欠驱动机械臂非完整运动规划策略

摘要

针对三关节欠驱动机械臂的非完整运动规划问题，提出了一种只用两个执行器并可转换为链条式的欠驱动机械臂非完整运动规划策略。由于机械手的设计注重控制的简洁性，在运动规划中存在几个问题需要考虑，主要包括变换奇异性、路径估计和存在初始误差时的轨迹鲁棒性。现有的链传动系统运动规划控制律虽然可以直接应用于机械臂并引导其达到期望的构型，但经常会出现坐标变换奇点。我们提出两种数学方法来避免变换奇点。然后，定义了两个评价指标，用于评价控制精度和线性逼近能力。最后，引入初始误差灵敏度矩阵来描述干扰灵敏度，即鲁棒性。仿真和实验结果表明，采用所提出的运动规划策略可以成功地获得高效、鲁棒的三关节欠驱动机械臂合成路径。

1.介绍

近年来，非完整运动规划已成为一个很有吸引力的研究领域。许多理论和应用得到了发展。本文可以看作是在[的基础上的进一步研究。1),建议-关节欠驱动机械手[2］.受到[3.- - - - - -5[其物理设计主要专注于具有三角形结构的运动模型，可以转换为链形式并实现控制简单性。

虽然运动规划控制律可以引导链式系统达到期望的状态，但在链式路径被转换回实际坐标时存在转换奇异性。即使在没有奇点的情况下，规划非完整运动也不是一项容易的任务。变换奇点增加了第二个难度:我们必须同时考虑变换奇点和非完整约束。为了解决变换奇点问题，链式空间中的路径应保持在无奇点区域。换句话说，当一条路径在链式形式坐标中不属于这些区域时，在实际坐标中会出现变换奇点。因此，变换奇点规避等效于链状空间中的避障。奇异区域可以通过链式形式转换的微分同态来检查，但奇异区域的形状和位置取决于机械结构，不能对任意机构进行通用性描述[6- - - - - -8］.大多数为路径规划而开发的技术被分类为几何路径规划者[9- - - - - -11］.另一种避障方法是人工势场(artificial potential field, APF)，该方法将机器人视为无约束的粒子或刚体[12]，并对局部极小值的消去做了大量的工作[13，14］.参考文献(15- - - - - -17[表明，通过设定串行地点，具有拓扑性能的控制法具有更好的避免避免能力，并应用正弦投入法以转向拖拉机拖车系统。然而，一些运动计划法，可以实现比SinUnoidal的更好的所得路径为废隔机器，没有拓扑性质，例如时间多项式输入。

在实际实验中，为了减少运动轨迹的振荡，提高运动规划的精度，定义了两个指标来评价规划路径的逼近线性路径性能和控制精度。然后，我们提出了初始状态误差鲁棒性的概念，用于评估存在初始误差时的灵敏度。

本文组织如下。部分2对欠驱动机械手作了简要介绍。部分3.阐述了三关节原型的变换奇异避免方法。部分4和5分别介绍了路径估计和鲁棒性。本节给出了结论和未来的工作6．

2.欠驱动机械臂简介

数字1和2展示样机的结构图和照片:带有两个执行器的三关节欠驱动机械手。显然，它的配置关节欠驱动机械手具有尺寸，由角位移决定每个关节和角度水平安装的执行器。另一垂直安装执行机构与关节1连接。

数字3.显示关节的详细结构欠驱动的机械手。除最后一个关节外，每个关节都有两套大小相同的摩擦盘传动机构[18］.P1、P2和P3代表圆盘之间无滑动的滚动接触点和磁盘．磁盘半径为以给定的角速度绕固定轴旋转驱动盘旋转。角速度磁盘分为两部分;一个被传输到磁盘作为角速度输入通过一组锥齿轮和正齿轮;另一个驱动下一个关节通过一组摩擦盘机构和同步带进行旋转。和表示圆盘的角速度半径为和磁盘,分别。和表示到盘转轴的距离至滚动接触点P1、P2和P3。

