成。第一部分是粒子的继承之前的速度,代表粒子的信任自己的运动状态,并且是粒子的惯性运动之前的速度。其中,被称为惯性权重,其值是负的。值很大时,全局优化能力强,和当地的优化能力弱。当价值很小,全局优化能力弱,局部优化能力强。第二部分是自我认知的一部分粒子,这意味着粒子的思考本身来源于总结过去的经验,以实现未来行为的决定。在这里pb_我代表了找到的最优解我th粒子的历史经验,被称为“个体极值”。第三部分是社会的一部分,代表了粒子之间的信息共享和相互合作的过程。粒子可以适当调整他们的飞行方向的感知经验的同伴。在标准的算法中,gb_我代表了整个集团迄今发现最优解(即。全局最优)。此外,在方程(6)和(7),代表的速度我th粒子;r₁,r₂(0,1)之间的随机数。x_我代表的当前位置我th粒子;c₁,c₂代表加速度的因素。

2.3。现有MOPSOs

自2002年提出了算法解决拖把,许多学者对它越来越感兴趣。在过去的20年中,有许多MOPSOs。下面,我们将仔细看看一些现有MOPSOs。

Coello et al。15)首次提出使用算法来解决拖把。帕累托提出了面前这个算法选择非惯用的解决方案在当前解决方案并将其保存在档案。全局最优粒子然后决定从归档。虽然与传统non-dominated排序遗传算法相比II (NSGAII) [16),该算法具有一定的优势。但解决方案的多样性和收敛性能可以进一步提高。Nebro et al。17)提出了一个速度约束多目标粒子群优化。这个算法的速度收缩程序是用来防止爆炸的过程中粒子的运动。文献[7,8)提出了全局最优粒子的选择不同的方法的基础上(12]。在文献[7),选择了最优解的方式使用非惯用拥挤距离解决方案在外部档案。在文献[8),全局最优解的选择是基于网格技术档案,根据网格和最优解决方案被选中的距离。实验结果表明,文献[7,8在文献[]是优于算法12在多样性和收敛。

Zapotecas马丁内斯年代et al。18)提出了一个方法,该方法完全依赖分解(dMOPSO)。提出的分解方法类似于算法Qingfu Zhang et al。19),将多目标优化问题分解成几个single−目标优化问题。它还可以结合其他dMOPSO分解方法。在文献[18),一组全局最优的解决方案可以给一组值的最佳值的所有子问题来更新粒子的位置。当然,该算法也有一定的局限性,因为该算法主要解决连续和无约束多目标优化问题。

研究人员还提出其他方法来改善算法的收敛性和多样性。提出的算法最大的区别形意拳Zhang et al。10)和其他MOPSOs是它不使用外部档案。竞争机制是使用的算法,这是由三部分组成:非惯用的解决方案的选择,对竞争和粒子学习。实验结果表明,该算法比现有MOPSO算法更具竞争力。

上述算法在报纸上几乎是针对一些连续的,不连续的,凹、凸拖把的属性。拖把是更多。应胡锦涛et al。(20.)提出了一种特征选择问题来解决模糊成本,在模糊的优势关系,而不是传统的帕累托统治和模糊拥挤距离被用来更新文件。可以计算通过使用一组非惯用的解决方案定义模糊概念应用于一个算法。这是一个高度竞争的方法,特征选择的问题。提出的算法张勇et al。21)是一个强大的工具优化建筑物能源偏好。提出了一种扰动策略和控制参数,如惯性权重和加速度相比传统MOPSOs被删除。传统的控制参数MOPSOs更敏感。

2.4。相反的方向

2005年,哈米德·r·Tizhoosh [22)提出了相反方向的概念。一些研究者相反方向策略用于初始化,两套位置生成位置时初始化。随机产生一组,另一组是生成基于现有的位置相反的方向。文献[23)使用学习策略的相反方向。相反方向的原因是因为在给定的环境中,我们的搜索方向可能是最优解的方向相反。如果我们在错误的方向,继续搜索算法不会得到更好的结果。所以我们可以观察各个方向在搜索过程。有时,它可能看起来相反的方向是有好处的。如果相反的方向是有利的,那么第一步找到相反的方向如下:

定义5。(相反的方向22])。x是一个实数定义在一定的时间间隔,x∈(l,U),如果相反的价值吗x的定义,如下: 同样,相反的数量也可以定义在多个维度。

推论1(见[22])。有x=(x₁,x₂、……x_n),在那里x₁,x₂、……x_n∈R和x_我∈(l_我,U_我),那么相反的被定义为x₁,x₂、……x_n,定义如下:

3所示。HDMOPSO

研究表明,“领袖”粒子的选择算法近年来是至关重要的。“领袖”粒子可以选择最好的解决方案单一粒子发现到目前为止- - - - - -目标优化,但是拖把不一样简略优化由于多目标和多目标优化限制每次生成多个非惯用的解决方案。因此,一个好的“领袖”选择策略可以有效提高算法的收敛性和多样性。此外,由于算法具有收敛速度快,它可能使算法陷入局部最优的拖把。每次迭代后的粒子非惯用的解决方案用于非线性降低相反的突变使粒子可以探索更多的区域。最后,本文还使用一个外部存档控制策略以提高算法的收敛性和多样性。详细介绍如下。

3.1。控制策略对于外部档案

外部存档用于存储非惯用的解决方案在每次迭代之后,候选人的解决方案,也称为解决方案。当外部存档是空的,解决方案将直接进入外部存档。因为一套新的解决方案生成每次更新后的人口,这个新的解决方案是历史的解决方案相比外部存档。这种行为被称为“精英主义”。它有三个情况。(1)如果新解决方案主导历史解决方案在外部存档,历史外部存档解决方案将被删除。(2)如果新解决方案是由历史外部存档解决方案,主导新解决方案也将被自动丢弃。(3)如果历史的解决方案在外部存档互不支配和新的解决方案,解决方案在外部存档和新生成的解决方案保持不变。后判断上述三种情况下,最终的解决方案将被放置在一个外部存档。然而,随着迭代次数的增加,非惯用的解决方案在外部存档逐渐增加,也会增加后续的计算工作,容易使算法陷入局部最优的情况。 Therefore, an external archive control strategy is needed to control the nondominant solutions within a certain threshold. The convergence and diversity of the algorithm are improved at the same time.

本文运用超立方体技术来控制外部档案在一定阈值。外部存档控制的主要问题是,粒子在外部存档都是惯用的解决方案和互不支配。可能会有很小的非惯用的解决方案,防止算法保持多样性。因此,本文主要基于目标函数的值构建超立方体的价值非惯用的解决方案,从中选择最致密的超立方体创建一个超立方体,然后一个是随机删除。精英主义后循环继续,直到所有新的解决方案投入外部存档。图1显示了控制策略的外部存档当目标数是两个。开始建立固定的超立方体据当前非惯用的目标函数值的解决方案,然后选择一个超立方体高密度每次再建立一个自适应超立方体,并随机删除一个来自与高密度超立方体。上述方法可以有效地删除密度非惯用的解决方案在外部存档和增加算法的多样性。此外,每次固定的超立方体建立基于目标函数值当前非惯用的解决方案,然后建立了一个自适应超立方体在最密集的超立方体,这大大减少了算法的计算复杂度。

3.2。非线性递减相反的变异策略

目前,变异策略通常是用于提高该算法的性能,但本文中使用的突变是一个探索和收敛性的结合。它不同于大多数研究者提出的突变,因为大多数当前的突变是增加粒子的探索能力和跳出局部最优解的能力。例如,混合突变和跳跃变异提出了文献[24]。然而,相反的突变的非线性降低本文是当前非惯用的解决方案不是指导下更好的粒子在社会的部分,所以相反的搜索进行防止算法陷入局部最优解。此外,全球搜索往往以非线性递减方式本地搜索,这有利于算法的收敛性。因此,突变也有收敛的能力。

