抽象性
研究Opial型超二次函数不平等 证明任意内核均值定理估计此外,通过分析具体函数获取分分分分分分衍生物不平等
开工导论和初步结果
Opial的不平等性 非常重要和有用 研究差分方程1960年Opial介绍下方定理说明
定理一(见[一号))等一等 如此之大 并 For .接下去 来 最佳常量
多位作者持续研究Opial不平等问题并成功建立非常有趣的结果面向阅读器的多例归纳和扩展2-14并引用其中Opial类型不平等有助于研究差分方程,例如初始值问题的独特性,边界值问题的存在和独特性,并设定解决方案的上界历史调查发布不平等后给出的不平等一号Agarwal和Pang阅读书[见2..Mitrinović和Pecarić1988年通过定义二类函数涉及普通内核,证明Opial类型函数不平等[见15,16..受这些不平等驱动,最近,我们研究这些不平等凸函数,考虑广义功能类任意内核17..同时,对特殊内核而言,分片Opial类型不平等证明面向不同的分片分片分片运算符和衍生运算符18号,19号..
论文的目的是研究Opial类型超二次函数不平等问题,这些函数也与保留凸函数的不平等问题相关联。既定结果估计Opial类型不平等并有适当定义函数帮助定义和结果对介绍本文件结果有需求如下
定义一(见[4))a函数 表示凸性if for all 并全部 , 挂起位置 区间插入 .
定义2(见[20码))a函数 称超二次函数向所有人提供 ,现场真常量 中位数 下方列马探索超二次函数的凸性
莱马一号(见[20码))等一等 超二次函数 定义中2.之后,我们有i) 二) 去哪儿 可变性 并 三) 正凸和 if 等一等 表示函数类 有表示式 去哪儿 连续函数 任意非负内核 For 并 隐含式 面向每一个 .等一等 表示函数类 有表示式 去哪儿 连续函数 任意非负内核 For 并 隐含式 面向每一个 .
定理2(见[15,16))等一等 可变函数令 ,函数显示 正凸和 .等一等 去哪儿 并 .接下去
逆向不平等 传说中
类似结果类 显示如下 。
定理3(见[15,16))等一等 可变函数令 ,函数显示 正凸和 .等一等 去哪儿 并 .接下去
逆向不平等 传说中
最近,为超二次函数确定了下列Opial类型不平等
定理4.(见[21号))等一等 可变函数 增量并发 .等一等 , ,并 .接下去,以下不平等支持超二次函数 :
定理5(见[21号))条件定理4外加 if 非负向性,然后我们有
定理6.(见[21号))等一等 可变函数 增量并发 .等一等 , , ,并 .接下去,以下不平等支持超二次函数 :
定理7(见[21号))条件定理6外加 if 非负向性,然后我们有
下列函数提供剖面函数和超二次函数类,对确定论文结果有用
emma2(见[22号))等一等 ,去哪儿 并 面向所有 .后函数 定义由 均匀化
莱马3(见[23号))等一等 , 中位数 ,面向所有 .考虑函数 定义由
后函数 并 正在增加中 。并,如果 ,后函数 ,超二次式
Lemma4(见[22号))等一等 , , ,并 面向所有 .后函数 定义由 直通方位 ;也就是说 , ,均匀化
下下文定义Riemann-Liouville分解分解和Caputo分解衍生物如下
定义3(见[24码))等一等 并 .左偏右列曼-利欧维尔分片集序 定义由 去哪儿 即伽马函数
定义4(见[24码))等一等 并 , ,并 .左侧和右侧卡普托分片衍生物 定义由 中25码安卓奇等显示左侧和右侧Caputo分片衍生物组成特征下两个emmas表示
Lemma5等一等 , ,并 For ; 并 For .等一等 如此之大 For .等一等 .之后,我们有
莱马6等一等 , ,并 For ; 并 For .等一等 如此之大 For .等一等 .之后,我们有
下一节中,我们证明平均值定理估计非负差4-7.内段3证明分解版结果第2节Riemann-Liouville集成物和Caputo分片衍生物
二叉主要结果
第一,我们定义线性功能 ,非负式偏差对超二次函数定理4并5详解如下:
8定理使用与定理中给出的相同假设4并发 紧凑区间 .并让 去哪儿 并 .并存 即下结果持有量 :
证明通过替换 带 Lemma定义3定理中4人可以有以下不平等性 从不平等21号程序简化后,人可获取 相似点,如果我们取 从Lemma3取而代之 定理中4,然后不平等持有 上两项不平等导致以下不平等: 故此存在 获取下列方程 后方程20码)
定理9并用相同的假设 原封不动 定理中4详解 紧凑区间 去哪儿 ,并存 即下结果持有量 : 分母不为零
证明让我们定义函数 通过 ,去哪儿 并 由提供 接下去 ;通过应用定理8For ,依次即存在 等我们有 从中,人们可以得到必备方程
定理10使用与定理中给出的相同假设5详解 紧凑区间 ,并存 即下结果持有量 :
证明通过替换 带 从Lemma2定理中5获取以下不平等性 类似地,采用功能法 和我们一样 证明定理8中可以看到存在 等式29holds.