欠驱动机械臂的非完整约束是由于盘与盘之间的滚动接触造成的和磁盘．通过设置配置变量，其运动学模型可描述如下(详细的数学推导参见[2): 在哪里，，，，，，， 和．

该运动学模型具有三角形结构，可转换为链条式。方程(1)可以表示为: 在哪里，

和向量场。这个系统据说是无漂移的;也就是说，当控制设置为零时，系统的状态不会漂移。

3.转型奇点避免

３．１．转换成链式形式

灵感来自[3.， Sordalen展示了汽车运动学模型的转换预告片。欠驱动机械臂的设计是为了将其转换为链条式并实现简单的控制，尽管在机械结构上需要增加一些复杂性。

三关节欠驱动机械臂运动学模型的非线性坐标变换和输入反馈变换可表示为: 在哪里和．

文献[2验证了非本质和可控性- 欠欠压操纵器。然后，我们将讨论转换是弥漫性的。灵感来自[3.，就有定理1如下。

定理1。欠驱动机械臂的链状转换是微分的，当且仅当雅可比矩阵的运动学模型1非奇异的): 在哪里．

我们不展示定理的详细证明1在这里。因此,

方程(7的协调转换-joint操纵器是Diffeomorphic，除了．因此，该运动学模型在子空间中可以差分转化为链式形式．

３.２．三关节欠驱动机械臂运动规划

链式表单有两种主要的控制方案。一种是开环控制，另一种是反馈控制。开环控制的一个主要优点是可以为实际应用提供低计算成本的解决方案。链式反馈控制有两个缺点:一是在实际应用中，使链式系统稳定到非零状态非常困难;另一种是由于没有指定的超调范围，所以很难用反馈控制律来解决障碍或奇点回避问题。

有许多现有的开环控制器用于链式形式，例如正弦输入，时间多项式输入和分段恒定输入。任何一个控制定律都可以应用于欠渎式的操纵器。由于时间多项式输入法通过求解简单的代数方程来容易获得，并且为三个关节欠扰动机械手产生更好的合并路径，因此如下：

虽然控制律的多项式输入可以控制链状状态对于他们想要的配置，当映射回实际坐标时，这条路径不能保证将避免转换奇点。这意味着我们必须检查每一条路径，并确保构型空间中每一个状态变量的存在。如果奇点真的发生了，应该采取一些措施来找到有效的路径。

变换奇点发生在且链式空间中的轨迹应满足条件，可直接从(4)和(7）.实际上，三关节机械臂变换奇异的主要原因是由于因为表达不仅更复杂但也受到影响．提出了两种避免变换奇点的数学方法如下一节。

３．３．约束点的方法

为了避免变换奇异性，通过设置一些称为约束点的点对存在奇异区域的链状状态进行修正。约束点法只是为了避免路径上的变换奇异性。多项式输入法则国家和链式形式的约束点建立如下: 在哪里，， 和是系数。约束点应用于链式表单状态可以表达如下：

显然，国家是初始条件的函数吗以及待定系数．方程(10）输入将引导链接的表单系统来在有限的时间并通过约束状态当时．可以清楚地看到(10)可以保证链接的表单状态满足约束点的非理露性： 在哪里是点在曲线在时间和矩阵的形式

Cramer定律保证了(11)当且仅当矩阵是满秩的．

备注2。当，变得单数。这种情况可以通过[中提到的中间点方法来处理19］.