多目标粒子群优化,随着迭代的增加,该算法收敛迅速。根据算法的特点,所有粒子一般搜索基于非惯用的粒子生成的解决方案。结果,目前粒子在非惯用的解决方案只能判断下一个搜索方向的基础上,继承之前的速度和他们自己的经验。如果这些粒子没有粒子的领导下,搜索可能偏离正确的方向。如果以这种方式继续搜索,它不仅会影响算法的收敛速度,而且还会影响算法的收敛性。因此,本文提出一种非线性递减相反的变异策略。如果粒子失去方向的指导下社会的一部分,它可能是有益的搜索在相反的方向。但这绝对是不可能对所有粒子搜索在相反的方向。因为所有的粒子搜索方向相反,人口将逐渐远离更好的解决方案,它总是搜索过程的一部分,这使得该算法无法收敛。因此,本文采用粒子的相反的突变,每次迭代后得到新的非惯用的解决方案。 Figure2突变仿真表明,有15个粒子在一定地区,一定的迭代之后,三个非惯用的粒子。我们可以看到从左边图像如图2,有一些地区在这一领域可以进一步探讨。因此,我们使用非惯用的解决方案的策略相反的变异粒子,粒子可以探索更多地区,一样的1、2和3在图2。然而,探索更远的地方是不可能的,这将影响算法的收敛性,也可能恶化的算法的性能。所以我们用非线性递减相反的突变。早期阶段的算法,粒子的非惯用的解决方案进行更远的相反的突变可以更好地执行全球勘探。随着迭代的增加,算法也进入最后阶段,因为算法最好收敛于帕累托前沿,所以它需要局部探索当前非惯用的解决方案在以后的阶段。因此,对面一个小范围的突变进行最后的算法,和地方进行探索,使算法能够逐渐收敛于帕累托。非线性递减的伪代码相反变异搜索策略如图3。

3.3。设置社会部分基于超立方体和距离相结合的方法

图4显示了粒子在PSO的飞行方向。图中的符号说明参考方程(6)。从图可以看出4的粒子我最后根据三个部分决定了接下来的飞行方向。由于社会的一部分指导代表该组织发现的最优位置,这个职位有更多的资源,所以gb_我是下一个飞行方向的关键因素的粒子我。从上面的分析,我们可以知道,实际上指的是gb_我的位置。因为在单目标粒子群优化算法,只有一个最优解的人口在每次迭代之后,所以粒子的影响学习的人口在人口在社会最优解后可能是最好的一部分。然而,有一个以上的多目标粒子群优化的最优解。如果一个最佳的解决方案是使用盲目引导粒子飞行,它可能会导致粒子收敛在一个方向和失去算法的多样性。目前最常用的策略在这部分是轮盘赌,它使用一个特定的概率,使每个粒子选择一个领导者领导本身,但这种方法更随机。

本文避免了这个随机性和基于超立方体的结合提出了一种方法和距离设置社会的一部分粒子速度更新方程在外部存档。根据建立的超立方体外部存档,候选解决方案在外部档案分为一定数量的超立方体根据目标函数值。非惯用的解决方案集在每个超立方体找到其平均值。在这个过程中,非惯用的解决方案相同的超立方体可以有效地交换信息。图5显示了超立方体由候选解决方案在外部存档问题是两个目标。对于任何超立方体,如果空间k非惯用的解决方案,计算不同维度的平均值。所示(10),j代表了jth超立方体,u代表的超立方体非惯用的解决方案,k空间的代表k非惯用的解决方案,我代表决策变量维度。从图可以看出5有多个这样的超立方体,所以本文还用最短的距离的方法,使每个粒子自主选择自己的平均值。所示(11),在每个超立方体颗粒与平均值相比,直到对应的最小d_最小值被选中。在这个时候,粒子群算法的速度更新方程所示(12)。在方程(12),的方向指南吗我粒子在社会参与t迭代。是由方程(11)。其余的参数分析与方程是一致的(6)。

3.4。步骤HDMOPSO

HDMOPSO的步骤如下:步骤1(初始化)。首先,设置相关参数,如人口规模N,惯性权重 ,和学习的因素c₁,c₂等。其次,随机初始化的位置N粒子和速度= 0。最后,确定个体极值。步骤2。粒子的尺寸是打扰,类似文献[12]。然而,在这篇文章中,随机选择的参考维度,随机选择的粒子和维度要求变化是用来增加算法的多样性。步骤3。计算每个粒子的目标值。步骤4。帕累托主导排序方法排序每个粒子(参考12]),和非惯用排序选择释放到外部存档。第5步。更新部分中描述的外部存档3.1。步骤6。相反的变异粒子的方法是根据部分非线性递减3.2。步骤7。更新个体极值基于步骤4的排序值。如果粒子排名更高,更新个体极值。如果没有晋升,没有更新。如果等级是一样的,选择是随机概率为0.5。步骤8。建立社会部分中描述的部分3.3。第9步。粒子速度和位置更新使用方程(12)和(7)。第10步。如果达到最大迭代次数,则算法结束;否则,返回步骤2。

