波动性掉期在股票市场预测中的应用——以CAC 40法国指数为例

摘要

本文主要研究Heston模型下方差和波动率互换的定价问题。为此，我们将该模型应用于实证财务数据:CAC 40法国指数。更准确地说，我们做了一个股票市场预测的应用实例:用GARCH(1,1)模型对CAC 40法国指数的波动率进行价格互换。

1.介绍

布莱克和斯科尔斯的模型[1是本世纪金融领域发现的对流动性欧洲普通期权进行估值的最重要模型之一。布莱克-斯科尔斯模型假设波动性是常数，但这个假设并不总是正确的。该模型不适用于建立在金融和商业市场上的衍生品价格(见[2])。

“资产价格波动是定价选择和风险管理中不可或缺的因素。通过引入波动率衍生品，波动率现在实际上是一种可交易的市场工具。”布罗迪和杰恩[3.］．

波动性是用于描述和测量资产价格波动的主要参数之一。它在现代财务分析中起着至关重要的作用，了解有关风险管理，期权估值和资产分配。有不同类型的易变量：隐含波动率，局部波动和随机波动（见百吉[4])。

为此，新的金融产品是方差和波动率互换，它在波动率对冲和投机中起着决定性的作用。投资银行、货币、股票指数、金融和商业市场对方差和波动率互换很有用。

波动性互换允许投资者进行交易并直接控制资产的波动。此外，他们将交易价格指数。底层通常是外汇汇率（非常液体市场），但也可能是单一名称权益或指数。然而，方差交换在索引市场中是可靠的，因为它可以通过选项的线性组合和期货上的动态位置复制。此外，挥霍仅在金融和企业中仅使用，而是在能源市场和行业中使用。

方差互换合约包含两个分支:固定分支(方差打击)和浮动分支(已实现的方差)。有几篇研究方差掉期投资组合理论和基于方差伽马相关(VGC)模型的最优方差掉期投资组合的著作(见Cao和Guo [5])。

本文的目标是Heston模型下GARCH(1,1)随机波动率模型框架下的波动率掉期估值与套期保值[6］．Heston资产流程有一个跟随Cox等人的方差[7)的过程。并利用CAC 40法语指数进行了应用。

纸张的结构如下。部分2考虑表示波动率互换和方差互换。部分3.对Heston模型的波动率互换进行了描述，给出了明确的表达式，并讨论了加油和波动率之间的关系。最后，我们为股票市场预测进行了一个应用程序示例：CAC 40法国指数使用GARCH / ARCH模型。

2.波动性互换

在本节中，我们给出了一些定义和互动，股票的波动，股票的波动率交换和方差交换。

定义1。互换是在20世纪80年代引入的，双方约定在Bruce[定义的一个或几个未来日期交换现金流]。8］．在本合同中，一方同意向另一方支付固定金额，而另一方则通过支付浮动金额来履行协议，浮动金额取决于某些特定基础的水平。因此，通过进入掉期，市场参与者可以通过在未来的某个时间点支付固定金额，来交换不同基础资产的风险敞口。

定义2。股票的波动性是衡量其风险或不确定性的最简单的指标。在形式上,波动股票收益率在利息期间的年化标准差，下标在哪里表示观察到的或“实现”的股票波动率．

定义3(见[9])。股票波动率掉期是一种年化波动率的远期合约。到期时的支付等于 在哪里 是随机的股票波动，是年化波动率交割价格，和为欧元年化波动率点的名义互换金额。

定义4（见[9])。差异互换是年前差异的前进契约，实现波动的平方。到期时的支付等于 在哪里交货价格是否为方差和为每年化波动率点平方的名义欧元互换金额。

符号1。我们注意到,．

使用Brockhaus和Long [10.]和Javaheri [11.的二阶泰勒公式,我们有 在哪里为凸度调整。因此，要计算波动性互换，我们需要两者都要和．

实现的离散采样方差定义如下： 在哪里是到期(年或天)。

3. Heston模型的波动互动

3.1。随机波动模型

让是带有过滤的概率空间，．我们考虑风险中性的Heston随机波动率模型的价格和方差遵循以下型号： 在哪里为确定性利率，和是短期和长期波动，是反向速度，是波动率的参数，和和是独立的标准布朗运动。

我们可以重写这个系统 如下: 在哪里标准布朗运动是独立的吗经济指标．让，我们可以改变这个系统 来 如果我们替换通过．

３．２．的显式表达和性质

在本节中，我们重新表述了[12.]，这是研究方差和波动互换所需要的，以及伪方差、伪波动率的价格，以及He和Wang提出的问题[13.对于波动性作为时间函数具有确定性的金融市场。该方法首次应用于Swishchuk和Kalemanova地区Cox-Ingersoll-Ross过程的随机稳定性研究[14.］．哈斯顿资产过程具有方差这是继Cox等人[7过程，由中第二个方程描述 ．如果波动遵循Ornstein-Uhlenbeck过程(参见，例如Oksendal [15.)，然后Ito引理表明方差遵循中第二个方程所描述的过程 ．

我们开始定义以下过程和功能:

定义5。我们定义,在那里是一个- 可易批的一维维纳流程，， 和,在那里的反函数是．的属性如下:（一种） 鞅和；(b) ；(c) ．

引理6。
(a)考虑下列事项:
(b)
(c)

证明。参见[12.］．

定理7。一个有（一种） (b)

