数值模拟溃坝流使用径向基函数的无网格方法与人工粘度

文摘

一个简单的径向基函数(RBF)无网格方法用于求解二维浅水方程(软件开发工程师)模拟溃坝流动不规则,摩擦地形包括湿润和干燥。首先,我们构造相对应的RBF插值空间微分算子。接下来,我们获得数值方案来解决软件开发工程师,利用梯度interpolant近似空间导数的微分方程和一个三阶显式龙格-库塔方案近似微分方程的时间导数。冲击或不连续的问题的解决方案,我们使用一个人工粘性激波捕捉。然后,我们应用我们的方案数理论的二维数值实验涉及溃坝流动非均匀床和移动wet-dry方面/地形不规则的床上。取得了可喜的成果。

1。介绍

开发健壮的无网格方法的偏微分方程数值解的吸引了相当大的兴趣在过去的20年里,例如,(1- - - - - -3]。有三种类型的无网格技术:基于弱形式的无网格技术等得到金法(4),无网格技术基于搭配搭配技巧,如无网格技术基于径向基函数(rbf) [5),和无网格技术基于弱形式的组合和搭配技巧。在文献中,几无网格弱形成技术报告;其中,光滑粒子流体动力学方法(6)和边界点插值法是值得注意7]。弱形式用于推导出一组代数方程通过数值积分过程使用一组正交域可能构建全球或局部领域的问题。在这个话题,刘等人。8)应用无网格局部Petrov-Galerkin的概念和发展的无网格局部径向点插值法。这个方法被研究和使用类的三维波动方程后Shivanian [9]。结合自然的邻居与径向点插值法,有限元法使用multiquadric径向基函数,是由Dinis et al。10)和Belinha et al。11]分析三维固体。

最初,径向基函数的无网格方法开发数据表面拟合,与工作后,由监察(5),径向基函数是用于解决偏微分方程。Fedoseyev et al。12和程等。13)表明,无网格径向基函数(rbf)是有吸引力的选择,因为某些rbf的指数收敛。各种rbf已经成功地应用于获得准确、高效的解决方案的工程感兴趣的偏微分方程。这种方法被应用到解决非粘性可压缩流(14),自然对流(15],热传导[16),三维不可压缩粘性流(17),和长波浪浅水18]。

把方程,也叫做浅水方程,往往是首选的传播在明渠流,他们表现出一个简化的数学结构,以顺利能够考虑到不同流条件和流不连续等液压跳跃,孔移动,在干燥床和传播,尽管它仍然提出了许多理论和实践问题[19]。溃坝流问题是一个理想的理论的例子,涉及到这些液压的挑战。在本文中,我们检查的应用径向基函数的无网格方法浅水方程的数值解溃坝流问题涉及润湿/干燥复杂,摩擦床地形。径向基函数rbf的配方,由multiquadric函数表示受聘为空间基函数来计算权重系数微分运算符,在全球的一组计算搭配点(20.]。摩擦项是包含在分裂的动量方程和离散隐格式(21]。三阶龙格-库塔算法时间集成(22]。

众所周知,浅水方程组承认非光滑的解决方案可能包含冲击和稀疏波,在非光滑底地形的情况下,也包含接触不连续。正确地执行,必须稳定非线性数值方法因为线性稳定方法可能产生大的寄生振荡,甚至爆炸。稳定提出RBF模型慢变流,以及迅速变化的流冲击或垮坝等不连续和液压跳跃,一个人工粘度技术使用,后(23]。此外,为了避免数值不稳定引起的负水深近干/湿方面,当地的流动变量被修改,实施零排放水高度变得非常小。结果,目前的数值方案确保保护非负水深,和没有必要限制通量模拟。

本文的组织结构如下:部分2概述了浅水方程。部分3介绍了偏微分问题的通用配方使用rbf插值。部分4描述了应用rbf产生浅水方程的离散形式。细节给出的数值方法用来表示摩擦项和执行时间集成。部分4介绍了用人工粘性激波捕捉方法。部分6讨论了方法的验证和应用;几个数值实验进行之前公布的基准情况下为了确认该方案的潜力。部分7总结了主要的发现。

2。二维浅水方程

保护形式,给出了二维非线性浅水方程(1)以下24]。泥沙连续性和动量方程中x- - -y方向是 在哪里是总深度从海底到自由表面,和泥沙在笛卡尔速度组件吗和的方向,床上海拔高于固定水平基准面,是重力加速度,和是床上剪应力组件,这被定义为 在哪里密度和水吗估计是床上的摩擦系数,这可能是来自哪里 ,在哪里曼宁系数。 在哪里因变量是向量,和非粘性的通量向量,是向量的源项。完整的向量