4所示。实验研究

4.1。测试问题

为了更好的测试HDMOPSO的性能,本文利用ZDT1-4的测试问题和ZDT6 [25),凹凸的几何问题,测试问题有两个目标。为了尽可能地显示该算法的性能,本文还使用DTLZ1-7 [26),测试问题几何线性,凸和可伸缩的。最后,本文还使用更加复杂和难以收敛到帕累托面前UF1-10 [27)测试问题来测试本文算法的性能。

4.2。性能指标

逆代距离(IGD) [28)和超体积(高压)29日),标准偏差(Std),统计箱线图,收敛轨迹比较,和帕累托前模拟用于比较各算法的性能。选择这些测试指标的原因是因为它们用于大部分的文学比较各种多目标优化算法的性能。IGD和高压综合指标用来评估算法的收敛性和多样性。但是这两个是不同的。IGD之间最小距离的平均值在帕累托表面点集和人口。高压不需要帕累托面前,只是一个参考点,算法的综合性能评估根据获得的超体积的解决参考点。其中,IGD值越小,算法的收敛性和多样性越好。高压的价值越大,解集的质量越好。Std.用于评估算法的稳定性,并使用统计箱线图,进一步说明了算法的稳定性。轨迹比较了每个算法的收敛速度。

4.3。实验设置

在本节中,我们将比较HDMOPSO七MOPSOs (MOPSO [15],MOPSOCD [30.],dMOPSO [18],SMPSO [17],NMPSO [31日],MPSOD [32],CMOPSO [10])和7 MOEAs (AGEII [33],ANSGAIII [34],DGEA [35],NSGAIII [36],MOEAD [19],ARMOEA [37],AGEMOEA [38])来验证其性能(全名的首字母缩略词表所示1)。设置在测试问题如下:ZDT1-4和ZDT6是两个客观问题,人口规模是200,ZDT1-3决策变量的数量是30维度,ZDT4和决策变量的数量和ZDT6 10维;DTLZ设置都是三个客观问题,人口规模是100,和决策变量的数量是12维度;UF1-7设置为两个目标的问题,而UF8-10设置为三个客观问题,人口规模200,和决策变量的数量是30维度。每个算法评估10000次,每个算法是独立运营的30倍。为了确保公平的算法比较,比较算法的其他参数设置参照原文。参数数据如表所示2。在表2,p_c和p_米分别代表交叉概率和变异概率。η_c和η_米指数分布的模拟二进制交叉(墨)和polynomial-based变异(PM)。div是部门的数量的坐标轴。 ,c₁,c₂,c₃是一个参数在速度更新算法。F和CR在MPSOD微分进化参数设置。r在CMOPSO选择精英粒子的数量。R在DGEA方向向量的个数。所有实验结果得到了在MATLAB R2020b版本在电脑与电脑的3.60 GHz和16 GB的存储。提供的原始码的比较算法PlatEMO [39]。

4.4。与MOPSOs

表3显示的平均和标准偏差IGD获得来自30个独立运行的HDMOPSO和22日MOPSOs测试问题。下面是一个数据表的分析3(最好的平均为每个测试实例表3以粗体突出显示。大胆的意义凸显在表中4- - - - - -6表是一样的吗3)。从表可以看出3测试问题的HDMOPSO ZDT IGD良好价值。尤其是ZDT4受到的影响尤其明显,这表明,凸集的算法性能更好。然而,从数据可以看出ZDT3 HDMOPSO已经严重恶化与其他七个算法相比,表明该算法有一个贫穷的影响在不连续的测试问题。佛罗里达大学测试问题显然是更好的,和80%的IGD值的其他七个算法显示出明显的优势。尤其是UF7和UF10是一个数量级比其他七个算法。然而,实验结果不能收敛于帕累托面前显然在佛罗里达大学测试问题,而且可以进一步提高在未来的研究。它可以看到从测试DTLZ算法是严重退化的问题。SMPSO和MPSOD DTLZ测试函数的表现良好,但只有两个问题。值得注意的是,HDMOPSO DTLZ6取得更好的结果。从整体效果分析,可以发现,在上面给出的22个测试问题,HDMOPSO的性能是最好的。

表4显示高压的平均和标准偏差从30 HDMOPSO的独立运行,获得MOPSOs 22日测试问题。从表可以看出4ZDT测试问题显然是更好的,因为80%的ZDT测试问题比其他七个算法。佛罗里达大学的测试问题有一些变化,但也有80%的测试问题更好。仍然有一个显著的恶化DTZL的测试问题。从表可以看出4HDMOPSO和MOPSOs仍然有很强的竞争力。