证明。(a)我们得到的平均值 利用引理6，我们发现
（b）方差等于，则二阶矩可通过公式(8)的引理6：， , (13.)和方差公式 经过计算，我们得到 这实现了证明。

推论8。如果我们发现它足够大吗

证明。这个想法是极限段落．

备注9。在这种情况下，交换成熟度不影响和．

３．3.GARCH(1,1)和波动率互换

方差交换和波动率交换都需要GARCH模型。Heston模型的连续版本的方差模型为 GARCH（1,1）过程的离散版本描述了ENGLE和MEZRICH [16.]： 在哪里为长期方差，漂移调整后的股票回报率是时间吗，重量分配给谁了吗， 和重量分配给谁了吗．此外，我们使用以下关系（19.）计算离散GADCH（1,1）参数： 在哪里，任何给定年的252个交易日，以及，在任何三个月内63个交易日。

现在，我们将简要讨论假设瞬时方差的风险中性过程是GARCH(1,1)过程的连续时间限制的有效性。众所周知，这个极限具有这样一个特性，即瞬时方差的增量与标的资产的回报在一定条件下是不相关的。不幸的是，这意味着，在每个成熟度，隐含波动率是对称的。因此，对于期权以对称微笑一致定价的资产，这些观察结果既可以用来初始校准模型，也可以用来检验模型的有效性。值得一提的是，通常不适合使用按价隐含波动率来为成熟波动率掉期定价。然而，我们的GARCH(1,1)近似仍然是相当稳健的。

4.应用程序

在本节中，我们将应用本节中的解析解3.在5年（2013年4月至2013年4月）的CAC 40法国指数的波动下，价格逐步交换。

本申请的第一步是研究系列的实用性。为此，我们使用了Dickey-Fuller（ADF）和PhilipsPéron测试（PP）的单位根系测试。

4．1.单位根检验和描述性分析

在本节中，我们总结了单位根测试和描述性分析结果(见表1）.

单位根检验证实了序列的平稳性。

在表2给出了CAC 40法国指数的所有统计参数。为分析观察。时间序列的均值为、中值和标准偏差．CAC 40法国指数的偏差是，所以它是消极的，平均值大于中位数，并且存在左偏斜的分布。kurtosis是，大于3，所以我们称为睑杆菌，表明峰值高，尾部比正常分布更高。Jarque-Bera是．所以我们可以预测上升趋势。

GARCH(1,1)模型显然是表现最好的模型，因为它们在拟合指标上得到的分数最低，同时代表最低的MAE、RMSE、MAPE、， 和在所有的模型。紧随其后的是GARCH(2,1)，其位置舒适地低于ARCH(2)和ARCH(4)。而GARCH(1,1)模型简单易操作。结果还表明，GARCH(1,1)模型提高了预测性能(见表)3.）.

数字应用程序．我们使用了Eviews软件，我们发现= 2.03 × 10⁻⁷，，， 和．为此，我们发现:= 72.23942208×10⁻⁷；；；；．

我们使用关系(9)和(10.)多年来，我们找到了 凸度调整为和．

备注10。如果未调整的罢工等于，调整后的罢工等于．

根据图3. 正在呈指数级增长并融合朝向3.3140 × 10⁻⁶．但在第一年的线性上线性增加，并且在呈指数下降年的时候， 如果．

4.2。结论

根据成立的结果，GARCH（1,1）是一种非常好的模型，用于建模股票市场的波动互动性。此外，我们谨致法国金融危机（2009）对CAC 40法国指数的影响。

在此基础上，我们提出了一种基于时间变化法的概率方法，来研究基于Heston模型的标的资产和方差的股票市场的方差和波动率互换。我们得到了方差和波动互换的公式但有另一种结构和另一种应用布罗克豪斯和朗的论文[10.]和Swishchuk [12.］．作为我们分析解决方案的应用，我们提供了一个数值例子，使用CAC 40法国指数对波动率进行价格互换(图)1）.

并比较了几种GARCH模型在不同分布下对CAC 40法国指数的预测效果。我们发现GARCH(1,1)偏置Student模型是描述这些收益动态行为的最有希望的模型，因为它反映了它们在序列相关、不对称波动聚类和尖峰创新方面的潜在过程。结果还表明，GARCH(1,1)模型提高了预测性能。这一结果进一步说明GARCH(1,1)模型可能比其他三种模型(ARCH)更有用,拱，和GARCH(2,1))在实施CAC 40法国指数的风险管理策略时(图2）.

附录

我们给每个参数一个提醒。

性病。开发．(标准差)是对序列中离散或扩散的度量。标准差为 在哪里是当前样品中的观测数量和是级数的均值。

偏态是数列围绕其平均值分布的非对称性的度量。偏度计算为 在哪里是基于方差的有偏估计量(）.

峰度测量系列分布的峰值或平坦度。kurtosis被计算为 在哪里还是基于方差的有偏估计量。

Jarque-Bera为检验序列是否为正态分布的检验统计量。统计量计算为 在哪里偏度是和吗峰度。

平均绝对误差(MAE)如下:．

（6）平均绝对百分比误差（MAPE）如下：．

(7）均方根误差(RMSE)如下:．

（8)调整后的平方(调整)被认为是。

（9）回归的总和错误(参见)。

（10）施瓦兹准则(BIC)由．

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

承认

这项工作在PNR项目(编号8/u23/1050)和Averroès计划的框架内得到了ATRST(例如:ANDRU)的资助。

参考文献

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