3所示。径向基函数的无网格方法

让是一个开放的领域 。假设是一个函数近似在一组N成对的节点 。在RBF无网格方案,近似的在节点可以写成一个线性组合的Nrbf: 在哪里在节点的函数值吗 , 是一个RBF中心在哪里 , 表示节点之间的欧几里得范数和 ,和系数确定。

最常用的rbf之一是multiquadric (MQ) rbf [25]。在这里,我们使用的是无限光滑multiquadric径向基函数定义为 在哪里是一个形状参数,控制表面光滑的健康数据。在目前的工作中,我们使用以下选择[26]: 在哪里表示最小的节点距离。膨胀系数在(5)是通过解决以下的线性系统代数方程 :

膨胀系数是计算 在哪里向量的近似解和吗是一个rbf给出的矩阵

interpolant空间衍生品(5)可能是容易计算,由于其线性。一般来说,第一,二阶空间衍生品在点可以计算为 在哪里=[1,2]表示第一和二阶导数。在一个紧凑的矩阵形式,使用(9),(11)可以写成 在哪里

4所示。RBF浅水方程的离散形式的无网格方法

4所示。1。对流Approx-imations通量和底部地形术语

让我们假设被称为对流通量沿轴和在时间 ,在哪里 。使用(5),它可以近似

这个方程的矩阵形式,

然而,膨胀系数计算

从(14),偏导数通量可以写成

然后,紧凑的偏导数矩阵形式的通量向量

上述同样的程序申请底部地形函数 ,很容易得到其离散形式。地形函数可以近似

然后表示为其偏导数

同样,紧凑的矩阵形式的底部地形沿轴给药

4.2。摩擦的影响

摩擦合并到当前的数值方案,摩擦项是使用一个算子分裂过程离散描述Boushaba et al。27),将浅水方程(2)分为两个方程: 在哪里 。在第一步的计算,上部常微分方程(23)是由一个隐式近似方法中描述(21]: 在摩擦项可以使用泰勒级数表达吗

重新安排上述方程会导致以下公式更新排水在新的时间步骤:

在第二步中,值采取的是初始条件当解决第二个方程(23)。

4.3。时间集成和稳定条件

迄今为止,向前欧拉方法主要用于RBF的首选时域方法。然而,向前欧拉方法只有一阶准确及时,所以可能会引入大量的数值耗散计算RBF的解决方案。实现更高的精确度,我们推荐的使用显式龙格-库塔方法22]。从时间推进解决方案的过程下一个时间进行的是 在哪里代表水平和时间是时间步。实现稳定、明确的计划,时间步长必须符合以下标准: 在哪里是报数量,这样0 <节能灯< 1,表示节点之间的距离最小的搭配点。

4.4。边界条件

在这个工作中,递送的开放流入/流出边界条件和坚实的墙壁反射边界条件应用于模拟。递送的边界,边界上的流动变量搭配点设置为相同的值作为内部点正常的边界。反射边界,搭配点只是价值的镜像,在相关的边界点,正常速度分量为零的边界。然而,RBF内边界条件的表示方法是更重要的。

4.5。实现算法

对于一个给定的初始条件 ,时间集成过程中描述的算法1。右边(RHS)中使用的算法代表了对流通量和底部地形中计算算法2。

5。人工粘性激波捕捉

等特殊的液压问题涉及冲击波,水跃或溃坝流动,代表所需的数值模型是稳定或不稳定的不连续,存在振荡的解决方案预计,它有时会随时间增长。然而,通过引入少量的人工扩散,可以抑制这些振荡(23,28]。因此,我们增加的右边双曲系统(2)与人工扩散条件: 在哪里是一个可调的粘度系数。沛克莱数定义如下:

它经常控制数值解的稳定性(23,29日]。对于convection-dominated流,沛克莱数很大但有限,扩散项的影响(29日)就可以忽略不计。因此,自然而简单的方法对稳定的解决方案是降低沛克莱数。

使用任意函数的RBF插值(12),增强词(29日)可以获得

6。数值结果

6.1。在湿的床一维溃坝

一维溃坝湿,水平床是第一次模拟演示的捕捉能力利用人工粘度修正后的径向基函数方法。长度20米的通道。最初的排水和深度

作为边界条件,零排放和自由边界被认为是左右两端的通道。这个简单的大坝破坏测试的解析解由backward-propagating稀疏和发动冲击波。图1显示流的数值结果大坝失败后,在三个不同时期的水位和流量。在这里,域模型由800分。0.001米的人工粘度²年代⁻¹应用对应沛克莱数300人。图2显示了进化的特写视图自由表面高程沿通道在不同的时间和放电配置文件。一般来说,令人满意的协议实现之间的解析解和数值解,虽然少量的数值扩散发生表面梯度陡的地方。

