拉片不稳定性的数值调查微动电门MEMS装置通过采用伪谱方法

文摘

提出了一种伪谱近似解决悬臂微开关同步引入不稳定的问题。广为人知,但拉片不稳定时产生作用力达到临界阈值超过此平衡不再是可能的。特别是,库仑静电力量被认为是,尽管该方法可以很容易地推广到占边缘以及卡西米尔效应。数值比较提出了伪谱和有限元(FE)近似的问题,这两种方法都使用相同数量的自由度。结果表明,伪谱方法似乎更有效准确地逼近其尖端附近悬臂的行为。这个事实是至关重要的捕获阈值电压拉片的边缘。相反,菲近似呈现快速交替吸引根据地。/地区沿悬臂,不局限于附近的拉片政权。

1。介绍

微机电系统(MEMS)形成一个相当多元化和不均匀的状况,旨在传感和驱动在广泛的领域,从机械或电子工程,化学或生物学,从微观到微1- - - - - -5]。制造技术是常见的standground等设备,主要依赖于不同光刻技术借用了微电子技术。事实上,MEMS设备大多从硅衬底。可以看出MEMS真的是“系统”,它们通常由几个功能部分联合起来在设备(如压电-和magneto-sensors [6])。在MEMS微动电门形成一套独特的巨大的应用潜力,特别对相移和射频MEMS (RFMEMS)。他们通常聚集在两组,即电容器和metal-air-metal开关。除此之外,它们进一步划分根据驱动方法:静电,电热,静磁和压电最常见的。研究磁弹性驱动微动电门在[7,8低频能量的渐近分析的食腐动物。在本文中,我们关注的拉片不稳定电容器开关驱动静电库仑力。这个特定的应用程序在文献中都得到了广泛的关注,由于拉片诱导失败的重要性的应用程序。最近在这个问题上可以找到在9]。在静态理论分析这个问题的政权提供了(10)和引用。悬臂式MEMS的临界电压被认为是在11- - - - - -14]。MEMS的失败机制包括开裂[15- - - - - -18),剥落的悬臂19- - - - - -21),粘滞作用底物(22- - - - - -24)和温度(25,26]。此外,微极理论往往是首选在处理微,nanodevices将规模效应(27,28]。焦点被设置在一个伪谱近似的问题,这是与一个有限元(FE)的解决方案。光谱属于家庭的伽辽金方法(或Ritz)方法(29日]。谱方法通常分为两组,即伪谱或插值。前者执行完成的一组微分算子的点称为节点(有时也叫正交搭配)。对于后者,在金的方法妥善放置,膨胀系数得到预测解决方案基础上设置(30.]。

本文结构如下:部分2阐述了悬臂梁的控制方程和边界条件。部分3介绍了伪谱方法。中给出了一个数值比较铁的方法部分4。最后,结论部分5。

2。控制方程

让我们考虑一个微悬臂梁开关设备进行静电引力(图1)。微悬臂梁作为一个盔甲下电容器的电势差。让表示电容器铠甲之间的距离。我们考虑一个平面问题,引入横向位移悬臂。让我们引入无量纲变量 然后悬臂读取的控制方程 在哪里和卡西米尔和静电线路负荷,是吗 在这里,代表之间的电势差表演电容器铠甲(SI表示在伏,也就是说,N代表牛顿米计,和C的电荷,表示在库仑),铠甲的宽度,是电介电常数(真空),通常是一个函数的考虑边缘效应。为了说明该方法,我们忽略了卡西米尔力的贡献和承担独立的。然后,我们可以把控制方程(2), '表示分化对在哪里和以下驾驶获得的参数是: 在有吸引力的静电力,它是和边界条件(BCs)的悬臂式阅读 让我们定义;因此,(4)进一步减少 与和BCs 可以看出,整合和利用最后一个公元前,它可以推断 这表明剪力通常是积极的,零只在吗。同样的论点可能适用于推断通常是负面的,除了点它是零,通常是负面的,尽管它消失在哪里。因此,是一个单调递减的的函数和。非线性四阶颂歌(7)可能是集成一次(31日,§4.2.1)准备 可以看出,在这个案子,(10)属于Emdem-Fowler一类非线性常微分方程,在特殊情况下,可能会承认封闭形式的解决方案(31日,32]。评估并利用BCs (8)给 这表明,情况在这个问题无关。此外,它遵循 与评估借 考虑的迹象和收益率的不平等

