M / M / 1多重休假排队系统与分化的假期

文摘

我们考虑一个多重休假排队系统在这一个假期繁忙的时期有不同的分布从一个假期,没有至少一个客户服务。为了便于分析假定服务时间是指数分布和两个假期类型也呈指数分布,但不同的意思。稳态解。

1。介绍

休假排队系统是一个服务器可能不可用一个随机的时间内从一个主要的服务中心。主要服务中心的时间称为一个假期,它可以是多种因素的结果。在某些情况下,假期可以服务器崩溃的结果,这意味着系统必须修复,恢复服务。它也可以是一个深思熟虑的行动利用服务器在一个次要服务中心没有客户出席的主要服务中心。因此,服务器假期是有用的对于那些系统的服务器希望利用他的空闲时间为不同的目的,这使得排队模型适用于各种现实世界的随机服务系统。

排队系统与服务器假期以来已经吸引了许多研究者的注意讨论的想法是第一次征收的纸和Yechiali [1]。几个优秀的调查这些假期模型已经完成,Doshi [2,3高木涉[],和书4和田、张5这一主题。

有不同类型的休假排队系统。在单独的假期计划,服务器需要一个假期的一个随机的时间当队列为空。假期结束的时候服务器返回到队列。如果至少有一个客户等待服务器返回休假时,服务器执行下列操作之一取决于服务策略。(一)下详尽的服务政策时,服务器将所有等待客户以及那些到达时他仍在车站服务。他需要另一个假期当队列为空。(b)下封闭的服务政策,服务器将只提供这些客户,他发现在队列在他从假期返回。最后的服务服务器将开始另一个假期和到达的任何客户,服务器已经在车站服务将提供当服务器从假期返回。(c)下有限的服务政策,服务器将只一个预定义的最大数量的客户,然后将开始另一个假期。单一的服务方案,到底是一个客户服务是一种特殊类型的这一政策。

如果服务器上的队列是空的,服务器等待完成繁忙的时期使用一个服务策略的另一个假期。

在多个假期计划如果服务器返回从一个假期和发现队列为空,他立即开始另一个假期。如果至少有一个等待的客户,那么他会开始根据普遍服务政策。

休假排队系统中观察到,我们已经描述了服务器完全停止服务或关闭当他度假。最近,就是和芬恩(6]介绍了工作假期计划,服务器在一个不同的工作速度而不是完全停止服务期间休假。他们应用M / M / 1队列模型与多个工作假期波分复用光接入网和派生的概率生成函数(PGF)系统中客户的数量。在原来的工作假期计划的制定服务器不能打断当他度假;他的假期结束的时候他只简历全方位服务。

工作假期计划吸引了大量的研究工作,和一些作者已经扩展原始模型。吴和高木涉7)广义模型(6)一个M / G / 1队列与一般工作假期。巴巴(8]研究了GI / M / 1队列与工作假期通过使用矩阵分析法。Banik et al。9]分析了GI / M / 1 / N排队和假期工作。刘等人。10)建立了一个随机分解结果的M / M / 1队列工作假期。

批到达队列,徐et al。11)研究了一批到来/ M / 1队列与单一的工作假期。使用矩阵分析方法,推导出PGF固定系统的长度分布。巴巴(12)研究了一批到来/ M / 1队列多个假期工作。他获得了PGF固定系统的长度分布和系统的随机分解结构长度表明与的关系/ M / 1队列没有假期。

一些研究者还考虑离散时间系统工作的假期。田et al。13)考虑离散时间Geo /地理/ 1队列和多个假期工作。李,田14]分析了离散时间Geo /地理/ 1队列和单一的工作假期。高和刘15分析了离散时间的性能/ G / 1队列与单一的工作假期。李等人。16讨论了离散时间批到来/ GI / 1队列工作假期。

李,田17]分析了GI /地理/ 1队列和中断工作假期和休假。在这样的政策下,服务器可以回到正常工作在假期结束前水平。他们获得了稳态分布系统中客户的数量在时代到来和等待时间为任意客户使用matrix-geometric方案的方法。作者还扩展的M / M / 1排队模型与工作假期和休假中断(18]。GI / M / 1队列与李工作假期和休假中断研究et al。19]。同样,张,侯20.]讨论了一个M / G / 1队列与多个中断工作假期和休假。