备注3。这主要优点是约束点法是一种有效而简单的方法。当然，其他方法，如罚函数法[20.，以避免变换奇异性。

初始配置和期望配置如下和在构型空间中，对应于和在链式形式空间中，分别。数字4指示了没有任何约束点。虽然是国家可以移动到所需的配置吗，在保持负的条件下，路径有两个过零点。逆链式变换奇点发生在两个过零点之间，如图所示4青色的标志轨迹。数字5表示约束点(）选择在坐标系中。控制参数的初始和期望配置被定义为和．可以看出仍然可以移动到目标值吗平滑，避免变换奇点。

在图6，仿真1显示了三关节角位移随时间的变化。很明显，在没有任何变换奇点的情况下，关节角可以平滑地达到期望的位形。

3．4．输入控制参数调整方法

约束点法虽然具有较低的数值计算代价，但有时在选择约束点时需要进行大量的试验以避免奇异性。中正弦输入的过度参数化19，给出了输入控制参数的调整方法。欠驱动机械手的实际坐标为维，我们的目标是掌舵维状态变量来，．自可以表示为，我们可以通过选择一个合适的输入来处理多项式的输入律在奇点地区实现转化奇点避免。该方法应用于三个关节欠扰动的机械手。

如前所述，避免变换奇点的主要条件为

方程(13的最大值，则可以满足保持消极的。的驻点对应的时间可以表示为:

从(11），可以表示为控制参数的功能：

考虑(15)作为地图: 哪个映射输入控制参数到最大．显然,映射是多对一的选择吗为解决并不是唯一的。取值范围可以通过求解(15）.

在图7，仿真2显示了三关节欠驱动机械手的关节角度与时间的关系。初始位姿和末端位姿的关节角为和,分别。输入控制参数由于不存在变换奇点当且仅当总是在32.35°到35.44°的范围内选择。可以看出，在设定时间后，关节角达到了预期的构型。

这种方法的主要优点是控制参数的分析解决方案可以在变换无奇点区域中计算。与约束点法相比，多项式的阶数没有增加，因为无奇异性的有效路径取决于选择合适的值．比较了过参数化方法对输入控制参数的选择不是任意但明确的。

该方法保留一个参数自由，并在该参数空间中搜索一个值，从而保证了该路径属于变换无奇点区域。然而，根据伽罗瓦理论，对于大于4阶的多项式不存在闭型解。换句话说，没有解析解，只有计算代价高的数值解当废除机械手有5个或更多的关节时。

4.非完整路径估计

尽管在上一节中可以生成没有转换奇异性的有效路径，但是实际的路径形状显示到所需配置的迂回。具有高幅度的蜿蜒轨迹导致控制在实践中失去。

4．1.非完整路径评估方案

欠驱动机械臂合成路径必须满足非完整约束，其本质是非线性的。在配置空间中建立一条连接初始配置和期望配置的直线参考路径。我们定义了两个指标:近似距离极值点数．指标，即参考路径与非完整路径上点之间垂直距离的最大值，可以评估接近参考路径的能力。，即路径上极值点的数目，可估计执行器旋转方向变化的数目。

[中的非完整路径评估方法5]估计线性路径与规划路径之间的距离，但不能准确描述路径的弯曲程度。提出了一种减少执行机构转动方向变化次数和传动误差(如侧隙)的评估方案。

让我们考虑一个构型空间与作为两个配置的本地计划者， 和是非完整路径吗，，这样，．参考路径是直线,．

定义4。 是参考路径与非完整路径上点之间的垂直距离的最大值，令，如图所示8,要， ， 和．： 在哪里，，．， 和．

定义5。 是实际轨迹的极值点的个数。驱动器的旋转方向随时间改变如果,在那里， 和垂直距离是在在实际轨迹和参考轨迹之间。

对搜索最优路径的两个指标作了进一步的说明。的值和是否在控制参数范围内计算保证路径属于变换无奇点区域的范围。在实际应用中，三关节机械臂的运动规划性能主要取决于．稍微增加时，欠驱动机械手传动部件的误差将显著增大。因此,比用于非完整运动规划的性能。总之，在参数空间中进行搜索进行上述两个指标的计算是以．换句话说，就是最小值搜索在地区。

