局部和非局部核对麦克斯韦流体混合对流传热的影响

摘要

本文对麦克斯韦流体混合对流换热进行了研究。首先用无量纲形式的耦合偏微分方程组来证明流体的流动。然后，利用具有奇异核(Caputo/C)和非奇异核(Caputo - fabrizio /CF和Atangana-Baleanu (nonlocal)/ABC)的非整阶导数的新定义，推导出其分数阶形式。利用拉普拉斯变换得到了混合形式的解，对于拉普拉斯逆变换，用Stehfest和Tzou的数值算法求解。描述了考虑不同参数影响下的C、CF和ABC解的比较。由于记忆效应，与整数阶导数相比，C、CF和ABC很好地解释了所考虑问题的物理方面。此外，解释速度记忆效应的最佳拟合模型是CF。将牛顿流体和普通麦克斯韦流体的解作为特例考虑，并在文献中找到。

1.介绍

自然对流和强迫对流的结合被称为混合对流。近年来，由于其在核、化学、食品、航空航天、电气、流体动力学和天体物理学等许多工程领域的广泛应用，这种现象得到了广泛的应用。当自由或自由流动时，组合对流过程就成为现实单靠强制对流不足以正确描述传热过程。在传热现象中，混合对流的许多不同的显著影响在本文中都可以看到[1- - - - - -4］．整数阶导数被广泛地用于模拟现实世界的数学问题。与整数阶导数相比，非整数阶导数的非局部性质使它成为一种更有效的工具。非整数导数的性质，以更好地了解所考虑的材料的流变和遗传特性，使其更有价值。它在工业、工程、技术等领域的许多复杂动力学的建模描述中已经成为必不可少的。

与粘性流体和牛顿流体相比，非牛顿流体更为重要，因为它们描述了现实问题的复杂现象。大多数情况下，工程和工业中存在的问题表现出非线性关系。非牛顿流体以非线性关系连接剪应力和剪应变。这一点剪切应力和剪切应变的非线性关系使得非牛顿流体的流动更加精细，麦克斯韦流体因其多样性和流变特性而成为研究最广泛的非牛顿流体之一[5］．由于流体流动的历史，粘弹性流体的性质最好用非整数/分数阶导数来描述。Bagley和Torvik [6]和生殖细胞[7是将分数方法引入粘弹性流体的先驱。Mainardi和Spada研究了粘弹性流体的特性[8他们发现得到的结果与实验给出的数据吻合得很好。Caputo、Caputo - fabrizio和Atangana-Baleanu介绍了分数阶导数的定义，分数阶导数在流体动力学和其他工程和科学学科的许多问题中得到了广泛的应用。

hato和Mingyu研究了分数阶Maxwell流体在两平行平板间的流动特性[9］．他们用有限傅立叶余弦和拉普拉斯变换得到了压力梯度的解。贾米尔(10]探索了具有滑移效应的分馏麦克斯韦流体在垂直板上流动的解析解。作为特例，他发展了普通麦克斯韦流体和粘性流体的结果。Khan等人解决了多孔介质中麦克斯韦流体的非定常MHD流动问题[11]他们研究了由板块的正弦或余弦振动引起的流体运动，揭示了速度和剪切应力的有趣行为。Vieru和Zafar[12]考察了在滑移条件下麦克斯韦流体的库埃特流动。利用拉普拉斯积分变换，得到了由板的恒定和正弦运动引起的速度和剪应力的结果。

Imran等人研究了Maxwell流体中的传热现象[13]Aman等人对分级Maxwell流体在MHD和二阶滑移效应作用下的传热进行了分析[14］．得到了速度和剪应力的半解析结果，并用图形进行了比较。拉扎和乌拉[15]采用C和CF导数研究了考虑牛顿加热的麦克斯韦流体中的传热。对比结果表明，在C情况下，流体的温度和速度较低。梅金和马哈茂德[16]研究了浸没在多孔介质中的化学反应表面外部流动的混合对流方面。对于垂直表面，Minto等人对混合对流进行了此类研究[17]对水平通道和恒定热流下的混合对流流动的研究揭示了有趣的结果，这一结果由Chou和Tsern证明[1]Khan等人[2考虑了放热和等温拉伸盘的混合热对流现象，给出了解析结果。