为了更直观地看到本文算法的稳定性和MOPSOs相比时,我们使用一个统计箱线图IGD值获得来自30个独立运行的每个算法。图6表显示了12的测试问题3表现良好。从图可以看出6这是与获得的结果在表一致3。不仅是优化的结果更好,但它也显示了一个更好的优势的稳定。尽管不是ZDT6明显与其他算法相比,他们都表现好于MOPSO, MOPSOCD MPSOD。HDMOPSO之间的比较,NMPSO dMOPSO DTLZ6并不明显,但它在其他5算法具有明显的优势。其他10个测试问题,他们都显示良好的优势,尤其是UF5 UF7, UF9, UF10显示出明显的优势。

HDMOPSO的另一个重要性能是收敛的速度。图7显示了IGD收敛轨迹得到HDMOPSO ZDT6 MOPSOs运行10000次,UF4, DTLZ6。尽管HDMOPSO不明显而NMPSO ZDT6和DTLZ6 HDMOPSO的收敛速度UF4明显优于最佳NMPSO。仔细看看的收敛轨迹ZDT6 DTLZ6将显示,HDMOPSO收敛速度比NMPSO的早期评估。在数据表中3,NMPSO IGD价值的两个测试问题ZDT6 NMPSO DTLZ6比这更好的。以上表明HDMOPSO仍有一些优势NMPSO收敛速度。

最后,图8显示了帕累托面前ZDT4每个算法的仿真。从图可以看出,HDMOPSO几乎所有收敛于帕累托前沿,和分布是好的。其他算法不收敛的帕累托。

通过以上的比较分析HDMOPSO MOPSOs,可以得出的结论。HDMOPSO 22个测试函数中,12个测试问题的表现要好于IGD指标,并从图可以看出6稳定性也更好。在高压指标,13个测试问题表现良好。数据7和8也一度暂时显示HDMOPSO的收敛。特别是,它从表中的数据可以得出结论3和4,HDMOPSO比其他七个算法更有竞争力在上面ZDT和佛罗里达大学的测试问题。也表明运营商提出了收敛性和多样性的良好性能,证实了相关声明部分3这篇论文。

4.5。与MOEAs

表5显示的平均IGD HDMOPSO 22日和MOEAs 30独立运行测试问题。从表可以看出5HDMOPSO明显比其他四个算法在ZDT测试问题。当然,ZDT3的性能测试问题不是很明显,这也表明HDMOPSO不是优秀的非连续集。其他凹和凸集,HDMOPSO MOEAs的其余部分,具有明显的优势,因为ZDT1 ZDT2,和ZDT6都一个数量级低于其他七个算法的最佳值,并在ZDT4测试问题。这是两个数量级低于其他MOEAs最好的算法。此外,佛罗里达大学的测试问题也表现出明显的优势,因为90%的10 UF测试问题比其他四个算法。尽管单一佛罗里达大学优化效果不是很明显,整体效果很好。在DTLZ测试问题中,您可以看到该算法明显恶化,和所有的算法可以显示明显的优势在DTLZ测试问题,和一个是AGEMOEA越好。因为3 7 DTLZ测试的问题比其他测试问题。只有一个或两个剩下的算法表现良好DTLZ测试问题。这样的结果可能是,每个测试的问题DTLZ截然不同,并包含许多局部最优值,这使得它更加难以优化算法。HDMOPSO和MOEAs共有22个测试问题,HDMOPSO执行比15的其他七个算法和显示明显的优势在测试ZDT和佛罗里达大学的问题。 HDMOPSO is more competitive compared with the other seven algorithms.

为了进一步证明上面的结果中,每个算法的高压平均和标准偏差也使用独立运营的30倍。结果如表所示6。从高压指标可以看出,HDMOPSO有着明显的优势超过其他算法在ZDT测试问题,达到了100%。佛罗里达大学还显示一个更好的优势比其他算法,因为80%的佛罗里达大学测试问题表现得比其他七MOEAs算法。尽管数据优化不是很明显,整个数据仍然可以看到明显的优势。HDMOPSO显著恶化在DTLZ测试问题。最好的表演者DTLZ AGEMOEA,因为3的7 DTLZ问题更好。而表中的结果5和6,尽管有一些差异数据,得出的结论也可以清楚地得出结论,HDMOPSO比其他MOEAs ZDT更具竞争力和佛罗里达大学的测试问题。