为验证该评估方案的有效性，对三关节欠驱动机械臂进行了仿真3。让自由，初始配置和所需配置和,分别。参数，这是由和,是36.6。仿真3结果如图所示9．

在仿真3中，由于欠驱动机械臂为开链机构，执行机构与关节1连接，因此我们只估计第一个关节角轨迹，而不是所有关节角轨迹，如图所示1和2．方程(4)揭示逆映射从来不仅比别人复杂而且还要依赖别人．仿真(1、2和3)表明与之相比，弹道具有更大的振荡和．

数字10说明了实验结果。此外，还存在5°的最大误差曲线。锥齿轮处的齿隙，长轴的低刚度，具有低分辨率的透射部件，并且在没有滑动条件下保证轧制的缺失的驱动扭矩将导致这些误差。另外，错误的错误由于传动系统的累积误差，明显大于其他传动系统。

5.非完整运动规划鲁棒性

由于运动规划是开环控制，合成路径会受到各种误差的影响。虽然使用时间多项式输入的运动规划显示了上一节令人满意的结果，但实际路径需要在存在误差的情况下进行检查。

5．1.具有初始条件误差的最优路径仿真

数字11说明了仿真中存在初始误差的情况，这意味着每个关节角度有0.5°的误差。其他参数与仿真3相同。如图所示11，仿真结果显示和的．最大距离仿真4比仿真3高3.6倍，关节1的旋转方向会改变2次。很容易得出结论，在存在初始误差的情况下，0.5°对运动规划的实际性能影响很大。仿真结果表明，在初始条件存在误差的情况下，该方法缺乏鲁棒性和高灵敏度。

5.2。初始条件误差灵敏度分析

为了指定初始错误的影响，表达式将时间多项式输入律应用于存在初始误差的链式形式系统时，可得: 在哪里和： 在哪里为初始条件误差。效应是沿着计算的由下列雅可比矩阵求方向导数: 在哪里和．我们从(18)数学结构

矩阵为下三角元素和对角元素等于1，可表示为:

参数只取决于初始条件并且独立于给定的边界条件。从(22，我们可以得出这样的结论 的独立于给定的初始条件吗并与之相关，．自雅各比亚矩阵以来描述了灵敏度方向，规范的定义初始条件误差灵敏度矩阵。

5.3。运动规划的鲁棒性

的计算结果如图所示12对于三个关节的欠压机械手。最多在在初始错误条件的干扰下暗示最高的灵敏度。可以得出结论，较低的有利于减小初始条件误差的影响。

根据本节中的路径估计方案5.1， 最低的条件下确定的,是35.8。其他参数除了与模拟3相同。计算结果如图所示13表明,在模拟5。

调谐的目的是为了提高非完整系统的鲁棒性和降低对初始条件误差的敏感性而牺牲增加。对三关节欠驱动机械臂进行了具有相同初始条件误差的仿真6。模拟结果(和），如图所示14，证明了该方法的鲁棒性和对初始条件误差灵敏度较低的优点。

实验验证了运动规划鲁棒性的有效性，如图所示15和16．虽然模拟(5,6)和实验(2,3)之间有很小的差异，图15和16与图相似13和14,分别。实际上，如果忽略机械结构的误差，实验结果是可以接受的。

6.结论及后续工作

针对三关节欠驱动机械臂的变换奇异问题，提出了两种简单有效的数学方法来求解实际坐标下的有效路径。然后，提出了一种运动规划策略来估计合成路径的效率和开环鲁棒性。该方法分为两步:第一步是估计合成路径线性化近似的效率和能力。虽然非完整路径估计方法可以得到满意的合成路径，但初始误差对实际轨迹的影响很大。第二步是基于初始条件误差敏感性分析生成鲁棒性轨迹。仿真和实验结果表明，该运动规划策略能够提高三关节欠驱动机械臂的运动规划性能。

随着关节数的增加，运动模型将变得复杂，向链传动形式的转换将变得病态。下一步的工作是如何改进机构结构，寻找高维系统的有效路径。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(no . 20100143110012);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(no . 145204002)。关键词:岩石力学，数值模拟，数值模拟

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