这种通信的目的是考虑在恒定壁温的振荡垂直板上的麦斯威尔流体，并通过C、CF和ABC的分数导数定义分析混合对流换热现象。传热分析的结果在工业中非常重要，例如冷却回路、散热器、热交换器、除冰系统、太阳能电池板、锅炉和许多其他家用电器和工业设备。

2.问题的数学描述

本文研究了垂直振荡板上不可压缩Maxwell流体非定常混合对流流动现象。流体和平板在开始时都是静止的，温度是

随着时间的增加，板块开始随着速度作正弦运动 （W₀为运动的振幅，是单位阶跃函数，和表示平板振动的频率)，它导致麦克斯韦流体开始流动。板的温度升高/降低到一个恒定值 ．随着时间的增加，速度达到零，温度达到自由流温度 ．麦克斯韦流体沿剪切应力混合对流传热现象用以下偏微分方程描述[3.］．参数列表见表1． 施加的初始条件和边界条件是

无量纲关系定义为：

降维后的无量纲偏微分方程组“符号是 给出了无量纲形式的初始条件和边界条件

3.预备阶段

Caputo (C)分数阶时间导数定义为 及其拉普拉斯变换

Caputo–Fabrizio（CF）分数时间导数为 拉普拉斯变换定义为

Atangana-Baleanu (ABC)时间导数定义为 其拉普拉斯变换定义为

4.问题的分数形式

4.1.卡普托时间分数模型

4．2．Caputo-Fabrizio时间分数模型

4．3．Atangana-Baleanu时间分数模型

5.解温度

5．1.卡普托意义

通过对方程(16）， 上面方程的解是

5.2.卡普托-法布里齐奥感知

方程的拉普拉斯变换(19)是

以上微分方程解应用变换后的边界条件 从(6)和(7)是 哪里

5.3。Atangana-Baleanu感

拉普拉斯变换在方程中的应用(22）， 上述方程的拉普拉斯解为 哪里 ．

6.速度的解决方案

6．1.卡普托意义

通过对方程进行拉普拉斯变换(14)，代入 从方程式(24），

方程的解(29)使用相应的变换后的边界条件(6)和(7)是

6.2。Caputo-Fabrizio感

取的值 从方程式(26)，则变换后的速度方程为

上述方程的解如下所示： 哪里

6.3。Atangana-Baleanu感

对方程施加拉普拉斯变换(20)，用的值代替 从方程式(28),我们得到

解出上面的方程，我们就得到了解 哪里

7.剪应力解

7.1。卡普托意义

将拉氏变换后的剪应力方程简化为

对速度方程求导(30关于并将值放入方程(35)，则得到剪应力表达式:

7.2.卡普托-法布里齐奥感知

采用拉普拉斯变换后的剪应力方程(18)是

对速度方程求导(32关于并将值放入方程(37)，则得到剪应力表达式: 哪里

7.3。Atangana-Baleanu感

拉普拉斯变换在方程中的应用(21)简化给予

代入速度方程的导数(34)中的为 哪里

类似地，Abro等人给出了ABC模型的速度、剪应力和温度的解[18] （米= 0和 在方程(2.8))。对于速度、温度和剪切应力的CF溶液，我们发现[19，20] （ 在方程(7)).

采用Stehfest和Tzou数值算法得到了速度和温度解的拉普拉斯逆变换[21，22］．

Stehfest算法定义为 哪里n是正整数吗 其中，实数整数部分由[.]描述。Tzou的数值算法定义为 Re(.)是实部，虚部是我,N₁ >> 1表示自然数。

8.结果和讨论

对麦克斯韦流体混合对流换热与非整数阶C、CF和ABC方法进行了比较研究。采用C、CF和ABC分数阶法求解速度、温度和剪应力，采用拉普拉斯变换，并采用数值算法求解拉普拉斯逆变换。用图形描述了分数参数、Prandtl数和Grashof数对速度、温度和剪切应力的影响，并对三种方法进行了比较，揭示了有趣的结果。

