1。介绍
休假排队系统是一个服务器可能不可用一个随机的时间内从一个主要的服务中心。主要服务中心的时间称为一个假期,它可以是多种因素的结果。在某些情况下,假期可以服务器崩溃的结果,这意味着系统必须修复,恢复服务。它也可以是一个深思熟虑的行动利用服务器在一个次要服务中心没有客户出席的主要服务中心。因此,服务器假期是有用的对于那些系统的服务器希望利用他的空闲时间为不同的目的,这使得排队模型适用于各种现实世界的随机服务系统。
排队系统与服务器假期以来已经吸引了许多研究者的注意讨论的想法是第一次征收的纸和Yechiali [
1 ]。几个优秀的调查这些假期模型已经完成,Doshi [
2 ,
3 高木涉[],和书
4 和田、张
5 这一主题。
有不同类型的休假排队系统。在
单独的假期计划 ,服务器需要一个假期的一个随机的时间当队列为空。假期结束的时候服务器返回到队列。如果至少有一个客户等待服务器返回休假时,服务器执行下列操作之一取决于服务策略。
(一)
下
详尽的服务 政策时,服务器将所有等待客户以及那些到达时他仍在车站服务。他需要另一个假期当队列为空。
(b)
下
封闭的服务 政策,服务器将只提供这些客户,他发现在队列在他从假期返回。最后的服务服务器将开始另一个假期和到达的任何客户,服务器已经在车站服务将提供当服务器从假期返回。
(c)
下
有限的服务 政策,服务器将只一个预定义的最大数量的客户,然后将开始另一个假期。单一的服务方案,到底是一个客户服务是一种特殊类型的这一政策。
如果服务器上的队列是空的,服务器等待完成繁忙的时期使用一个服务策略的另一个假期。
在
多个假期计划 如果服务器返回从一个假期和发现队列为空,他立即开始另一个假期。如果至少有一个等待的客户,那么他会开始根据普遍服务政策。
休假排队系统中观察到,我们已经描述了服务器完全停止服务或关闭当他度假。最近,就是和芬恩(
6 ]介绍了
工作假期计划 ,服务器在一个不同的工作速度而不是完全停止服务期间休假。他们应用M / M / 1队列模型与多个工作假期波分复用光接入网和派生的概率生成函数(PGF)系统中客户的数量。在原来的工作假期计划的制定服务器不能打断当他度假;他的假期结束的时候他只简历全方位服务。
工作假期计划吸引了大量的研究工作,和一些作者已经扩展原始模型。吴和高木涉
7 )广义模型(
6 )一个M / G / 1队列与一般工作假期。巴巴(
8 ]研究了GI / M / 1队列与工作假期通过使用矩阵分析法。Banik et al。
9 ]分析了GI / M / 1 / N排队和假期工作。刘等人。
10 )建立了一个随机分解结果的M / M / 1队列工作假期。
批到达队列,徐et al。
11 )研究了一批到来
米
X
/ M / 1队列与单一的工作假期。使用矩阵分析方法,推导出PGF固定系统的长度分布。巴巴(
12 )研究了一批到来
米
X
/ M / 1队列
多个 假期工作。他获得了PGF固定系统的长度分布和系统的随机分解结构长度表明与的关系
米
X
/ M / 1队列没有假期。
一些研究者还考虑离散时间系统工作的假期。田et al。
13 )考虑离散时间Geo /地理/ 1队列和多个假期工作。李,田
14 ]分析了离散时间Geo /地理/ 1队列和单一的工作假期。高和刘
15 分析了离散时间的性能
地理
X
/ G / 1队列与单一的工作假期。李等人。
16 讨论了离散时间批到来
地理
X
/ GI / 1队列工作假期。
李,田
17 ]分析了GI /地理/ 1队列和中断工作假期和休假。在这样的政策下,服务器可以回到正常工作在假期结束前水平。他们获得了稳态分布系统中客户的数量在时代到来和等待时间为任意客户使用matrix-geometric方案的方法。作者还扩展的M / M / 1排队模型与工作假期和休假中断(
18 ]。GI / M / 1队列与李工作假期和休假中断研究et al。
19 ]。同样,张,侯
20. ]讨论了一个M / G / 1队列与多个中断工作假期和休假。
回想一下,在多重休假排队系统假设假期时间是独立且同分布。然而,有实际的环境中这种假设可能不是有效的。具体地说,一个假期”一天的辛苦工作之后,许多客户已经服役可能超过一个假期从假期和服务器返回后发现队列为空。我们定义了一个休假排队系统,区分了两种类型的假期,一个服务器可以作为差异化的假期休假排队系统。分析M / M / 1版本的这种类型的休假排队系统是本文的主题。
