基于双参数gompertz的性能研究控制图

抽象

本文提出了两种基于双参数贡珀兹分布的控制图方法来监测工艺过程。提出的方法是Gompertz Shewhart方法和Gompertz偏度校正方法。在不同样本容量下，进行了模拟研究，比较了提出的图表和偏态校正方法的性能。此外，现实生活中关于冰箱油漆厚度的数据是具有Gompertz分布属性的非正态数据，用于说明所提出的控制图。用覆盖概率(CP)、控制极限区间(CLI)和平均运行长度(ARL)来衡量两种方法的性能。研究发现，通过下划线分布百分比计算控制限值的Gompertz精确法覆盖概率最高，而Gompertz Shewhart法和Gompertz偏斜度修正法的CLI和ARL最小。因此，对于基于gompertz的方法，基于双参数gompertz的方法可以更快地检测失控图表。

1.简介

休哈特控制图是一种应用最广泛的统计过程控制技术，用于监测过程平均。1]。休哈特控制图通常基于这样的假设:样本观测值是独立的、同分布的，过程观测值遵循正态分布。然而，当控制图用于监控过程时，扭曲的数据往往违反正态性假设，导致错误概率的增加。生产过程中真实数据的监测过程中总是会出现倾斜概率分布，而伽马分布往往被用来检验控制图的性能[2]。此外，无论何时存在倾斜分布，平均值和方差都可能不是衡量过程变化的合适的汇总统计数据[3.]。当数据分布已知时，使用提出的精确方法来提供准确的控制极限更有可能检测过程是否处于控制之中[4,5]。

在文献中研究了一些基于底层分布形式的精确控制极限。Edgeman考虑在随机变量服从逆高斯分布时，利用置信区间理论构造控制图[6]。Edgeman [6]通过依赖非正态过程的中心极限定理证明了他的假设，无论何时用于控制图表的样本大小小于10。然而，质量特征总是通过使用非负支持的概率分布而不是正态分布来建模。Kantam及Sriram [7当工艺特性遵循伽马分布时使用的控制图。Kantam等人[8开发了对数物流分布控制图，Kan和Yazici [9]分发用于伯尔开发个别控制图和威布尔分布的数据，Subba Rao和Kantam [10用于双指数分布引入控制图，Yazici和Kan [11用于小样本]开发非对称控制的限制，斯里尼瓦沙Rao和萨拉巴布[12]线性故障率分布的控制图，Srinivasa Rao和Kantam [13开发了半物流分布百分比的控制图表。Srinivasa Rao等人[14]对于被假定为遵循基于像均值，中位数，中音，范围和标准偏差，斯里尼瓦沙Rao等样本统计的评价百分尺寸偏置洛马克斯分布的可变质量特性开发的控制图表。[15]对于被假定为遵循基于像均值，中位数，中音，范围和标准偏差，Wang等人样本统计的评价百分新威布尔Pareto分布可变质量特性开发的控制图表。[16用于下完整数据和II型截尾，和Rao [监测下威布尔百分提出控制图17[[endnoteref: 1]]考虑了一种指数半逻辑分布，用于开发具有已知或未知形状参数的时间缩短寿命试验的属性控制图，并参考了其中的参数。

在本文中，提出了一种基于冈珀茨分布的shewhart控制图，用于监测非正态过程。在不同样本容量下，进行了模拟研究，比较了提出的图表和偏态校正方法的性能。此外，冰箱上油漆厚度的真实数据是具有Gompertz分布属性的非正常数据，用于测量所提议的控制图的性能。

2.两个参数龚珀兹分布

贡佩尔茨分布是指数增加，连续概率分布。它基本上是一个截断极值分布[18]。Gompertz分布是一种寿命分布，精算师和人口学家经常用它来描述成年人的寿命分布。在生物学、老年学、计算机科学和市场营销学等一些科学中，它被考虑用于生存分析[19]。

Gompertz分布是指数分布的扩展。Alizadeh等人说[20.，分别给出了Gompertz广义分布族的累积分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF) 在哪里θ和γ是被引入以改变尾巴的权重的和额外的形状参数和分别为父分布的指数分布的CDF和PDF。随参数的指数分布的CDF和PDFλ由下式表示:

因此，贡佩尔茨指数分布的PDF是由方程插入表达（派生3.)和(4）代入方程式（2)。这使

通过插入方程(3.）代入方程式（1)。这样，我们就有了表达式

γ,λ和θ在（5)和(6)可合并为两个独立的参数，如:t和z定义如下:和 。

然后，f(x)式(5）成为

它强调,F(x)式(6),就

式中的表达式(7)和(8）分别是PDF和与参数贡佩尔茨分布的CDFt和z。

2.1。龚珀兹控制图使用方法休哈特

考虑休哈特图中包含代表在控制状态对应的质量特征平均值的中心线(CL)。有两条水平线，即控制下限(LCL)和控制上限(UCL)。选择这些控制限制，以便如果过程在控制中，几乎所有的采样点将在他们之内。如果是一个统计量措施的质量特性，并且如果均值和方差给出了作为和 ,分别给出了休哈特控制图的一般模型为 在哪里l是控制界限到中心线的距离。

在控制图的建设，是很常见的集 。Vysochanskij和Petunin [21通过包含4/9的因子，改进了切比雪夫不等式，使得为任何单峰分布设定3西格玛的极限成为可能。根据Vysochanskij-Petunin不等式可以推断，对于任何单峰分布，至少95%的数据将被放置在3西格玛的限制所捕获。因此,对于Gompertz-based控制图，可得到控制限值如下:

假设过程数据遵循Gompertz分布时，我们使用式(7）以导出贡佩尔茨分布的平均值和方差 。利用Maple软件，以积分形式导出了Gompertz指数分布的平均值(详见附录)。导出平均值为

类似地，冈珀兹指数分布的方差被导出并在附录中提出。导出方差为 在哪里 是一个指数积分和hypergeom（。）是一个广义超几何函数。

2.2。龚珀兹控制图采用偏度校正方法

偏斜度校正（SC）方法被用于构建控制图的偏态分布。其不对称控制限制通过考虑歪斜从子组估计的程度而获得的，并与分布没有假设。据陈和崔[4，如果一个过程的参数是已知的，则该过程的控制极限控制图表由下式给出 在哪里是控制图常数SC方法。应当指出的是如果底层分布是对称的，则SC方法的控制限为控制图将减少到休哈特的传统控制限控制图。然而，如果分布是不对称的，Chan和Cui [4]给定在方程(13） 成为 在哪里是亚组均值的偏度 。

让从与平均贡佩尔茨分布是样品和标准偏差 。其控制界限和中心线为偏度校正方法图是

为了得到常数 ,鲍利公式被选择用于发现由下式给出偏斜度的系数 在哪里 是个我冈珀兹分布的四分之一。

因此,不断 在哪里是亚组均值的偏度 。

2.3。使用精确的控制极限

让是一组随机抽样大小的工业过程数据n应该已经从与目标人群的平均两个参数姜氏指数分布中抽取;下重复采样，统计给出过程平均值是否在目标平均值附近。从统计学上讲，我们必须找到“最可能”的极限瀑布。众所周知正态分布的极限包括99。73%的概率。因此，我们必须在Gompertz指数分布中寻找样本均值抽样分布的两个极限，使这些极限的概率含量为0.9973(见Srinivasa Rao等人[14]和Srinivasa等人[15])。

具有象征意义的，我们必须找到l和U这样 在哪里样本容量的均值是多少n。以等价概念为例，l和U分别是的采样分布的0.00135和0.99865百分 。 在哪里大平均数是多少是个我个子组均值。从而，和的百分位常数是多少图表。因此，控制限度和中心线为一精确控制图是

2.4。绩效评估

在这项工作中，三个指标分别测量上面讨论的衍生控制图的性能。它们覆盖概率（CP），控制极限间隔（CLI），和平均运行长度（ARL）。覆盖概率是点的控制极限内的数量的概率。它是用来模拟的过程中的稳定性，根据不同的方法进行了比较。CLI和ARL被用来比较的对现实生活中的数据不同方法的性能。

3.模拟研究

为模拟研究的步骤介绍如下。

3.1。步骤1:控制图的构建

(1)生成n独立Gompertz(2.2, 4.7)变量为n = 2, 3, 4, 5, 7, 10(2)重复步骤(1)30次(r= 30)(3)计算用于控制限使用方程式图表(10）为休哈特方法，方程（15)为偏度校正方法，式(20.)的确切方法

3.2。步骤2：控制图的操作

(1)样本大小n= 2,3,4,5,7,10，从Gompertz(2.2, 4.7)变量中生成随机子组(2)重复步骤（1）的100倍（r= 100)(3)计算样本均值(4)记录是否样本均值是否超出步骤3的控制范围，并估计所有方法的覆盖概率(5)重复步骤1至4，将获得的每个控制图的平均覆盖概率

