一个新的MEMS随机模型降阶方法:研究和应用

文摘

MEMS器件的建模与仿真是一个非常复杂的任务,涉及电气、机械、流体、热领域,仍然存在一些不确定因素,需要占MEMS驱动器的稳健设计中造成的不确定的材料和/或几何参数。根据这些问题,我们提出了随机模型降阶方法在随机输入条件下促进快速时间和频域分析;该方法利用多项式混沌扩张的随机输入变量的矩阵系统的有限元模型,然后利用其变换矩阵来减少模型;铁道部的方法是独立的算法,因此无缝兼容铁道部解决有限元方法用于流行。仿真结果验证了方法的有效性在大规模MEMS设计过程。

1。介绍

MEMS有吸引力对于许多应用程序,因为它们小的尺寸和重量,它允许系统小型化(1]。建模与仿真的基础设备行为的预测和优化的性能。仿真分析的复杂性增加了模型的复杂度。MEMS特征通常需要计算昂贵的瞬态分析等分析。此外,派生模型通常是非线性的。非线性的主要来源是静电力,夫妻的电气和机械能量域。非线性模型的仿真利用迭代算法耗时。提高仿真计算效率,铁道部(模型降阶)方法被用来提取低阶颂歌系统,再现了输入/输出行为具有良好的精度。方法是完全基于原系统的数学性质,因此,正式的,健壮的,并在很大程度上自动2,3]。这些属性呈现数学模型降阶的使用越来越流行在MEMS器件的研究。制造期间变化导致不确定的材料和/或几何参数对MEMS设备性能造成重大影响(4]。虽然有了很大的进步数值模拟方法,能够更好地理解潜在的多重物理量(5- - - - - -7),他们,然而,假定已知设备的几何和物理特性在一个确定的意义。最近有努力发展中计算方法可以处理输入的不确定性。一种标准的方式来处理这些不确定性是强力蒙特卡罗模拟;这些基本上涉及考虑大量(通常大于10000)实现(或样品)的几何和解决确定性问题对于每一个实现(8]。几个技术已经开发,改善收敛性,例如,拉丁超立方体抽样,9,10),quasi-Monte卡洛(QMC)方法和马尔可夫链蒙特卡罗方法(11]。等统计所需的输出量的平均值和标准偏差如静电力然后生成。这是一个非常耗时的过程。也有一些不确定性对MEMS研究工作:香港et al。12]研究了陶瓷的性能变异性MEMS致动器在致动器的形状随机变化下的气隙冷凝器。汉和夸克13)提出了详尽分析微陀螺众多使用鲁棒优化设计利用MC模拟预测收益率进行比较。刘等人。14)提出了一个健壮的设计方法,以最小化一个横向振动谐振器的灵敏度与宽度变化由于制造误差。随机模型降阶动态问题的可以为优化提供了一种有效的方式(15- - - - - -17]。这导致了很多努力发展铁道部的变分算法和参数不确定性分析。在[18),一个变分平衡截断法介绍了减少模型的变量几何互联。在[19),订单减少RCL互联方法模型描述。不同的参数提出了模型降阶算法(20.- - - - - -25]。

在本文中,我们输入参数的不确定性。我们提出一个新的方法对MEMS随机铁道部计算过程的输入参数的不确定性。首先,我们表示随机变量的随机输入变量作为标准KL级数展开方法;然后,我们表达了由电脑随机输出变量作为标准随机变量多项式方法;而获得输出变量的多项式,执行确定性铁道部为每个系统生成相应的变换矩阵的每一点Smolyak稀疏网格,最后,计算均值、标准差和其他统计系统的响应。本文的其余部分组织如下。在下一节中,我们代表MEMS的随机输入变量矩阵模型;部分3致力于个人电脑输出随机变量的表示;多项式混沌膨胀系数稀疏网格方法中描述的部分解决方案4;随机降阶模型描述的部分5。提供的计算获得稀疏PC扩张中说明了仿真部分6通过数值例子。