因此,本文论及一个M / M / 1排队系统中两种类型的假期可以由服务器:度假后立即采取服务器完成至少一个服务客户和一个假期后立即采取服务器刚从之前的假期回来发现没有客户等待。
模型是出于人类的某些方面和物理系统的行为。例如,计算机系统可以承受两种类型的故障之一:
永久的失败 和
间歇失效 (
21 ]。永久性故障,有时被称为硬故障,需要的物理修复失败的系统,通常需要很长时间,因为它需要现场服务人员的存在。相比之下,在系统遭受一个间歇失效(或软故障),不需要物理修复。系统恢复到操作的系统重启或其他修复功能,不需要现场服务人员的存在。只要系统没有被用于预期的服务,它可以建模为度假。因此,假期与间歇性故障通常是短时间的假期与永久性故障。
另一个例子是这样的。考虑一个加油站服务员按照以下政策运营。当没有客户等待参加他会休息一下,他在车站可以用来执行其他功能。结束时如果仍然没有等待的客户,他需要另一个突破,但如果至少有一个等待的客户,他将提供详尽,休息时所有客户服务。这是传统的多个度假模式。现在假设有两种类型的断裂,他可以。后,专门服务所有的客户在一个繁忙的时期,包括至少一个客户,他会休息一下喝杯咖啡或者个人打破他的长度分布。如果他回来休息,没有等待的客户,他回到另一个打破的长度分布。这个时间可以用来参加其他职责在车站,通常有一个短的意思是比咖啡/个人休息时间。因此,长时间休息与完成忙期和至少一个服务完成而短暂休息与忙碌的零长度的时期。
一般来说,分化假期出现在环境中不同的持续时间可能发生“休息”。在本文中,我们有相关的繁忙时期这些休息时间。
注意,该模型与传统的多个度假模式不同,因为在传统的多个假期模型假期的时间是同分布和独立于客户的数量在假期前的繁忙时期服役。差异化的度假模式,我们提议,有两个假期的时间分布:一个是与假期相关后采取的非零繁忙的时期,另一个是与假期相关零之后忙碌的时期。该模型的实际应用,持续时间的假期在非零繁忙时间可以超过那些被当服务器没有任何客户在度假之前为了给服务器足够时间休息后一些忙碌忙碌的时期。
本文组织如下。节中定义的模型更加正式
2 。稳态分析模型的部分
3 节中,给出了计算结果
4 ,结束语部分
5 。
3所示。稳态分析
让
p
n
,
k
(
t
)
表示进程状态的概率
(
n
,
k
)
在时间
t
,让
(1)
p
n
,
k
=
lim
t
→
∞
p
n
,
k
(
t
)
。
论文的主要结果是通过以下定理。
定理1。
稳态概率
p
n
,
k
是由
(2)
p
n
,
k
=
{
ρ
(
α
1
β
1
(
β
1
n
- - - - - -
1
- - - - - -
ρ
n
- - - - - -
1
)
β
1
- - - - - -
ρ
h
l
h
+
α
2
β
2
(
β
2
n
- - - - - -
1
- - - - - -
ρ
n
- - - - - -
1
)
β
2
- - - - - -
ρ
+
ρ
n
- - - - - -
2
]
p
1,0
k
=
0
α
1
β
1
n
p
1,0
k
=
1
α
2
β
2
n
p
1,0
k
=
2
,
在哪里
(3)
p
1,0
=
(
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
)
×
(
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
+
α
1
(
1
- - - - - -
β
2
)
h
l
h
×
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
1
)
}
+
α
2
(
1
- - - - - -
β
1
)
h
l
h
×
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
2
)
}
)
- - - - - -
1
,
ρ
=
λ
/
μ
提供的负载,
α
1
=
μ
/
(
λ
+
γ
1
)
,
α
2
=
μ
γ