3所示。伪谱法

控制方程(7)可以通过伪谱方法数值求解29日,33]。因此,一个度多项式函数采用近似函数的时间间隔。采用一种搭配方法以来,多项式唯一决定执行(7在一些预先确定的点(节点)。这个过程的结果在一个非线性代数方程组,这可能是通过标准的解决方法,如牛顿迭代方法。系统的雅可比矩阵可以补充在封闭形式的数值方程解算器。

让是度多项式近似的。通过第一个搭配集定义Gauss-Lobatto点 在哪里代表了度的勒让德多项式。方程(7),评估内部节点收益率的系统代数方程 然后补充边界条件(8) 现在的问题是矩阵形式重写。这一目标,让未知的列向量,向量的广场,向量的th导数 利用导数矩阵(见[33,Chap.7]) 和(16)和(17)可以重写通过导数矩阵 在哪里是单位矩阵。在这里,是与BCs补充(8);即第一行被设置为零,除了第一项设置;第二,倒数最后一行的第一个和最后一个行所取代,,,分别。然后我们有 系统(园艺学会的20.)零向量补充了BCs,即

4所示。数值解

在本节中,伪谱近似与有限元的解决方案相比,这两种方法都使用相同数量的自由度,这对应订单的插值多项式。铁的解决方案,我们介绍节点,每一个被赋予了自由度,即一个平移和旋转。在图2代数方程组(20.)解决不同的驱动参数值(电压差)与有限元方法。很明显出现,,悬臂无因次偏转非常接近;也就是说,悬臂在拉片不稳定的边缘。图3显示了产品,应沿悬臂和等于常数,菲近似。很明显,数值解的质量迅速恶化在悬臂的末端附近,这正是最好的精度要求有效地捕获同步引入阈值。相反,图4块的产品伪谱的近似。两个情节之间的比较是一个引人注目的例子,这个方法的有效性在这种非线性问题。图5情节斜率,沿悬臂梁弯矩和剪力,它说明了BCs了数值解,铁或伪谱。情节得到位移场的连续微分谱方法是现成的,多项式函数在哪里工作。相反,获得相应的有限元近似曲线需要一些额外的照顾节点位移的曲线拟合是第一个应用,然后先后有区别。图6土地应用线路负荷密度拉片附近的有限元解,对应于(负的)静电库仑力。值得注意的是,静电力出现高度振荡(注意,采用曲线拟合,得到一个连续的情节),而且它达到非物质的负值。作为对比,图7描述了同样的行为,远远低于拉片的阈值。看来,静电力相当差近似的方法,甚至不稳定。相反,数据8和9说明从伪谱法获得相同的图形。解决方案的平滑度显著。性能优越的伪谱近似的原因似乎在于它是更健壮的在处理小偏差的悬臂顶端位移的边缘接触。的确,众所周知,伪谱近似保证高精度和指数收敛(在适当的假设下,看到29日顺利]),这个特性证明重要的近似静电力的高度非线性行为。

5。结论

本文采用伪谱方法数值求解悬臂梁拉片不稳定的问题。梁构成电容器的一个装甲,其他装甲由接地平面上表示。尽管只有库仑静电力量被认为是,该方法很容易扩展到处理边缘效应和卡西米尔力。结果可能就尤其重要了MEMS的悬臂式控制器。结果表明,伪谱法比等效有限元逼近,力相等被同等数量的自由度构成的方法。特别好的近似悬臂偏转的尖端附近捕捉至关重要的阈值电压拉片的边缘。的确,可怜的近似导致非常非物质的振动沿悬臂吸引力/排斥的力量。这进一步表明,振荡行为并不局限于附近的拉片政权。最后,它是强调两种方法完全满足边界条件(BCs)。说,目前的分析可以被扩展为包含功能梯度悬臂(34- - - - - -36]和beam-plates [37,38)或包括粘弹性效应(39- - - - - -42]。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

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