2。代表MEMS模型的输入变量随机

2.1。MEMS随机变量

随机事件的概率可以被描述为一个正数小于1;的数量描述随机事件的程度被称为样本空间Ω,表示吗。概率测度的事件可能发生只给一个衡量的标准,采样点的样本空间,类似的标准还不给。它有两个基本的期货:(1)MEMS随机变量是一个真正的单值函数的采样点;(2)任何实数,是一个随机事件。当我们得到随机变量的定义,然后一个基本事件可以表示为一个确定值,表示;和任何事件都可以使用域值随机变量;我们可以注意以下几点:。事件发生的可能性和概率可以被描述为。

2.2。MEMS随机过程

MEMS随机过程是指一组随机变量定义在参数设置;每一个点对应的参数组是一个随机变量。一维随机过程可以看作是一个随机向量的自然延伸。

如果一个随机过程表示为描述其概率特性,最重要的方面是随机变量的分布函数;我们表示函数 如果我们考虑随机过程的关系之间的任何两个随机变量,我们可以得到下面的表达式: 如果有在MEMS系统变量,然后随机过程可以被描述为

2.3。MEMS随机领域

MEMS随机领域特殊领域的随机过程的自然扩展;一个随机领域,其基本参数是特殊变量,所以我们可以随机字段定义为一系列的随机变量在一组字段。在每一点上有相应的变量田野的。事实上,我们只是考虑特殊变量作为基本参数的随机领域表示,在那里定义的区域。均匀随机领域,因为它意味着函数是一个常数,因此可以转化为以下形式: 在哪里是场函数和意味着什么是零均值随机领域。显然,协方差函数的相关函数是一样的吗。我们可以用有限的概率分布函数来表示随机结构,像以下表达式: 在哪里是变量的值限制。

2.4。微机电系统模型的随机输入变量

微机电系统的随机问题可以被描述为如下方程: 在哪里代表响应问题的解决方案;是随机的;MEMS材料随机领域;和是随机事件。从表达式(5),我们离散随机域的转换,实现随机域离散随机变量集。然后我们将使用KL扩张使这些变量相互独立。KL扩张可以写成 在哪里随机过程的均值,和相关函数,特征值和特征函数,分别在哪里和是空间坐标。形成一组不相关的随机变量。和形式的eigenvector-eigenvalue对协方差内核满足 与此同时,有一个关系cofeature价值函数的方差函数: 在实践中扩张(7)后截断有限数量的条件,从而导致截断误差。相比其他扩张方法,使用一些正交函数,KL扩张是最优的均方误差是最小化。

3所示。微机电系统输出变量的多项式混沌扩张

多项式混沌扩张是一个随机过程的谱扩张的多维随机变量的正交多项式。让是一组标准正交高斯随机变量。使用这个,二阶的多项式混沌扩张输出变量的随机过程可以被描述为 在哪里表示多项式混乱的秩序的多维高斯随机变量。为了方便起见,(11)可以写成 之间存在一一对应的功能和和之间的系数。有限数量的随机变量用于扩张来表示系统中有限数量的随机参数。同时,多项式的顺序使用的扩张受到限制。因此,扩张(12)现在可以写成 的条款包含在总数多项式混沌扩张取决于两个维度和最高的秩序使用的多维多项式,给出 特征值和特征向量系数随机过程;他们属于;我们写的随机特征值和特征向量使用Karhunen-Loeve截断扩张与埃尔米特多项式混乱: 在哪里系数截断消耗,是家庭的埃尔米特多项式混乱。引入经典的归一化条件下,,我们可以得到 我们也可以表达的其他输入随机元素相同近似的问题。

4所示。多项式混沌膨胀系数由稀疏网格方法解决方案

多项式混沌方法的最重要的方面是计算每个系数多项式混沌扩张。在一个多维模型包含随机变量多项式混沌展开;输出在某种程度上可以计算多项式的系数展开的混乱。在向量空间扩张,如果我们我们为基础,每一个样本对应点,我们称这些点配置点。有许多方法来计算配置点,张量积方法和Stroud-2等方法。我们使用稀疏网格方法来源于Smolyak方法。这种方法可以显著减少所需数量的分,该算法提供了一个线性组合的张量积的插值误差可以非常接近全张量积方法。首先,我们:;然后 在哪里是一个线性函数,是由有限的点的函数值。当和特别是,有 和所有多项式混沌膨胀系数的解决方案就是由这些网格点处理,和点集 分用于每个维度的数量取决于多项式和求积的方法。