定理11并用相同的假设 原封不动 定理中5详解 紧凑区间 去哪儿 ,并存 等我们有 分母不为零
证明让我们定义函数
通过
,去哪儿
并
由提供
接下去
;通过应用定理10For
,依次即存在
等我们有
从中,人们可以得到必备方程
下一步,我们定义功能
,非负式偏差对超二次函数定理6并7详解如下:
定理12与定理相同的假设6上 ,况且 紧凑区间 ,并存 等我们有
证明通过替换 带 从Lemma3定理中6获取以下不平等性 从不平等36号程序简化后,人可获取 相似地,如果我们应用 从Lemma3取而代之 定理中6,然后不平等持有 上两项不平等导致以下不平等: 故此存在 获取下列方程 提供所需方程
定理13并用相同的假设 原封不动 定理中6详解 紧凑区间 去哪儿 ,并存 等我们有 分母不为零
证明让我们定义函数 通过 ,去哪儿 并 由提供 接下去 ;通过应用定理12For ,依次即存在 等我们有 从中,人们可以得到必备方程
定理14与定理相同的假设7上 ,况且 紧凑区间 ,并存 即下结果持有量 :
证明通过替换 带 从Lemma3定理中4获取以下不平等性 其余证据可以从定理证明中跟踪12.
定理15并用相同的假设 原封不动 定理中7详解 紧凑区间 去哪儿 ,并存 等我们有 分母不为零
证明证据从定理证据中可跟踪13.
3级小数版均值定理
本节提供结果应用2选择特定内核平均值定理分解版应用分解分解分解/分解运算符定义第一,我们为Riemann-Liouville分片积分提供结果
定理16与定理相同的假设4上 ,并容 紧凑区间 .并让 列曼-利欧维尔分片集序 ,去哪儿 ;并存 即下结果持有量 :
证明让我们定义内核 详解如下: 况且,我们取 详解如下: 很明显, , , , .通过选择 并应用定理8内核自定义48号),可以获取所需结果
定理17与定理相同的假设4上 ,并容 紧凑区间 .并让 列曼-利欧维尔分片集序 去哪儿 ;并存 等我们有 分母不为零
证明应用定理很容易证明九九内核定义48号并使用函数 提供方49号)
定理18与定理相同的假设5上 ,并容 紧凑区间 .并让 列曼-利欧维尔分片集序 去哪儿 ;并存 即下结果持有量 :
证明证据类似于定理16.
定理19与定理相同的假设5上 ,并容 紧凑区间 .并让 列曼-利欧维尔分片集序 去哪儿 ;并存 等我们有 分母不为零
证明应用定理很容易证明11内核定义48号并使用函数 提供方49号)
定理20与定理相同的假设6上 ,并容 紧凑区间 .等一等 列曼-利欧维尔分片集序 去哪儿 ;并存 即下结果持有量 :
证明让我们考虑内核 定义内48号和) 给定内49号)if we set ,并发 .况且 正在增加 ,上 ;因此,我们有 .通过应用定理12获取所需结果
定理21与定理相同的假设6上 ,并容 紧凑区间 .况且, 列曼-利欧维尔分片集序 .if 并 ,并存 等同性拥有: 分母不为零
证明应用定理很容易证明13内核定义48号并使用函数 提供方49号)
定理22与定理相同的假设7上 ,并容 紧凑区间 .等一等 列曼-利欧维尔分片集序 .if ,并存 即下结果持有量 :
证明证据类似于定理20码.
定理23与定理相同的假设7上 ,并容 紧凑区间 .等一等 列曼-利欧维尔分片集序 .if 并 ,并存 等同性拥有: 分母不为零
证明应用定理很容易证明15内核定义48号并使用函数
提供方49号)
接下去,用组成特征提供卡普托分片衍生物结果
定理24与定理相同的假设4上 ,并容 紧凑区间 .并让 并 ,For 并 中位数 For .等一等 .后为 ,下结果持有量 :
证明让我们考虑内核 详解如下: 况且,我们取 详解如下: 很明显, , , , .通过选择 并应用定理8内核自定义59号),可以获取所需结果
定理25与定理相同的假设4上 ,并容 紧凑区间 .等一等 并 ,For .并让 , ,并 .并存 等我们有 分母不为零
证明应用定理很容易证明九九内核定义58码并使用函数 提供方59号)
定理26与定理相同的假设5上 ,并容 紧凑区间 .并让 并 ,For ,并 中位数 For .等一等 .接下结果支持 :
证明证据类似于定理24码.
定理27与定理相同的假设5上 ,并容 紧凑区间 .等一等 并 ,For .并让 , ,并 .并存 等我们有 分母不为零
证明应用定理很容易证明11内核定义58码并使用函数 提供方59号)
定理28与定理相同的假设6上 ,并容 紧凑区间 .并让 并 ,For ,并 中位数 For .等一等 .后为 ,下结果持有量 :
证明让我们考虑内核 定义内58码和) 给定内59号)if we set ,并发 .况且 正在增加 ,上 ;因此,我们有 .通过应用定理12获取所需结果
定理29与定理相同的假设6上 ,并容 紧凑区间 .等一等 并 ,For .并让 , ,并 .并存 等,为 ,有 分母不为零
证明应用定理很容易证明13内核定义58码并使用函数 提供方59号)
定理30与定理相同的假设7上 ,并容 紧凑区间 .并让 并 ,For ,并 中位数 For .等一等 .后为 ,下结果持有量 :
证明证据类似于定理28码.
定理31与定理相同的假设7上 ,并容 紧凑区间 .等一等 并 ,For .并让 并 , ,并 .并存 等,为 ,有 分母不为零
证明应用定理很容易证明15内核定义58码并使用函数 提供方59号)
数据可用性
无需额外数据获取论文结果
利益冲突
作者声明无利益冲突
作者贡献
所有提交人都为这篇文章提供同等素养
感知感知
这项研究得到马来西亚Terengaru大学研究创新管理中心部分支持