图形1显示温度剖面上的分数参数的物理洞察力。随着时间的变化，温度随C、CF和ABC方法中分数参数值的增加而增加。我们可以看到，在CF和ABC中，随着时间的增加，温度升高并迅速达到稳态。CF和ABC的结果有一点不同。

的普朗特数控制了热边界层的厚度，使得温度随时间的变化而降低，如图所示2. 我们看到CF模型中的温度分布急剧下降，与C和ABC相比，它缓慢地趋于稳定状态。

部分参数控制图中显示的流体速度3.．随着时间的从小到大，我们看到速度变成了的递增函数 ．原因是,，增加，边界层厚度增加，导致速度加速 ，我们将恢复中已经存在的整数阶导数的解[3.］．

图形4描述了Grashof数Gr在不同时间尺度下对速度剖面的影响。

图示描述了流体流动速度随Gr的增加而上升。浮力控制粘性力，并导致速度加快。CF显示了与C和ABC相比的最高速度。

重大影响速度剖面图如图所示5．流体的流量随着上升。增加，而导热系数降低，导致粘度增加，从而减慢流体流动。可见，CF模型的速度最高。

图形6分析了Grashof数的影响不同时间尺度下的剪切应力。剪切应力随Grashof数的增加而增大在边界附近，然后出现一个临界点y在那里它开始下降。CF的临界点比C移动得更远，而ABC的临界点更接近边界。

突出我们观察到剪切应力的行为7．与之相反的行为速度随时间的增加而减小， ，在临界点，它会朝相反的方向改变行为。

为 ，牛顿流体的结果可在[23]中找到。麦克斯韦和牛顿流体C、CF和ABC的比较结果如图所示8．

9.结论

本文考虑了混合对流流体在麦克斯韦流体中的传热问题。利用C、CF和ABC的非整数阶导数定义来表述问题。通过拉普拉斯变换和数值拉普拉斯逆变换得到半解析解。对比分析了速度、温度和剪应力在不同相关参数影响下的解的行为。通过分析得出以下结论:（1）温度随温度的升高而降低对于时间的变化(2）速度随Gr值的增大而增大，随Pr的增大而减小（3)剪切应力在临界点表现出增加的行为，然后在Gr的影响下下降(4）在Pr的作用下，剪切应力呈现先减小后增大的趋势（5)在比较非整数阶导数方法（C、CF和ABC）时，我们注意到CF的重要性更多地归因于非奇异核(6）为了验证我们的结果，我们给出了 已经考虑了，并且获得的结果已经出现在文献中

数据可用性

文章中提供了所有用于支持本研究的相关数据。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者感谢各大学对本文的大力支持，使之更加完善。