回想一下,在多重休假排队系统假设假期时间是独立且同分布。然而,有实际的环境中这种假设可能不是有效的。具体地说,一个假期”一天的辛苦工作之后,许多客户已经服役可能超过一个假期从假期和服务器返回后发现队列为空。我们定义了一个休假排队系统,区分了两种类型的假期,一个服务器可以作为差异化的假期休假排队系统。分析M / M / 1版本的这种类型的休假排队系统是本文的主题。

因此,本文论及一个M / M / 1排队系统中两种类型的假期可以由服务器:度假后立即采取服务器完成至少一个服务客户和一个假期后立即采取服务器刚从之前的假期回来发现没有客户等待。

模型是出于人类的某些方面和物理系统的行为。例如,计算机系统可以承受两种类型的故障之一:永久的失败和间歇失效(21]。永久性故障,有时被称为硬故障,需要的物理修复失败的系统,通常需要很长时间,因为它需要现场服务人员的存在。相比之下,在系统遭受一个间歇失效(或软故障),不需要物理修复。系统恢复到操作的系统重启或其他修复功能,不需要现场服务人员的存在。只要系统没有被用于预期的服务,它可以建模为度假。因此,假期与间歇性故障通常是短时间的假期与永久性故障。

另一个例子是这样的。考虑一个加油站服务员按照以下政策运营。当没有客户等待参加他会休息一下,他在车站可以用来执行其他功能。结束时如果仍然没有等待的客户,他需要另一个突破,但如果至少有一个等待的客户,他将提供详尽,休息时所有客户服务。这是传统的多个度假模式。现在假设有两种类型的断裂,他可以。后,专门服务所有的客户在一个繁忙的时期,包括至少一个客户,他会休息一下喝杯咖啡或者个人打破他的长度分布。如果他回来休息,没有等待的客户,他回到另一个打破的长度分布。这个时间可以用来参加其他职责在车站,通常有一个短的意思是比咖啡/个人休息时间。因此,长时间休息与完成忙期和至少一个服务完成而短暂休息与忙碌的零长度的时期。

一般来说,分化假期出现在环境中不同的持续时间可能发生“休息”。在本文中,我们有相关的繁忙时期这些休息时间。

注意,该模型与传统的多个度假模式不同,因为在传统的多个假期模型假期的时间是同分布和独立于客户的数量在假期前的繁忙时期服役。差异化的度假模式,我们提议,有两个假期的时间分布:一个是与假期相关后采取的非零繁忙的时期,另一个是与假期相关零之后忙碌的时期。该模型的实际应用,持续时间的假期在非零繁忙时间可以超过那些被当服务器没有任何客户在度假之前为了给服务器足够时间休息后一些忙碌忙碌的时期。

本文组织如下。节中定义的模型更加正式2。稳态分析模型的部分3节中,给出了计算结果4,结束语部分5。

2。系统模型

我们考虑一个多重休假排队系统,顾客根据泊松过程到达率。时间为一个客户服务被认为是指数分布与的意思,在那里。我们假设有两种类型的假期:1型度假,在繁忙时间的非零时间、假期和2型,当没有客户在等待服务器当它返回从一个假期。为了便于分析,我们假设1型的度假时间是独立的繁忙时期和指数分布的意思。(正如前面所讨论的,有独立的假设是无效的情况。然而,我们做这个假设简化分析)。同样,持续时间2型度假假定为指数分布与的意思。

让系统的状态用,在那里系统中是客户的数量,如果服务器主动服务客户,如果服务器在1型度假,和如果服务器在2型度假。因此,该系统可以由一个连续时间马尔可夫链的建模state-transition-rate图如图1。

3所示。稳态分析

让表示进程状态的概率在时间,让 论文的主要结果是通过以下定理。

定理1。稳态概率是由 在哪里 提供的负载,,,,。

证明。我们有从全球平衡 因此, 在哪里。同样的, 这给了 在哪里。同时,为我们有, 这意味着 解决上面的递归方程得到 在哪里和。从当地得到平衡 如果我们定义,然后,我们获得 解决递归得到 因此,一般来说我们获得 从总概率的律法,我们有 因此,我们获得 这就完成了证明。

的平均数量在系统是由客户 最后,从小的公式22)系统中同时客户花(或平均延迟)是由

4所示。计算结果

我们假设;因此,。这意味着 我们还假设1型度假的平均时间至少是只要2型的持续时间,这意味着。我们假设并考虑不同的值:。图2显示的变化与。图显示,增加增加(相应减少)。