6.1。二维局部溃坝模拟

对于第二个测试用例,我们考虑一个假想的非对称二维溃坝问题突破,是一个典型的验证在许多论文提出,例如,(30.- - - - - -33]。如图的说明这个问题3,定义的域是200 m×200 m通道水平床。大坝位于中间的领域,和非对称违反与微不足道的厚度和位于75米宽95米的左侧域。最初的排水和深度

作为边界条件,在左边和右边的通道,一个零排放和自由边界被认为是,和一个坚实的墙被认为是对他人。图4显示流的数值结果大坝失败后,在三个不同时期的水深度和速度。我们可以展示,上游水释放到下游一侧突破,创造了涌波传播到下游和上游neglective波。在这里,域模型由2000分。0.001米的人工粘度²年代⁻¹应用对应沛克莱数300人。没有可用解析解对于这种情况,但结果可以比较与其他数值方案。一般来说,结果与其他数值方法获得的结果在协议中提到的文献。

6.2。圆形溃坝

第二个测试用例由瞬时断裂的圆筒形储罐直径20米(图5),最初充满静止2米的水。坦克的破坏所产生的波传播到静水初始深度为0.5米。这个经典问题是广泛用于测试数值的激波捕捉能力计划(34,35]。

图6说明了计算8000搭配点的波传播。0.04米的人工粘度²年代⁻¹应用对应沛克莱数100人。一开始,t= 0年代,三峡大坝是破碎的瞬间,水的列是释放,和冲击波导致深度较低地区水深的增加,径向方向传播。我们的国家获得的解决方案t= 1和2.5年代不同的方法,也就是说,RBF无网格法和三角形有限体积方法、基于网格方法和1 d(图参考解决方案在一个协议7)。没有奇异角影响平滑的解决方案可以被注意到。

6.3。大坝三的线条

非线性浅水方程不太多的解析解的问题流在湿润和干燥地形。在这种背景下,Antuono et al。36]研究浅水流动的一个解析解在凹凸不平的地形,这是波前在沙滩上的分析。当前浅水模型应用于模拟溃坝最初在一个干燥的泛滥平原三个驼峰,Kawahara和Umetsu[推荐的37)对于这个具有挑战性的问题,包括复杂的流体动力学,海底地形,湿润和干燥。模拟设置画在图8,三峡大坝破坏发生在75×30 m矩形域与大坝位于16 m远离上游端。仍然一个水库水面高程1.875米被认为是上游的大坝。域被定义为的床地形

泛滥平原最初干,一个常数曼宁系数0.018 s / m^1/3使用整个域。域墙被认为是可靠的。大坝坍塌瞬间t= 0年代,300年代和仿真运行2000搭配点。

大坝失败后,初始静水水库中冲到下游泛滥平原。在图9,我们现在的水在不同的输出时间深度和轮廓t= 1、6、12、30和300年代。从这些结果可以观察到,大约1 s, wet-dry方面达到了两个小的线条,开始爬过他们。在t= 6.0秒,两个小的线条完全淹没和波前的大驼峰。在t= 12,波前经过双方的大型隆起和开始淹没驼峰的李。最后,流动变得稳定由于摩擦耗散引起的床上,如图所示t= 300年代几乎是流不动的山峰的线条不再淹没。

整体流模式对于这个示例保存没有寄生振荡的出现在RBF无网格方法的结果。显然,结果验证了稳定性和捕捉的属性提出的无网格方法。RBF的无网格方法执行这个测试问题因为它不扩散方面,并没有观察到当寄生振荡的水流的线条。

7所示。结论

本文调查了一个简单的RBF无网格方法的数值模拟溃坝流动通过求解浅水方程包括床摩擦和非均匀床海拔条件。空间导数已经被径向基函数近似对全球搭配点。一个显式的三阶龙格-库塔计划用于集成。发现了RBF无网格方法是灵活和简单的实现。浅水方程的方法是特别有吸引力与经典的基于网格方法相比,因为它本质上是无网,不需要特殊处理的wet-dry接口。方法对几个理论溃坝问题进行了测试,包括大坝与非对称,一个圆形大坝休息和大坝,不规则的床上干/湿界面。数值模型给出了前途的预测与以前相比引用并公布结果。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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