文摘

限制升级计算机病毒,新病毒补丁必须不断注入网络。在这个场景中,patch-developing成本应该平衡对抗病毒的负面影响。本文主要关注寻求非常均衡patch-injecting策略。首先,基于小说virus-patch互动模型,最初的问题是减少到一个最优控制问题,在每个容许控制(a)代表一个可行的patch-injecting策略和(b)的客观功能措施可行patch-injecting战略的平衡。其次,证明了最优控制问题的可解性,解决问题和最优系统。接下来,几个非常均衡patch-injecting策略提出了通过求解相应的最优系统。最后,有些因素的影响的最佳平衡patch-injecting战略审查。我们的研究结果将有助于防御病毒攻击以具有成本效益的方式。

1。介绍

计算机网络给我们的工作和生活带来巨大的便利1,2]。与此同时,数字病毒可以通过计算机网络迅速传播,对人类社会构成严重的威胁。例如,想Decryptor、臭名昭著的ransomware最近席卷全球,导致大规模的计算机瘫痪(3]。因此,如何减轻负面影响的问题,计算机病毒的一种划算的方式一直是热点研究领域的网络安全4]。

限制发展的计算机病毒,新病毒补丁必须不断注入网络。在这个场景中,有一个明显的冲突patch-developing成本和病毒的影响;减少前者会增加后者,而减轻后者将增强前。因此,patch-developing成本应该平衡病毒的影响。我们将一个动态patch-injecting策略,达到最好的平衡两个方面作为一个非常均衡patch-injecting策略,和我们提到的问题寻求非常均衡patch-injecting策略的virus-patch权衡(VPT)问题。解决VPT问题将有助于防御病毒攻击以具有成本效益的方式。

本文解决了VPT问题。首先,基于小说virus-patch互动模型,最初的问题是减少到一个最优控制问题,我们称之为VPT控制问题,在每个容许控制(a)代表一个可行的patch-injecting策略和(b)的客观功能措施可行patch-injecting战略的平衡。第二,显示了VPT控制问题的可解性和最优性系统为解决VPT控制问题。接下来,几个非常均衡patch-injecting策略给出了通过求解相应的最优系统。最后,有些因素的影响的最佳平衡patch-injecting战略审查。

剩下的材料以这种方式组织:部分2评审的相关工作。部分3和4分别建立和解决VPT控制问题。部分5说明了如何解决VPT控制问题,部分6检查一些因素对最佳平衡的影响。这个工作是总结部分7。

为了解决VPT问题,所有网络用户的预期总损失造成patch-injecting策略必须估计(5,6]。这个量依赖于预期的网络状态,我们需要描述预期的网络状态的演化过程。生成的进化模型本质上是一种传播模式,抓住了互动传播病毒和补丁的7,8]。在可用的文学,这种传播模式被称为Susceptible-Infected-Patched-Susceptible (sip)模型。

区划的传播模型传播模型中所有节点相同的状态被归类为一个类,目标理解的进化趋势的大小或分数每个类(9]。区划的模型是适合捕捉均匀混合网络传播现象发生但无法描述发生在高度异构网络传播现象。区划的口模型提出了(10- - - - - -13)考虑补丁转发,但离开补丁注入的考虑。最近,(14)提出了区划的sip模型与静态patch-injecting机制,从而评估补丁注入的有效性。

节点级传播模型传播模型中,每个节点被认为是一个单独的类,目标是获得洞察的进化趋势预期的网络状态(15,16]。节点级传播模型的一个显著优点是,他们可以准确地描述任意的网络传播现象发生。随着无线和移动通信技术的进步,大多数现有的计算机网络承认一个不规则的拓扑(17- - - - - -19]。因此,建议节点级计算机病毒传播模型(20.- - - - - -25]。特别是,(26]介绍了节点级没有补丁注入口模型。最近,(27]提出了一种节点级口模型与动态patch-injecting机制,从而解决这一问题就像VPT问题通过微分对策方法。在我们看来,这项工作有两个弱点:(i)假定网络后卫意识到所有相关的网络攻击预算总额的犯人。然而,在实践中后卫预算通常是未知的。(2)假设新的补丁可以注入任何网络节点。在实践中,由于网络带宽有限,新补丁通常注入的一个小子集节点,然后转发到应用补丁的节点(28]。