1
/
λ
(
λ
+
γ
1
)
,
β
1
=
λ
/
(
λ
+
γ
1
)
<
1
,
β
2
=
λ
/
(
λ
+
γ
2
)
<
1
。
证明。
我们有从全球平衡
(4)
(
λ
+
γ
1
)
p
0 1
=
μ
p
1,0
。
因此,
(5)
p
0 1
=
μ
λ
+
γ
1
p
1,0
=
α
1
p
1,0
,
在哪里
α
1
=
μ
/
(
λ
+
γ
1
)
。同样的,
(6)
λ
p
0,2
=
γ
1
p
0 1
,
这给了
(7)
p
0,2
=
γ
1
λ
p
0 1
=
(
γ
1
λ
)
(
μ
λ
+
γ
1
)
p
1,0
=
α
2
p
1,0
,
在哪里
α
2
=
μ
γ
1
/
λ
(
λ
+
γ
1
)
。同时,为
n
=
0
,
1
,
2
,
…
我们有,
(8)
λ
p
n
,
1
=
(
λ
+
γ
1
)
p
n
+
1,- 1
,
λ
p
n
,
2
=
(
λ
+
γ
2
)
p
n
+
1、2
,
这意味着
(9)
p
n
+
1,- 1
=
λ
λ
+
γ
1
p
n
,
1
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
p
n
+
1、2
=
λ
λ
+
γ
2
p
n
,
2
n
=
0
,
1
,
2
,
…
。
解决上面的递归方程得到
(10)
p
n
,
1
=
(
λ
λ
+
γ
1
)
n
p
0 1
=
α
1
(
λ
λ
+
γ
1
)
n
p
1,0
=
α
1
β
1
n
p
1,0
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
p
n
,
2
=
(
λ
λ
+
γ
2
)
n
p
0,2
=
α
2
(
λ
λ
+
γ
2
)
n
p
1,0
=
α
2
β
2
n
p
1,0
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
在哪里
β
1
=
λ
/
(
λ
+
γ
1
)
<
1
和
β
2
=
λ
/
(
λ
+
γ
2
)
<
1
。从当地得到平衡
(11)
λ
p
n
,
0
+
λ
p
n
,
1
+
λ
p
n
,
2
=
μ
p
n
+
1,0
n
=
1
,
2
,
…
。
如果我们定义
ρ
=
λ
/
μ
,然后
n
=
1
,
2
,
…
,我们获得
(12)
p
n
+
1,0
=
ρ
p
n
,
0
+
ρ
p
n
,
1
+
ρ
p
n
,
2
=
ρ
p
n
,
0
+
ρ
α
1
β
1
n
p
1,0
+
ρ
α
2
β
2
n
p
1,0
。
解决递归得到
(13)
p
2、0
=
ρ
{
α
1
β
1
+
α
2
β
2
+
1
}
p
1,0
=
ρ
{
α
1
β
1
(
β
1
- - - - - -
ρ
)
β
1
- - - - - -
ρ
+
α
2
β
2
(
β
2
- - - - - -
ρ
)
β
2
- - - - - -
ρ
+
ρ
0
}
p
1,0
,
p
3,0
=
ρ
{
α
1
β
1
2
+
α
2
β
2
2
+
ρ
α
1
β
1
+
ρ
α
2
β
2
+
ρ
}
p
1,0
=
ρ
{
α
1
β
1
(
β
1
2
- - - - - -
ρ
2
)
β
1
- - - - - -
ρ
+
α
2
β
2
(
β
2
2
- - - - - -
ρ
2
)
β
2
- - - - - -
ρ
+
ρ
}
p
1,0
,
p
4、0
=
ρ
{
ρ
2
α
1
β
1
3
+
α
2
β
2
3
+
ρ
α
1
β
1
2
+
ρ
α
2
β
2
2
h
h
+
ρ
2
α
1
β
1
+
ρ
2
α
2
β
2
+
ρ
2
}
p
1,0
=
ρ
{
α
1
β
1
(
β
1
3
- - - - - -
ρ
3
)
β
1
- - - - - -
ρ
+
α
2
β
2
(
β
2
3
- - - - - -
ρ
3
)
β
2
- - - - - -
ρ
+
ρ
2
}
p
1,0
。
因此,一般来说我们获得
(14)
p
n
,
0
=
ρ
{
α
1
β
1
(
β
1
n