为了更清楚地展示HDMOPSO不仅表现优秀的数值,但也表现良好的稳定性。图9显示15个测试问题表的统计箱线图5表现良好。从图可以看出9在ZDT1-2 HDMOPSO执行更好,ZDT4 ZDT6,其稳定性比其他MOEAs。HDMOPSO已经显示出明显的优势在佛罗里达大学测试问题除了UF6,和稳定性优于其他算法。在DTLZ测试问题,虽然从表中获得5DTLZ4明显优于其他算法DTLZ7相比,从图可以看出7相比,它并不明显ANSGAIII DTLZ4 AGEMOEA。没有什么比ANSGAIII AGEMOEA和更稳定的平均价值并不比它除了离群值。虽然在DTLZ7没有异常值,还有ANSGAIII和NSGAIII相比有点不同。

图10显示了IGD收敛轨迹得到HDMOPSO ZDT6 MOEAs运行10000次,UF4, DTLZ6。HDMOPSO与MOEAs相比,它不仅具有绝对优势的收敛速度,而且还显示了一个明显的优势在收敛值,这也反映了粒子算法的收敛速度快。

最后,图11显示了帕累托前模拟HDMOPSO ZDT4 MOEAs。从图可以看出,本文算法收敛于帕累托前沿,几乎所有和分布是好的。没有其他算法有收敛的帕累托。

通过以上的比较分析HDMOPSO MOEAs, HDMOPSO执行更好的在22个测试问题和15个测试问题IGD值。图9也显示了良好的稳定性。14高压表现更好。从数据10和11,它可以看到短暂HDMOPSO有明显的收敛速度和收敛性方面的优势。特别是,它显示了明显的优势与MOEAs ZDT和佛罗里达大学的测试问题。因此,HDMOPSO比MOEAs更具竞争力。

4.6。计算复杂度的HDMOPSO

HDMOPSO算法的复杂度主要取决于三个部分的复杂性3这篇文章的。以下将分析一个接一个按三个部分。首先,在维护外部存档,重建超立方体的策略是使用和只有一个操作符。所以复杂度是O (米×div)(米是目标数字。div是部门的数量的坐标轴)。第二,相反突变的复杂性和非线性递减O (N)(N是粒子数)根据伪代码如图3。第三,社会的设置部分基于多维空间和距离相结合的方法,主要由三个部分组成。首先,选择超立方体一个接一个,平均每个超立方体的最佳位置。第二,每个粒子发现其最近的平均位置。最后,决定了粒子飞行的社会部分根据它找到最短的平均位置。所以第三部分的复杂度是O (一个×一个)+ O (N×一个×米)+ O (N)(一个是最优解的数量存储在外部存档。一个是最优解的数量在超立方体)。按照操作规范的象征啊,上面的复杂性可以简化为O (一个(N×米+)+米×div)。

此外,tic和toc在MATLAB软件代码也用于计算每一个算法的运行时间在评估(FEs) 10000倍(单位:第二个)从表可以看出7和8HDMOPSO几乎在同一个数量级MOPSOs和MOEAs在大多数测试的问题,但HDMOPSO算法仍然是慢一点比其他算法。然而,统计后操作依赖于计算机硬件,软件和其他环境因素。因此,数据仅供参考。

5。结论和未来的工作

摘要多目标粒子群优化相结合提出了超立方体和距离。建立超立方体和距离外部存档设置社会的一部分粒子速度更新和改进算法的优化能力。此外,非线性递减相反的突变策略也使用。它不仅提高了勘探的能力,而且还可以防止算法过早收敛。最后,超立方体技术是用来控制外部存档,可以改善算法的计算能力的同时也提高了算法的多样性。HDMOPSO与MOPSOs和MOEAs相比。结果表明,HDMOPSO具有良好的性能,尤其是ZDT和佛罗里达大学测试问题和MOPSOs MOEAs相比具有很强的竞争力。因此,本文的策略是一种有效的改进粒子群算法在解决多目标优化问题。

在未来的研究工作,一方面,算法的优化进行了研究。从数据可以看出本文算法的优化效果差的复杂的问题,所以还需要更有效的策略来解决大部分拖把。另一方面,算法提出的最主要的原因是,它可以有效地解决实际问题在现实中,这是一个关键的点的进一步的研究在现实中解决实际问题。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金(批准nos.71461027)和创新人才队伍在贵州省(钱他Pingtai Rencai[2016] 5619号)。