最优控制理论(29日,30.]提供了一个强大的工具来研究如何的问题包含计算机病毒的流行具有成本效益的方式(31日- - - - - -35]。在视图中使用的研究方法的缺陷(27),在本文中,我们处理VPT通过最优控制问题的方法。为此,我们提出一个新的节点级口与动态patch-injecting机制模型,新补丁只能注入的一个小子集节点。因此,我们准确地估计预期的所有网络用户的全部损失。在此基础上,我们减少了VPT问题的最优控制问题,然后通过最优控制理论解决问题。我们的最优控制模型是有前途的,因为,通过收集和分析相关的实际数据,模型参数可以估计相当准确。

3所示。VPT的建模问题

本部分介绍VPT的建模问题。首先,我们介绍一下基本的术语和符号。其次,我们建立一个节点级口模型。最后,我们VPT问题建模为一个最优控制问题。

3.1。术语和符号

考虑一个计算机网络 节点标记 通过 。让 表示网络的拓扑结构,即 ,和每条边代表两个端点之间的通信链路。让 表示的邻接矩阵 ,也就是说, 或0照 与否。假设新的计算机病毒可以注入任何节点的网络,可以通过网络传播,假设新病毒补丁只能注入节点子集 网络,可以转发给其他节点通过网络。

考虑到有限的时间范围 。假设每个节点网络的三种可能的状态:易受影响,受感染的,打补丁的。易感节点节点没有感染任何病毒,但还没有收到最新的补丁。这意味着这些节点很容易受到新病毒。感染某些病毒感染节点节点。修补节点节点没有感染任何病毒和收到最新的补丁。这意味着这些节点拥有临时对新病毒的免疫力。让 ,节点1和2表示 是易感,感染,和修补的时间吗 ,分别。然后在时间网络的状态 可以通过向量特征 让 , ,和 表示节点的概率 易感,感染,和修补 ,分别。 自 ,预期的网络状态的时间 可以通过向量特征

3.2。Virus-Patch交互模型

为了建立一个virus-patch互动模型,我们引入了一组假设如下。(一个1)由于病毒注入,每个敏感节点被感染的平均速度 我们称之为病毒注射速率。(一个2)由于病毒传播,易感节点 被感染时 的平均速度 ,在哪里 是一个常数,我们称之为病毒传播速度。(一个3)由于补丁注入,每个应用补丁的节点 得到修补时 的平均速度 我们称之为补丁注射速率在时间 。(一个4)由于补丁转发,应用补丁的节点 得到修补时 的平均速度 ,在哪里 是一个常数,我们称之为补丁转发率。(一个5)由于新病毒的出现,每个补丁节点的平均速度变得敏感 我们称之为补丁失败率。

备注1。病毒注射速率,病毒传播速度,补丁转发率,和补丁故障率可以准确估计通过收集和分析相关的历史数据。所有补丁注入率控制网络的后卫。

图1显示了上述假设的示意图。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
(图的假设1)- (5)。

基于上述假设,预期的网络状态的发展随着时间的推移根据以下微分动力系统: 这是一个小说口模型,可以用矩阵向量表示法

3.3。VPT的建模问题

这个函数 定义为 , ,是控制网络的后卫。我们将函数作为一个patch-injecting策略。让 表示所有勒贝格可积函数的集合上定义的时间间隔 (36]。从今以后,我们假设所有容许patch-injecting策略的集合 我们将 随着最低容许补丁注射速率, 随着最大允许补丁注射速率。

让 表示单位时间成本 补丁开发。很明显, 增加与 。在本文中,我们简单地假设 是线性正比于 。也就是说, ,在哪里 是一个常数,我们称之为成本系数。因此,patch-developing总成本 单位。

备注2。在实践中, 可能是依赖 在一个更复杂的方式。例如, 可能是成比例的平方 。也就是说, ,在哪里 是一个常数。如果是这种情况,那么patch-developing总成本 单位。的具体形式 取决于 尚未通过大量实际数据的分析。然而,我们的研究方法可以很容易地应用于任何其他依赖关系。