4.结果

用部分提出的两个步骤3.时，数据由带参数的一类冈珀茨分布生成t= 2.2,z = 4.7 using Monte Carlo simulation. The coefficient of skewness of the generated data is 0.9226. The control limits for the two proposed methods and the exact method were computed to determine the stability of the simulated process. The coverage probability of the采用了基于经典Shewhart的图表。并与偏度校正法的结果进行了比较。利用方程(10),(15)和(20.）分别被计算，并且在表1。

为了测量图表的性能，计算了四种方法的覆盖概率。所得结果见表2。

4.1。电冰箱油漆厚度数据

关于冰箱油漆厚度的数据见表3.，由Priya及Kantam提供[22]。这些数据针对20个大小的子组n= 5来自已知处于控制中的过程。

检验表中数据的正态性3.，密度和Q-Q图的平均值的数据被确定并在图中呈现1。进一步，得到Jarque-Bera正态性检验为10.556,a0.005价值。

从图1，很显然，该数据不是正态分布。该在哈尔克 - 贝拉正常的值也证实了数据的非正态性。此外，偏度系数计算为1.2195。因此，数据是倾斜的数据。基于该事实，即数据是偏斜数据，所述贡佩尔茨分布用于对数据进行建模，并且它被发现的数据的CDF是大约贡佩尔茨（见图2)。因此，数据是大致贡佩尔茨随机变量。因此，我们可以使用基于姜氏用于监视产生数据的过程的图表。

计算样本容量为5的20个亚组100个冰箱油漆厚度的平均值，用于计算截面导出的控制限值2。偏斜度校正，用于的施工贡佩尔茨休哈特，贡佩尔茨偏斜度校正和贡佩尔茨确切方法图表。四种方法的控制图用图表表示3.- - - - - -6。

四种方法的性能指标，即覆盖概率(CP)、控制极限区间(CLI)和平均运行长度(ARL)，见表4。

5.讨论结果

的表的控制限制的结果1对于所提出的方法表现出比偏斜度校正极限的改进的限制。表覆盖概率的结果2显示，当样品尺寸的增加，覆盖概率降低对贡佩尔茨哈特和贡佩尔茨偏斜度校正方法。然而，对于偏度校正和姜氏确切的方法覆盖概率比那些姜氏休哈特和姜氏偏度校正方法更加稳定。所获得的表现实生活中的数据结果4结果表明:gpertz Shewhart和Gompertz偏态校正方法的CLI和ARL较小，而Gompertz精确校正方法最小。

六，结论

这项研究提出了贡珀茨的控制限度使用不同的方法控制图。覆盖概率是用来比较的方法的稳定性。结果表明，样本容量的增加，覆盖概率为姜氏休哈特方法和姜氏偏度校正方法减少。对于偏度校正和姜氏确切方法的覆盖概率比那些姜氏休哈特方法和姜氏偏度校正方法的更稳定。现实生活中的数据的使用CLI和ARL的结果表明，姜氏休哈特方法和姜氏偏态修正方法将能够更快地检测出的控制比对确切的方法姜氏为主图表。偏度校正方法的CLI和ARL太小，因此当有没有将提高虚惊一场。因此，建议的Gompertz休哈特方法和贡佩尔茨偏斜度校正方法可用于监测有一个两参数的Gompertz分布的属性歪斜的过程数据。

附录

答：平均的推导和方差的姜氏分布

假设过程数据遵循Gompertz分布时，我们使用式(7）以导出贡佩尔茨分布的平均值和方差 。利用Maple软件，可以得到Gompertz分布的均值和方差。

使用（5）为f(x),我们得到

让t= ,然后

让 ,然后我们有

让 ,因此,和 。

什么时候 。

什么时候 。

从公式（7),

但 , , ,和 。

回想起那个 ,因此,

由此导出了Gompertz指数分布的平均值，其积分形式为 在哪里

然后，均值变成

得到Gompertz指数分布的方差X是一个Gompertz随机变量，那么的PDFX是

然后，方差X是使用表达式派生 在哪里

让t= ,然后

让 ,然后E(X²）成为

让 ,因此, , ,和 。

什么时候 。

什么时候 。

然后，

但 , , ,和 。

因此，

使用上述得到的表达式中，贡佩尔茨指数分布的方差 在哪里 ,然后将方差变为 在哪里 是指数积分和hypergeom是一个广义的超几何函数。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包含在本文中。

利益冲突

作者宣称，他们没有利益冲突。

参考

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