参考文献

1. 周世福和蔡恩平，“加热块上水平通道流的混合对流换热，”传热传质中的输运现象， 1992年第2卷，第492-503页。视图:出版商网站|谷歌学者
2. N.Khan，T.Mahmood，M.Sajid和M.S.Hashmi，“由放热和等温拉伸盘驱动的麦克斯韦流体MHD混合对流轴对称化学反应流上的传热和传质，”国际传热传质杂志，第92卷，第1090-1105页，2016年。视图:出版商网站|谷歌学者
3. I.khan，N.A.Shah和L.C.C.Dennis，“麦克斯韦流体在振荡垂直板上混合对流传热分析的科学报告，”科学报告，第7卷，第5期1、2017年第40147条。视图:出版商网站|谷歌学者
4. N.Khan，H.A.Nabwey，M.S.Hashmi，S.U.Khan和I.Tlili，“两个具有热源/汇的无限等温拉伸圆盘之间麦克斯韦流体混合对流的理论分析，”对称性，第12卷，第2期1，第62页，2019。视图:出版商网站|谷歌学者
5. J.C.麦克斯韦，“四.气体动力学理论，”伦敦皇家学会哲学学报1867年，第157卷第49-88页。视图:出版商网站|谷歌学者
6. R. L. Bagley和P. J. Torvik，“分数阶微积分应用于粘弹性的理论基础”，流变学杂志第27卷第2期3，页201-210,1983。视图:出版商网站|谷歌学者
7. A.德国，“关于分数差异”，计算机与数学应用，第25卷，第540-5491938页。视图:出版商网站|谷歌学者
8. F. Mainardi和G. Spada，“流变学中基本分数阶模型的蠕变、松弛和粘度特性”，欧洲物理杂志专题第193卷第1期1, pp. 133-160, 2011。视图:出版商网站|谷歌学者
9. “基于分数阶Maxwell模型的粘弹性流体在管道中的非定常流动”，力学研究通讯第34卷第3期2，页210-212,2007。视图:出版商网站|谷歌学者
10. M.Jamil，“滑动对振荡分馏麦克斯韦流体的影响，”非线性工程，第5卷，第5期。1, pp. 25-36, 2016。视图:出版商网站|谷歌学者
11. I.Khan，F.Ali，U.S.Haq和S.Shafie，“多孔介质中麦克斯韦流体非定常MHD振荡流的精确解，”自然研究杂志，第68a卷，第635-6452013页。视图:出版商网站|谷歌学者
12. D.Vieru和A.Zafar，“麦克斯韦流体在壁面滑移条件下的一些Couette流动，”应用数学与信息科学，第7卷，第1期，第209-219页，2013年。视图:出版商网站|谷歌学者
13. M. A. Imran, M. B. Riaz, N. A. Shah，和A. A. Zafar，“MHD边界层流动广义Maxwell流体在指数加速无限垂直表面上的滑移和边界上的牛顿加热”，结果在物理，第8卷，第1061-1067页，2018。视图:出版商网站|谷歌学者
14. “多孔介质中分数阶麦克斯韦流体流动的传热和二阶滑移效应，”沙特国王大学学报，第32卷，第2期1, pp. 450-458, 2018。视图:出版商网站|谷歌学者
15. N. Raza和M. A. Ullah，“利用Caputo和Caputo- fabrizio衍生物对分数Maxwell流体传热分析的比较研究”，加拿大物理学杂志第98卷第1期1，第89-101页，2019。视图:出版商网站|谷歌学者
16. J. H. Merkin和T. Mahmood，“多孔介质中反应表面的对流流动”，多孔介质中的输运第33卷第3期3，第279-293页，1998。视图:出版商网站|谷歌学者
17. B. J. Minto, D. B. Ingham, I. Pop，“多孔介质中垂直表面放热反应驱动的自由对流”，国际传热传质杂志号，第41卷。1, 1998年。视图:出版商网站|谷歌学者
18. K.A.Abro、I.Khan和A.Tassaddiq，“Atangana Baleanu分数阶导数在垂直板上多孔介质中MHD Maxwell流体对流中的应用，”Édition Diffusion press Sciences，第13卷，第1期，第12页，2018年。视图:出版商网站|谷歌学者
19. I.Khan，N.A.Shah，Y.Mahsud和D.Vieru，“使用分数Caputo-Fabrizio导数对振荡垂直板上麦克斯韦流体的传热分析，”欧洲物理杂志Plus，第132卷，第4期，第ID194条，第12页，2017年。视图:谷歌学者
20. N. a . Shah和I. Khan，“使用分数阶Caputo-Fabrizio衍生物在振荡垂直板上的二级流体传热分析”，C，第76卷，第76期7, p. 362, 2016。视图:出版商网站|谷歌学者
21. H. Stehfest的《拉普拉斯变换的数值反演》计算机通信协会，第13卷，第9-47页，1970年。视图:出版商网站|谷歌学者
22. d . y . Tzou宏观到微观传热:滞后行为， CRC出版社，美国华盛顿特区，1997。
23. C.Fetecau，M.Jamil，C.Fetecau和I.Siddique，“关于麦克斯韦流体斯托克斯方程第二个问题的注记，”非线性力学学报，第44卷，第10期，第1085-1090页，2009年。视图:出版商网站|谷歌学者

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