另一方面,我们假设单位时间平均损失由感染引起的节点 是 单位。然后,所有网络用户的预期总损失 单位。让 。因此,我们得到一个衡量patch-injecting战略的平衡 如下。

结合上面的讨论、VPT问题是减少到下面的最优控制问题: 我们将最优控制问题VPT控制问题。在这个问题中,每个容许控制代表一个可行的patch-injecting策略,和客观功能措施可行patch-injecting战略的平衡。的每个实例VPT 11-tuple给出控制问题

4所示。VPT控制问题的理论研究

本节致力于VPT控制问题的理论研究。首先,我们表明,问题是可以解决的。其次,我们提出一个解决这个问题的方法。

4.1。可解性

让 。我们有以下引理30.]。

引理3。VPT游戏问题(8)承认如果满足以下5个条件最优控制。(C1) 是封闭的、凸的。(C2)有 这样的微分系统 是可以解决的。(C3) 是有界的线性函数 。(C4) 是凹的 。(C5) 对于一些 , 和 。

VPT控制问题的可解性保证了以下定理。

定理4。VPT控制问题(8)承认一个最优控制。

证明。(一)让 的极限点 。然后有一个点的序列 ,表示 ,这方法 。作为 完成(36),我们得到 。作为 ,我们得到 。所以, 是关闭的。(b)让 , 。 。作为 是一个真正的向量空间(36),我们有 。作为 ,我们得到 。所以, 是凸的。(c) 是连续可微的,它遵循延拓定理的微分系统(37微分系统 是可以解决的。(d)显然, , 为 , (e)让 , 。作为 我们得到 凸对吗 。(f)显然, 。因此,引理的五个条件3得到满足。由引理3承认一个最优控制、VPT控制问题。
这个定理意味着VPT问题承认非常均衡patch-injecting策略。

4.2。最优系统

根据最优控制理论(29日),当一个最优控制问题的可解性保证,我们可以解决这个问题通过求解最优系统相关的问题。现在,让我们推导出最优系统与VPT相关控制问题(8)。相关的哈密顿是 在哪里 是伴随。

以下的结果是一个必要条件VPT控制的最优控制问题。

定理5。假设 是VPT控制的最优控制问题(8)。让 微分系统的解(5)。然后存在 与 这样

证明。根据Pontryagin最小原理(29日),有 这样 因此,第一个 在系统方程(14)通过直接计算。终端成本是不明和最终状态是免费的,横截性条件 适用。再次被Pontryagin最小原则,我们有 最后一个方程系统(14)是通过直接计算。
最优系统与VPT相关控制问题(8)由系统(5),系统(14), 。在实践中,我们可以应用知名Forward-Backward欧拉计划(38解决最优系统。

5。非常均衡的例子Patch-Injecting策略

在本节中,我们提出了一些非常均衡patch-injecting策略通过求解相应的VPT控制问题的实例。出于比较目的,VPT控制问题(8)和容许控制 ,我们定义的累积平衡功能 很明显, 。为了方便起见,我们 表示一个行向量与适当数量的维度。

小世界网络是网络与小直径和高聚类系数(39]。通过调用Pajek [40),著名的社交网络分析软件,我们得到一个合成小世界网络 ,绘制在图是哪一个2,补丁注入子集 由红色节点。


图2
一种合成小世界网络 ,在哪里 由红色节点。

例1。考虑下面的实例VPT控制问题: 通过求解相应的最优系统,我们得到一个最优控制,这是描绘在图3(一个)。图3 (b)情节的累积平衡函数最优控制和三个静态控制,从它看出最优控制优于这些静态控制的平衡。

(一)
(一)
(b)
(b)
图3
结果示例1(一):一个最优控制;(b)比较最优控制和三个静态控件。

无标度网络与幂律度分布网络(41]。再通过调用Pajek,我们得到一个合成的无标度网络 ,这是描绘在图吗4,补丁注入子集 由红色节点。


图4
一个合成的无标度网络 ,在哪里 由红色节点。

例2。考虑下面的实例VPT控制问题: 通过求解相应的最优系统,我们得到一个最优控制,表现出图5(一个)。图5 (b)情节的累积平衡函数最优控制和三个静态控制,从它看出最优控制优于这些静态控制的平衡。