5。随机降阶模型

随机模型降阶方法的基本原理是当我们上的每一点Smolyak稀疏网格;然后我们可以计算full-finite元素系统矩阵的时候,我们可以执行确定性铁道部为每个系统生成相应的变换矩阵。使用这个矩阵的信息,我们可以计算出使用系数的增广系统。

5.1。确定性模型降阶

MEMS设备可以由偏微分方程(pde)建模。模拟这样的模型、空间离散化通过,例如,有限元离散化是必要的,这将导致一个常微分方程组(常微分方程)或微分代数方程(拓扑)。空间离散化后,自由度的数量通常是非常高的。因此,耗费时间来模拟大规模系统的常微分方程或拓扑。由完善的数学理论和健壮的数值算法,模型降阶(铁道部)已经被公认为是非常有效的减少大规模系统的仿真时间。通过铁道部,一个小数量的减少的常微分方程,方程组(减少模型)。减少模型模拟相反,和原始pde或常微分方程的解决方案可以从减少模型的解决方案中恢复过来。因此,原始大规模系统的仿真时间可以缩短几个数量级。减少模型作为一个整体也可以替换原来的系统,在设计过程中多次被重用,从而进一步节省很多时间。说明铁道部制定的程序和时间匹配我们将一阶系统的模型降阶所示(1)为例,重写如下: 在哪里,,。这里的矩阵,,是半正定矩阵。基于模型降阶方法可以编写如下。

步骤1。我们构建块维子空间:。

步骤2。实现Arnoldi过程,具体算法如下:(一)给定的矩阵,,和矩阵的QR分解,让;(b)计算,在那里;(c)计算,在那里,;(d)然后intrun计算以下参数:,在那里,。

步骤3。根据变换矩阵,然后得到原系统的降阶系统: 在哪里,,,。

主要的算法充分考虑系统结构特点,所以它使系统的被动和使降阶模型系统结构特点的基础上,具有较高的计算精度。

5.2。随机降阶模型

得到随机MEMS的降阶模型,第一件事就是代表“随机性”在最初的系统矩阵和状态向量;这是通过利用多项式混沌扩张。假设两个输入变量被认为是随机和均匀分布。考虑一个两输入随机变量的线性膨胀,使用一维多项式混沌映射,在(13)可以写成一维埃尔米特多项式: 假设一个线性的输入变量 在哪里确定性模型的降阶模型系数矩阵。二维随机空间正交多项式。一旦系数矩阵由稀疏网格方法,随机映射降阶模型可以写成11): 让 方程(18)可能会在以下“确定性”的形式: 方程(19)是一个确定性系统,可以很容易地用于时域和频域分析。然后我们可以使用确定性模型降阶方法解决随机降阶模型。

5.3。计算最终的结果:期望值和标准差

一旦我们解决了系统数值,也就是说,当我们有了矩阵和,然后我们返回结果插入(11)和(12),得到一个近似的概率密度函数的随机特征值和特征向量。正如我们所见过的这是整个问题的解决方案只有一个选择投射到失谐参数子空间。然而我们并不直接对这个方案感兴趣。事实上,几乎是什么有用的平均值和标准偏差是走调的每个特征值和特征向量系统。但这是容易获得的近似概率密度函数了。我们直接使用线性算子和正交多项式的混乱(16) 从(27),我们得到 因此使用线性和正交属性如前所述,我们得到 最后使用(28)和(29日),我们直接得到标准差: 我们为特征向量做同样的事情,我们直接得到的预期值线性和正交属性应用于(28):

6。数值研究:MEMS的例子

为了说明了模型降阶技术,我们举个例子在液体环境中著名的梁结构。图1显示了梁结构;加载电压时,结构的顶板弯曲向下由于合成静电力。也当梁弯曲时,环境空气的压力分布梁下增加。这种压力增加产生一个反向压力抑制梁的运动。梁结构已经在许多传感器应用程序使用。

光束可以被耦合建模与静电力的欧拉梁方程和雷诺压膜阻尼方程如下:

在他们中间的免疫力方向,杨氏模量,惯性矩是残余应力(图5),是密度,介电常数,是空气阻尼的压力,是环境压力,是空气粘度系数,初始状态下的板的距离,然后呢是空气平均自由程(见表1)。

让,替换成(3),在和利用泰勒级数展开,位置,速度和压力等状态变量 我们可以得到原始的微梁系统状态方程:

实现随机降阶模型模拟,我们首先建立了相应的梁的有限元模型,得到初始刚度矩阵和质量矩阵等数学模型,可用于随机输入参数,标准KL与这些矩阵级数展开和做与输出矩阵多项式混沌扩张;扩张完成后,我们使用Smolyak方法来决定哪些点应该使用降阶模型模拟;然后我们使用SPRMI方法在Smolyak点;最后,我们可以得到订单减少的概率分布模型仿真结果。在MEMS微机械通常由静电力驱动的机器通常是一个导体在静电场,受静电力的作用发生变形,结构尺寸和组件的位置会影响电场的分布,所以它是一种强耦合。这里我们采用有限元结合边界元法解决MEMS的力电耦合问题,求解过程如下。

步骤1。板没有位移的情况下,给一个初始电压静电场板和解决问题的边界元,我们可以得到的分布板的静电力。

步骤2。解决板在静电力的位移有限元法;如果它到达精密位移,跳过步骤4;否则,进入步骤3。

步骤3。根据板的位移形成静电场的边界,用边界元法解决静电场的问题,获得的静电力分布板,和让;转到第2步。

步骤4。这个过程已经结束。

我们使用网格如图2,在那里代表内部网格点的数量方向和内部网格点的数量吗方向,根据二维模型建立梁参数如图2。光束被划分与2 d PLANE82四边形元素,和空气介质与PLANE121划分;位移约束在ANSYS应用于解决微光束锚(图4);每个自由度梁基础和左边梁受到限制;有限元模型如图3。然后,我们应用电压对梁结构的影响。网格生成后,然后我们项目的未知数和到网格点和梯形法则适用于离散化特殊积分算子和中央差分法离散化的特殊微分算子如下: 加速度计梁夹一端,边界条件;替代(36)(35)离散;然后地图状态向量各个节点;我们可以将离散方程转换成维状态空间方程(9),, 在哪里,,梁的microdisplacement结束,吗是系统的输入电压。

应用边界条件,求解有限元模型的不同电压条件下可以改变端点微光束。我们得到了光束的偏转的终点,如图6。电压负载向量以及质量和刚度矩阵提取作为输入随机参数。

现在生成的广义多项式混沌扩张代表的最大位移的依赖膜作为输入参数的函数空间。这包括几何参数厚度、长度、宽度,杨氏模量,最初的差距膜和下拉电极。厚度和差距的变化估计从已知的工艺条件。基于需求的参数选择范围;设备就无法体验同步引入不稳定在感兴趣的时间跨度。中给出的参数范围和分布类型表2。

然后利用Smolyak算法组成的只有29网格点在二维随机参数空间数值积分,网格结果如图7。

然后,我们的模型减少仿真计算29次Smolyak点;结果如图8。从图中,我们学习时间≤0.7 s。最仿真的结果几乎是一样的。之后,我们得到的挠度。

我们还计算,由此产生的概率分布给出了梁的最大挠度数据9,10,11。在图9,我们只是展示几何参数厚度、长度,和宽度作为随机参数和图10显示了年轻的模块作为随机参数和图11显示了初始间隙距离作为随机参数。

7所示。结论

我们已经开发出一种新的随机模型降阶框架MEMS模型不确定性和应用程序在单一固定micro-beam。我们在计算过程中,首先,建立有限元模型,然后提取矩阵的分析,得到了随机输入矩阵,并利用KL级数展开的方法输入参数矩阵;然后,我们表达了由电脑随机输出变量作为标准随机变量多项式方法;而获得输出变量的多项式,我们使用Smolyak PC的方法来计算系数方程,然后将减少矩阵PRSIM模型降阶方法,和计算统计平均值和标准偏差等所需的系统响应和微光束的偏转。我们可以得到所有的计算工作是集中在少量的PC系数的估计提出了方法。这导致了一个巨大的进步,基于蒙特卡罗模拟技术相比。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

纸是由中国国家自然科学基金“MEMS Multifields统一的仿真模型建设和乐观研究”(61100101);支持的论文也是浙江省自然科学基金“MEMS约束模型降阶方法和解决方案研究(LY14E050026)”和浙江省高等学校教师专业发展的访问学者项目:微机电系统模型降阶技术和应用程序。

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