图3显示的结果和。图中显示相同的趋势图中观察到2。

5。结论

我们考虑过一个有趣的类的多重休假排队系统两种类型的假期。第一种是一个假期,在非零时间的繁忙期结束,第二个是一个假期在零时间的繁忙时期,这意味着没有客户服务。M / M / 1系统的简单例子。结果表明,同时客户花在系统中,我们定义为平均延迟,更敏感的平均持续时间第一种比第二种类型的假期,这是可以预料到的自第一种假期时间被认为是比第二种类型。这个排队系统反映了许多现实生活的经验,一些假期可以用于后处理活动而另一些则实际服务器需要“休息”。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者希望承认Nga的帮助阮和Ogechi Ibe生产数据的图表2和3。他们也要感谢那些评论家的意见在实际系统的应用模型。

引用

1. y利维和美国Yechiali”,利用空闲时间的M / G /1排队系统。”管理科学,22卷,不。2、202 - 211年,1975页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. b . t . Doshi排队系统与vacations-a调查,“排队系统:理论和应用程序,1卷,不。1,29 - 66年,1986页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. b Doshi”,与假期,单一服务器队列”随机分析的计算机和通信系统,h . Takag。页217 - 265,爱思唯尔,1990年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
4. h .高木涉排队分析:性能分析的基础的第1卷假期和优先级系统第1部分,爱思唯尔科学出版商帐面价值,阿姆斯特丹,荷兰,1991年。视图:MathSciNet
5. n .田和振国张休假排队模型:理论和应用程序施普林格,纽约,纽约,美国,2006年。视图:MathSciNet
6. l . d .就是s g·芬恩,“M / M / 1队列与工作假期(M / M / 1 /西弗吉尼亚州)”绩效评估,50卷,不。1,41-52,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. 吴d和h .高木涉“M / G / 1队列与多个假期工作,“绩效评估,卷63,不。7,654 - 681年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. y巴巴,“GI / M / 1队列分析与多个假期工作,“行动研究快报,33卷,不。2、201 - 209年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
9. 公元Banik, c·古普塔,s . s .帕沙克”GI / M / 1 / N排队与多个vacations-analytic分析和计算工作,“应用数学建模没有,卷。31日。9日,第1710 - 1701页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
10. w·刘、徐x和n .田“随机分解$米/米/1$队列与工作假期。”行动研究快报,35卷,不。5,595 - 600年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
11. 张x, z,分析M和n .田。^X/ M / 1休假工作队列,“国际信息和管理科学杂志》上,20卷,不。3、379 - 394年,2009页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
12. M y巴巴。^X/ M / 1队列与多个假期工作,“美国运筹学杂志》上,卷2,不。2、217 - 224年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. n .田、马z和m .刘“离散时间几何学几何学/ 1队列与多个假期工作,“应用数学建模,32卷,不。12日,第2953 - 2941页,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
14. j·李和n .田”分析的离散时间Geo /地理/ 1队列和单一的工作假期,“质量技术和定量管理,5卷,不。1,第89 - 77页,2008。视图:谷歌学术搜索
15. 美国高和z . Liu”离散时间地理的性能分析^X/ G / 1队列与单一的工作假期,“世界科学院、工程和技术,56个卷,第1170 - 1162页,2011年。视图:谷歌学术搜索
16. j·李,w·刘,n .田“稳态分析离散时间批到达队列的工作假期,“绩效评估,卷67,不。10日,897 - 912年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. j·李和n .田”离散时间$G我/Geo/1$与工作假期和休假中断队列”,应用数学和计算,卷185,不。1、1 - 10,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
18. j·李和n .田”的M / M / 1队列工作假期,假期打断,“系统科学与系统工程》杂志上,16卷,不。1,第127 - 121页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. n . j . Li田、马z”性能分析的GI / M / 1队列工作假期和休假中断,”应用数学建模,32卷,不。12日,第2730 - 2715页,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
20. M .张和z侯”,性能分析的M / G / 1队列工作假期,假期中断,”计算和应用数学杂志》上,卷234,不。10日,2977 - 2985年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
21. o . c . Ibe r·c·豪,k . s . Trivedi近似VAXcluster系统的可用性分析,“IEEE可靠性,38卷,不。1,第152 - 146页,1989。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. j . d . c .小”,排队的证明公式:$l=\lambda W$”,运筹学,9卷,不。3、383 - 387年,1961页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

版权

版权©2014奥利弗·c·Ibe Olubukola Isijola。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。