(一)
(一)
(b)
(b)
图5
结果示例2(一):一个最优控制;(b)比较最优控制和三个静态控件。

图6展示一个真实的电子邮件网络 ,来自[42]。在这里,补丁注入子集 由红色节点。


图6
电子邮件网络 ,在哪里 由红色节点。

例3。考虑下面的实例VPT控制问题: 通过求解相应的最优系统,我们得到一个最优控制,如图所示7(一)。图7 (b)情节的累积平衡函数最优控制和三个静态控件,它是最优控制超出了这些静态控制的平衡。

(一)
(一)
(b)
(b)
图7
结果示例3(一):一个最优控制;(b)比较最优控制和三个静态控件。

我们从上面的例子得出一个非常均衡patch-injecting策略首先呆在最大允许补丁注射速率,然后大幅跳跃到最低容许补丁注射速率,最后呆在这个速度。

6。进一步的讨论

在本节中,我们检查一些因素的影响的最佳平衡patch-injecting策略。为了方便起见,我们 表示非常均衡patch-injecting策略, 相应的平衡。

6.1。四率的影响

首先,我们检查四率的影响, , , ,和 ,的最佳平衡。

实验6。考虑下面的实例VPT控制问题: 在哪里 , 。图8展示这些实例的最佳平衡。


图8
最好的平衡实验6。

从这个实验中得出的结论 增加与 。结果,最好的平衡可以改善通过说服网络用户没有安装可疑软件。

实验7。考虑下面的实例VPT控制问题: 在哪里 , 。图9显示这些实例的最佳平衡。


图9
最好的平衡实验7。

从这个实验中得出的结论 增加与 。再一次,这一结论表明,警告网络用户不要安装可疑软件将改善的最佳平衡。

实验8。考虑下面的实例VPT控制问题: 在哪里 , 。图10展示这些实例的最佳平衡。


图10
最好的平衡实验8。

从这个实验中得出的结论 是随 。因此,最好的平衡可以提高网络用户的提醒及时安装新补丁。

实验9。考虑下面的实例VPT控制问题: 在哪里 , 。图11展示这些实例的最佳平衡。


图11
最好的平衡实验9。

从这个实验中得出的结论 增加与 。此前,最好的平衡可以改善通过开发补丁,可以抵御未来的病毒。

6.2。两个边界的影响

第二,让我们调查的影响最低允许补丁注入速率和最大允许补丁注入速率的最佳平衡。

实验10。考虑下面的实例VPT控制问题: 在哪里 , 。图12展示这些实例的最佳平衡。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图12
最好的平衡实验10。

从这个实验中得出的结论 增加与 和减少 。在实践中,我们应该减少最低允许补丁注入率,提高最高容许补丁注入率达到一个更好的平衡。

7所示。结束语

发挥重要作用在抑制病毒补丁电脑病毒。本文解决的问题寻求patch-injecting策略实现patch-developing之间的最佳平衡成本和病毒的影响。问题已经被减少到一个最优控制问题,和解决方案提出了最优控制问题。最后,有些因素的影响的最佳平衡patch-injecting策略已被确认。

一些相关问题尚未解决。首先,如何选择一个给定数量的补丁注入节点,以便平衡优化值得研究。其次,本文假定补丁传播率是固定的。在实践中,网络后卫可能会改变这种速度灵活地通过重写的通信协议。在这种情况下,我们将面临一个新的和更复杂的平衡问题。接下来,在本文中病毒注入率被认为是固定的。在现实中,病毒制造者可能灵活改变速度,以避免检测。在这种情况下,它是适合解决平衡问题通过博弈论的方法(43- - - - - -46]。最后,本文使用的研究方法可能适用于其他领域,比如云安全(47,48)和物联网安全(49]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号61572006),重庆基础研究和前沿探索项目(批准号cstc2018jcyjA3093)和澳大利亚研究理事会(批准号LP170100458)。