- - - - - -
1
- - - - - -
ρ
n
- - - - - -
1
)
β
1
- - - - - -
ρ
+
α
2
β
2
(
β
2
n
- - - - - -
1
- - - - - -
ρ
n
- - - - - -
1
)
β
2
- - - - - -
ρ
h
l
h
+
α
2
β
2
(
β
2
n
- - - - - -
1
- - - - - -
ρ
n
- - - - - -
1
)
β
2
- - - - - -
ρ
+
ρ
n
- - - - - -
2
}
p
1,0
n
=
1
,
2
,
…
。
从总概率的律法,我们有
(15)
1
=
∑
n
=
1
∞
p
n
,
0
+
∑
n
=
0
∞
p
n
,
1
+
∑
n
=
0
∞
p
n
,
2
=
p
1,0
{
α
1
1
- - - - - -
β
1
+
α
2
1
- - - - - -
β
2
+
α
1
β
1
ρ
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
1
)
h
h
h
h
+
α
2
β
2
ρ
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
+
1
1
- - - - - -
ρ
}
=
p
1,0
{
(
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
+
α
1
(
1
- - - - - -
β
2
)
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
1
)
}
(
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
)
- - - - - -
1
h
h
h
h
l
+
α
2
(
1
- - - - - -
β
1
)
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
2
)
}
)
h
h
h
h
×
(
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
)
- - - - - -
1
}
。
因此,我们获得
(16)
p
1,0
=
(
(
1
- - - - - -
ρ
)
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
)
×
(
(
1
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
β
2
)
+
α
1
(
1
- - - - - -
β
2
)
h
l
h
×
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
1
)
}
+
α
2
(
1
- - - - - -
β
1
)
h
l
h
×
{
1
- - - - - -
ρ
(
1
- - - - - -
β
2
)
}
)
- - - - - -
1
,
这就完成了证明。
的平均数量在系统是由客户
(17)
E
(
N
]
=
∑
n
=
1
∞
n
p
n
,
0
+
∑
n
=
0
∞
n
p
n
,
1
+
∑
n
=
0
∞
n
p
n
,
2
=
{
α
1
β
1
ρ
(
2
- - - - - -
ρ
- - - - - -
β
1
)
(
1
- - - - - -
ρ
)
2
(
1
- - - - - -
β
1
)
2
+
α
2
β
2
ρ
(
2
- - - - - -
ρ
- - - - - -
β
2
)
(
1
- - - - - -
ρ
)
2
(
1
- - - - - -
β
2
)
2
h
+
1
(
1
- - - - - -
ρ
)
2
+
α
1
β
1
(
1
- - - - - -
β
1
)
2
+
α
2
β
2
(
1
- - - - - -
β
2
)
2
}
p
1,0
。
最后,从小的公式
22 )系统中同时客户花(或平均延迟)是由
(18)
E
(
T
]
=
E
(
N
]
λ
。